聚焦算法多樣歸類追溯算理
——三年級《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》思考與教學(xué)

吳恢鑾

【課前思考】

研究學(xué)情，可以幫助我們深入了解學(xué)生的“前狀態(tài)”和“潛狀態(tài)”。所謂“前狀態(tài)”，主要是研究學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識前已有的個人經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)新知識的需求和學(xué)生群體之間的差異；所謂“潛狀態(tài)”，主要是研究學(xué)生在新知識學(xué)習(xí)中的可能狀態(tài)，如學(xué)生在解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)過程中可能出現(xiàn)的算法的豐富性程度，它們所反映出的學(xué)生思維可能存在的層次性差異，以及可能存在的困難和障礙。

三年級學(xué)生學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)，我們可以追問這樣兩個核心問題：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，學(xué)生已有的邏輯基礎(chǔ)在哪里？學(xué)生的現(xiàn)實(shí)困惑在哪里？設(shè)計(jì)問卷調(diào)查時，可以把核心問題細(xì)化為兩個具體問題：學(xué)生能獨(dú)立研究出幾種兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算方法？學(xué)生對兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計(jì)算困難在哪里？

按照正常的教學(xué)進(jìn)度，筆者選取了使用浙教版新思維《數(shù)學(xué)》教材的三年級70名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。需要強(qiáng)調(diào)，該教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法結(jié)合律和分配律后，再借助長方形面積模型來學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的，而其它同時期的教材還沒有學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律和分配律，它們是基于乘法意義來理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算算理的。還需要補(bǔ)充說明的是，本次調(diào)查的樣本來自于城市學(xué)校，該校教學(xué)質(zhì)量在該城區(qū)名列前茅。

表1 學(xué)生解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法統(tǒng)計(jì)表

豎式計(jì)算 70 42 60.0%30×12-5×12 70 12 17.1%（10+10+5）×12 70 2 2.9%25×20-25×8 70 2 2.9%25×（4+8） 70 2 2.9%25×（6×2）或25×（2×6） 70 38 54.3%25×4×3 70 46 65.7%5×（5×12） 70 26 37.1%十字交叉相乘 70 2 2.9%

通過對上表分析可知學(xué)生已經(jīng)具備了算法多樣化的基礎(chǔ)，教學(xué)重點(diǎn)在于梳理這些算法背后的算理；可以引領(lǐng)學(xué)生從乘法運(yùn)算定律的角度對各種算法進(jìn)行歸類分析，提高思維的深刻性和靈活性。

表2 學(xué)生兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計(jì)算與算理理解統(tǒng)計(jì)表

上表給教學(xué)帶來的啟示是：要加強(qiáng)點(diǎn)子圖、橫式計(jì)算和豎式計(jì)算每步之間的溝通，從具象到抽象，再從抽象到具象，加深算法與算理之間的聯(lián)結(jié)性理解。

【教學(xué)內(nèi)容】

一、研究前置，多元選擇

研究內(nèi)容：25×12的計(jì)算方法。

研究要求：以下有兩張學(xué)習(xí)單，選擇一張最適合自己的學(xué)習(xí)單完成研究任務(wù)。

學(xué)習(xí)單 A：計(jì)算 25×12。

要求：你打算怎么計(jì)算，請?jiān)敿?xì)地寫出計(jì)算過程。還有不同的計(jì)算方法嗎？有幾種就寫幾種。

學(xué)習(xí)單B：學(xué)校舉行列隊(duì)表演，共有12行，每行25人，有多少人參加表演？

要求：可以先在圖上圈一圈，再寫出詳細(xì)的計(jì)算過程；也可以先寫出計(jì)算過程，再在圖上圈一圈每一步的含義。

收集全班學(xué)生的作品，并完成對學(xué)生作品質(zhì)與量上的數(shù)據(jù)分析，為課中學(xué)習(xí)提供學(xué)情支撐。（具體數(shù)據(jù)見課前思考的表1、表2）

【設(shè)計(jì)意圖：研究前置，可以給學(xué)生充足的解決問題的時間和空間，同時又可以作為學(xué)情的“微調(diào)查”。待學(xué)生作品收集上來，可以全面地解讀每位學(xué)生個性化的計(jì)算方法，探尋學(xué)生的思維過程，為課中師生、生生開展深入交流奠定基礎(chǔ)?！?/p>

二、聚焦算法，追溯算理

1.呈現(xiàn)多樣算法。

任務(wù)一：你想出了幾種計(jì)算方法？分別用到了哪些知識？

任務(wù)二：哪些計(jì)算方法你沒有想到？現(xiàn)在你能看懂嗎？

2.全班交流算法。

第一類：拆分為兩數(shù)之積運(yùn)用乘法結(jié)合律的計(jì)算方法。

生：（出示算法①）我把12拆分成4×3，然后先算出 25×4等于 100，再算 100×3等于 300。

師：把12拆分成4×3，組塊來計(jì)算，很不錯。你能從點(diǎn)子圖中找出25×4這部分嗎？100×3呢？（根據(jù)學(xué)生回答演示點(diǎn)子圖分割過程）

師：想一想，在這里用到了哪些知識？

生：在這里我用到了乘法結(jié)合律。

師：是的，在這個拆分過程中，用到了一個重要的思想方法：把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)，也就是把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識。大家再從剩下的七種計(jì)算方法中找一找，哪些方法也是用這種轉(zhuǎn)化思想的？

生：算法③和算法⑥。

第二類：拆分為兩數(shù)相加或相減運(yùn)用乘法分配律計(jì)算的方法。

師：（出示算法⑧）同學(xué)們找出了與算法①計(jì)算方法相同的算法③和⑥，但我覺得算法⑧也很像，也出現(xiàn)了小括號，為什么不把它歸為一類呢？

生：這里不是把12拆成兩數(shù)相乘，而是把12拆成兩數(shù)相加的。

生：應(yīng)用的是乘法分配律不是乘法結(jié)合律。

師：真有一雙會分析的數(shù)學(xué)眼光。你能從這點(diǎn)子圖中找出各部分的含義嗎？

生：（學(xué)生上臺指著點(diǎn)子圖）25乘10就是先算出每行25人，10行是250人；25乘2就是每行25人，2行是50人。

師：在這里把12拆成了兩數(shù)相加，然后運(yùn)用乘法分配律，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)。你們?yōu)槭裁床话?2拆分成9加3，而是10加2呢？

生：10加2計(jì)算時更加簡便一些。

師：在轉(zhuǎn)化新知的時候，還要考慮它的簡便性。

師：（出示算法②）有些同學(xué)是用豎式計(jì)算的，你覺得它和橫式有共同的地方嗎？誰愿意來先介紹一下豎式是怎么計(jì)算的？

生：堅(jiān)式也是先算2乘25，得到50，再算10乘25，得到250，第二步只要把5寫在十位上就可以了，個位0可以不用寫，然后再把兩部分加起來。

生：我有一點(diǎn)補(bǔ)充，第二步的“25”的5一定要寫在十位上。

師：補(bǔ)充的很好，請大家一起思考：（1）豎式第一步中的“50”，代表點(diǎn)子圖多少行的人數(shù)？（2）豎式第二部中的“25”，代表點(diǎn)子圖多少行的人數(shù)？（3）這里的“50”和“25”誰大誰?。繛槭裁?？（學(xué)生回答略）

師：觀察點(diǎn)子圖、橫式和豎式計(jì)算，它們之間有什么聯(lián)系？

生：豎式中的50，在橫式中就是25×2，在圖中就是表示2行的人數(shù)，豎式中的“25”，在橫式中就是25×10，在圖中就是表示整10行的人數(shù)。

師：兩位數(shù)乘兩位數(shù)橫式計(jì)算和豎式計(jì)算有什么相同的地方？

生：它們都是把12拆成10加2，都用到了乘法分配律。方法一樣，只是形式不一樣。

師：找一找，和算法②、⑧計(jì)算方法類似的還有哪些？

生：算法④和算法⑤。

生：我覺得算法⑦也一樣的。這里也用到了乘法分配律。

師：我們回到點(diǎn)子圖去找一找各部分的含義，再判斷是不是用到了乘法分配律。誰能結(jié)合點(diǎn)子圖來說一說？

生：我是這樣想的，先假設(shè)每行是30人，那就是30乘12，因?yàn)槊啃卸嗨懔?人，所以要減去5乘12。（教師根據(jù)學(xué)生的敘述動態(tài)演示過程）

第二，通過雙學(xué)位聯(lián)合培養(yǎng)項(xiàng)目可以豐富學(xué)生的人生閱歷，開拓學(xué)術(shù)視野，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提高實(shí)踐能力，同時加深校際的交流與合作。

3.比較異同。

出示：第一類：①、③、⑥

第二類：②、④、⑤、⑦、⑧

師：我們把這八種計(jì)算方法，分成了兩類，大家觀察一下，每一類的計(jì)算方法有什么共同的地方？第一類和第二類有什么不同的地方？第二類五種方法又有什么不同的地方？

師：這八種方法，你喜歡哪一種？為什么？

生：我喜歡豎式計(jì)算，感覺它是萬能的。

生：我覺得如果能轉(zhuǎn)化25×4這樣的整百數(shù)，其實(shí)也是簡便的。

生：哪種方法好，還要看數(shù)據(jù)特點(diǎn)。

4.更一般的計(jì)算。

（出示：23×19）

師：剛才哪些方法還適合計(jì)算23×19？請你選擇合適的方法試一試。

生：這兩個數(shù)都不能拆成兩個數(shù)相乘了，所以我把19拆成了10+9再來計(jì)算。

生：第一類的方法都不合適了，可以用第二類的方法來計(jì)算。

生：用豎式方法肯定可以。

師：請大家用豎式計(jì)算23×19。

（分析錯例，鞏固豎式計(jì)算，進(jìn)一步內(nèi)化算理）

【設(shè)計(jì)意圖：展示八種典型的計(jì)算方法，然后選取最具代表性的兩種計(jì)算方法①和⑧，借助點(diǎn)子圖，讓學(xué)生自主分析每種算法的依據(jù)與策略，從拆分方法、運(yùn)算律、轉(zhuǎn)化思想三個角度，進(jìn)行了追溯分析，抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)。然后安排學(xué)生尋覓與①和⑧相同的方法，引領(lǐng)學(xué)生對八種典型算法進(jìn)行歸類討論，使學(xué)生認(rèn)識到兩位數(shù)乘兩位數(shù)眾多的算法，其實(shí)就是兩類：一類拆成兩數(shù)相乘，用乘法結(jié)合律完成運(yùn)算；一類拆成兩數(shù)相加或兩數(shù)相減，用乘法分配律完成運(yùn)算，而豎式計(jì)算與橫式計(jì)算道理都是一樣的，只是形式上不同而已。最后通過算式23×19，聚焦豎式。至此，學(xué)生完成以兩位數(shù)乘法計(jì)算為載體，經(jīng)歷了算法的分析、辨別和算理的反思、應(yīng)用的過程，發(fā)展了運(yùn)算能力?！?/p>

三、應(yīng)用練習(xí)

師：我們班一位同學(xué)用這樣連線的方法計(jì)算出了25×12的結(jié)果。請問，你到底是怎么計(jì)算得到的呢？請向大家更加詳細(xì)的介紹一下。

生：我是想用25的5和12的10相乘得50，然后5和2相乘得10；再用25的20和12的10相乘得200，然后20和2相乘得40，再加起來就是300。

師：我們借助點(diǎn)子圖來演示一下他剛才介紹的計(jì)算方法。

師：我們也可以借助表格來理解他的計(jì)算方法。

師：其實(shí)這位同學(xué)在計(jì)算中也是應(yīng)用到了乘法分配律，這樣的乘法分配律在初中整式乘法中會經(jīng)常用到，有興趣的同學(xué)課后可以再研究，當(dāng)然也鼓勵大家課后去收集更多更有趣的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法。

【設(shè)計(jì)意圖：展示一位學(xué)生的“十字交叉相乘法”，目的不在于讓每位學(xué)生都掌握，而是為了拓開學(xué)生的思維視野，引發(fā)學(xué)生探究興趣，也為今后乘法分配律在整式乘法中的應(yīng)用積累一點(diǎn)基本經(jīng)驗(yàn)。】