收與放的交融
———算法多樣與算法最優(yōu)——以蘇教版《十幾減九》為例

吳中杰

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出：“計(jì)算教學(xué)中，不僅要創(chuàng)設(shè)情境，還要尊重學(xué)生的個(gè)性，鼓勵算法的多樣化。”這使傳統(tǒng)教學(xué)模式下以教師為中心的課堂，逐步向以學(xué)生為中心邁進(jìn)，給了學(xué)生更多的思維空間和創(chuàng)造機(jī)會。學(xué)生在自主探索創(chuàng)新之中，其思維得以開拓，個(gè)性得以張揚(yáng)，也契合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出的“不同的人，在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念。在這種背景下，課堂上學(xué)生思維更加活躍，各種創(chuàng)新的素材也不斷涌現(xiàn)，各種各樣的算法也得以出現(xiàn)，達(dá)到了算法多樣化的目標(biāo)。那么，在多樣化的算法中我們是否還需要尋求最優(yōu)的算法呢？何種方法才是最優(yōu)呢？下面，筆者結(jié)合《十幾減九》一課做簡單的分析。

一、課本最優(yōu)是否就是最優(yōu)

首先，我們對教材做簡略的分析，找尋教材的最優(yōu)。先對“想一想，做一做”第一題進(jìn)行分析，教材給出了兩個(gè)算式：“12-9=”和“16-9=”并用小棒進(jìn)行了表示引導(dǎo)，12-9以10根小棒為一堆，另外一堆則為2根；16-9也是以10根小棒為一堆，另外一堆為6根，感覺上教材是想強(qiáng)調(diào)破十法，也是很多教師認(rèn)為本課最優(yōu)方法是破十法的原因。那接下來，我們再來看第二題，教材也是給出了兩個(gè)算式“15-9=”和“17-9=”，而15-9給出的示意圖是9個(gè)正方體為一堆，另外一邊則遮住了，那就用“？”表示，17-9的示意圖也是以9個(gè)為一堆，另外一堆并不知道。不知看到這里，你是否發(fā)現(xiàn)了教材的深意，教材突出強(qiáng)調(diào)了“9加幾”，這里教材則明顯地提示了本課應(yīng)當(dāng)以“想加法，做減法”為最優(yōu)算法。到了這里，可能部分教師還是有疑問，為何是“想加法，做減法”呢？那不妨我們繼續(xù)往下，再來對教材進(jìn)行解讀。我們看第三題，9+2=，11-9=，9+5=，14-9=，9+9=，18-9=。而在課后的練習(xí)1中也有體現(xiàn)，練習(xí)1中的第一題9+？=12，第二題 9+？=15，15-9=，9+？=16，16-9=，9+？=17，17-9=則都是側(cè)重在“想加法，做減法”的算法上，想必到了此處，再對教材進(jìn)行認(rèn)真閱讀、分析、比較、思考后，教材的意圖便躍然紙上。

由此可見，對于本節(jié)課，教材意圖是讓學(xué)生掌握“想加法，算減法”的運(yùn)算方法，即是教材中所給出的最優(yōu)化算法。而往往執(zhí)教的教師也都一味地去強(qiáng)調(diào)這種算法，卻并未關(guān)注學(xué)生是否能夠理解和接受。教師雖然是按照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》和教材意圖進(jìn)行教學(xué)，但由于學(xué)生的年齡和認(rèn)知水平的局限，可能教材所提出的“想加法，算減法”對于一年級的學(xué)生來說，過于偏高。而本節(jié)課中，學(xué)生在已有的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，所創(chuàng)造的多樣化算法：“逐個(gè)遞減”、“破十法”、“平十法”等方法相比較于教材所要求的“想加法，算減法”來說，計(jì)算思維層次可能相對較低。而通過本節(jié)課的教學(xué)，對于各種算法的分析比較，學(xué)生都已基本掌握了一種適合自己的算法，但對于“想加法，算減法”能夠熟練掌握并運(yùn)用的學(xué)生并非很多。這是否是教師的教學(xué)失誤？算法最優(yōu)并未得以實(shí)現(xiàn)呢？

筆者認(rèn)為，教師傳授算法時(shí)按照課本意圖的教學(xué)自然并無過錯(cuò)，但如果教師一味地去強(qiáng)調(diào)課本的最優(yōu)，而忽略了學(xué)生的學(xué)情，強(qiáng)行將教材最優(yōu)算法灌輸給學(xué)生，而忽略學(xué)生自身的算法體驗(yàn)，那本節(jié)課的教學(xué)可能是毫無意義的。學(xué)生沒有接受“想加法，算減法”，雖然從表面上看他們還未實(shí)現(xiàn)算法的最優(yōu)，但若教師安排了一定的教學(xué)活動，讓學(xué)生在通過自主動手操作、分析比較、整理歸納后，在其原有的算法基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)自身算法的不足，并將自己最初的算法進(jìn)行一定的完善，得到了一種最適合自己的算法，并能夠?qū)罄m(xù)問題進(jìn)行處理解答。那我想，本節(jié)課的教學(xué)無疑已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)。

根據(jù)學(xué)生的學(xué)情和實(shí)際，教材的最優(yōu)并非是學(xué)生的最優(yōu)。而真正的最優(yōu)應(yīng)該是學(xué)生在多樣化的算法中，掌握基本的算法，體驗(yàn)知識的建構(gòu)，在對多樣化的算法有了一定的理解、感悟的基礎(chǔ)上，再通過教師的引導(dǎo)，對多種算法進(jìn)行比較、分析、歸納、感悟后，進(jìn)行自我完善，悟出屬于自己的最優(yōu)算法。只有通過自己的探索發(fā)現(xiàn)，改善自身的不足，吸收較為先進(jìn)、簡便的方法，補(bǔ)足自身，才能得到屬于自身最優(yōu)的算法。

二、算法多樣化與算法最優(yōu)是否矛盾

在當(dāng)前“多樣化算法”風(fēng)靡的背景下，許多教師對“最優(yōu)算法”是否有必要提出產(chǎn)生了疑問。既然都提倡了“算法的多樣”，又何必再去進(jìn)行“算法的優(yōu)化”呢？筆者認(rèn)為，算法的多樣化是一種態(tài)度，一個(gè)過程。最優(yōu)的算法是算法多樣化的歸宿，是學(xué)生自我反思，自我完善的產(chǎn)物?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》是“鼓勵”算法的多樣化，而并非強(qiáng)制要求多樣化。而往往我們的課堂教學(xué)中，只注重了“算法的多樣化”，一味地尋求不同的算法，而忽視了算法多樣化的本意。在一味的尋求過程中，學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造出的方法可能并不科學(xué)、合理，而計(jì)算過程可能也十分復(fù)雜。甚至有些學(xué)生思維還處于混亂之中，雖然給出的算法可以得出結(jié)果，但可能并不能講出具體的意思。而真正的多樣化算法，也應(yīng)當(dāng)建立在清晰思維、合理邏輯、科學(xué)簡便的基礎(chǔ)之上，而并非囫圇吞棗，將所有算法都囊括其中。而在如此多的算法之中，有些算法的思維水平層次可能過于低，對于后續(xù)的學(xué)習(xí)并無幫助。如果不對其進(jìn)行優(yōu)化，那學(xué)生可能永遠(yuǎn)掌握著自己原先所擁有的算法，便會導(dǎo)致學(xué)習(xí)的兩極分化，使差生越來越差。學(xué)生的思維也無法得以發(fā)展。因此，多樣化算法后，應(yīng)尋求最優(yōu)，讓學(xué)生在尋求的過程中得以自我完善和發(fā)展，思維能力得以提高。

三、情境融入教學(xué)，算法得以優(yōu)化

蘇教版一年級教材中，對于13-9的算法給出了三種預(yù)設(shè)的學(xué)生的算法：

1.平十法，將9拆分成3+6，再用13-3，然后用10-6。

2.破十法，將13拆分成10+3，再用10-9=1，再用1+3。

3.想加法，做減法，13-9，我們先想到加法，9加幾才等于13？

而往往在實(shí)際教學(xué)中，低年級的學(xué)生可能還會給出第四種回答，用13一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行減法，一共減9次，這樣也得到了結(jié)果。那這樣我們對于13-9則有了四種不同的計(jì)算方法。此時(shí)，我們的教學(xué)便已經(jīng)達(dá)到了算法的多樣化目標(biāo)。

在這四種算法中我們可以明確地看出四種方法的層次性，對于一個(gè)一個(gè)減去的方法，顯然相比于“平十法”、“破十法”而言，此種方法的思維層次是最低的，而“想加法，算減法”相對而言其思維層次則顯得過高。但相信經(jīng)過教師的點(diǎn)撥，學(xué)生自己的動手操作，四種算法中學(xué)生必能對一種方法進(jìn)行掌握和應(yīng)用了。而教師往往在教學(xué)時(shí)便順?biāo)浦?，可能只是簡單地對學(xué)生的方法進(jìn)行評價(jià)后，便進(jìn)入了習(xí)題的鞏固之中，并未對多樣化的算法進(jìn)行進(jìn)一步的詳細(xì)分析，給予學(xué)生更多的思考，讓學(xué)生體會各種算法的特點(diǎn)，并與自身的方法進(jìn)行比較、歸納，從而將自身的算法得以完善。在具體教學(xué)中，執(zhí)教者到底應(yīng)當(dāng)如何在多樣化的算法中，幫助學(xué)生對算法進(jìn)行優(yōu)化呢？下面筆者結(jié)合《十幾減九》一課的教學(xué)，進(jìn)行簡單的教學(xué)設(shè)計(jì)。

（1）課前導(dǎo)入。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)的過程是學(xué)習(xí)者主動建構(gòu)知識的過程，學(xué)習(xí)者以原有的知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過與外界的相互作用來建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu)。因此，本節(jié)課的課前導(dǎo)入部分可用舊知導(dǎo)入，教師可先帶學(xué)生復(fù)習(xí)20以內(nèi)進(jìn)位加法，然后提升難度，設(shè)計(jì)？+9=12，？+8=12……此類加法問題，在復(fù)習(xí)舊知的同時(shí)幫助學(xué)生鞏固原有知識，又為之后本節(jié)課的“想加法，做減法”教學(xué)做鋪墊。

（2）結(jié)合情境，優(yōu)化算法。

結(jié)合教材主題圖，將算法多樣化教學(xué)融入教學(xué)活動之中。教材第一幅圖是平十法，將一筐13個(gè)桃子，先拿出了3個(gè)，后又拿出了6個(gè)；第二幅圖是破十法，從13個(gè)桃子中拿出10個(gè)，剩下了3個(gè)，再從10個(gè)中拿掉9個(gè)；而第三幅圖，則是給出了一堆9個(gè)桃，另外一堆桃子被遮擋住了，讓學(xué)生思考有了9個(gè)桃子，再加幾個(gè)才是13個(gè)。這里教師可以讓學(xué)生利用簡單的學(xué)具圓片來代替桃子，自己動手將課本所給的圖片進(jìn)行實(shí)際的操作，以幫助學(xué)生從實(shí)際情境中去理解真正的算理。

然后教師可以根據(jù)各種不同的算法的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)情境性練習(xí)。

①針對一個(gè)一個(gè)減算法進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：小猴買了12個(gè)桃子，每天吃1個(gè)，這樣連續(xù)吃了9天，你知道小猴子還剩幾個(gè)桃子沒有吃嗎？這時(shí)學(xué)生都會以各自所掌握的不同的方法進(jìn)行解答，而有的學(xué)生可以很快解答得出結(jié)果，有的學(xué)生則非常慢，這就體現(xiàn)了算法之間的差異，讓那些用逐一減的學(xué)生得以思考，進(jìn)而對自身的算法進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)初步的最優(yōu)。

②針對破十法：小猴媽媽出門了，給小猴留下了2堆桃子，一堆有10個(gè)，另外一堆有6個(gè)，媽媽囑咐小猴，今天一天只有這些桃子能吃，可是貪吃的小猴一下子就吃了9個(gè)桃子，它今天還能吃幾個(gè)桃子呢？學(xué)生在這樣的引導(dǎo)之下就能發(fā)現(xiàn)我們可以先用10-9再加上6得到結(jié)果，好像相比于第一種方法簡化了很多。確實(shí)“破十法”對于低年級的學(xué)生來說是比較容易理解和接受的，大多數(shù)學(xué)生在優(yōu)化自身算法后便也能熟練地運(yùn)用破十法進(jìn)行問題的解決。

③針對平十法：小猴一個(gè)人在家里無聊，于是打電話找來了它的好朋友小花貓來陪它玩，小花貓給小猴帶來了15個(gè)桃子，小花貓不喜歡吃桃子，所以只吃了3個(gè)，而小猴可喜歡吃桃子了，所以小猴吃了6個(gè)，同學(xué)們知道它們兩個(gè)吃完后還剩幾個(gè)桃子嗎？平十法可以讓大多數(shù)學(xué)生都掌握、運(yùn)用，并且能讓學(xué)生自主動手研究學(xué)習(xí)，計(jì)算時(shí)也相對簡單、快捷。

（針對②③的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者建議可以制作適當(dāng)?shù)腜PT，進(jìn)行動畫演示，以具體的動態(tài)實(shí)物為例，可以讓低年級的學(xué)生更好地把握題目意思）

④針對想加法，算減法：小猴媽媽回來了，還帶回來兩籃桃子，媽媽告訴小猴，這次一共帶回來17個(gè)桃子，并告訴小猴子一個(gè)籃子里裝了9個(gè)桃子，那另一個(gè)籃子裝了幾個(gè)呢？你能幫助小猴算一算嗎？這個(gè)方法看似簡單，但對于低年級的學(xué)生來說顯然其思維水平更上了一層樓，要求學(xué)生能將加法進(jìn)行逆運(yùn)算，對于一些基礎(chǔ)并不是很扎實(shí)的學(xué)生來說要求過于偏高了。

在進(jìn)行完這些題目的練習(xí)、講解后，教師可以幫助學(xué)生一起分析、比較、歸納各種算法的特點(diǎn)，也可以讓學(xué)生自己說說，然后選擇自己喜歡的算法和小組成員交流一下所選擇的算法。相信通過這樣的自我完善的過程后，學(xué)生在保留了自己個(gè)性化算法的同時(shí)，也對其他的不同的算法有了新的體會和認(rèn)識，對自己本身算法的缺陷也得到了彌補(bǔ)，找到了一種屬于自己的最優(yōu)算法。到此，本堂課的教學(xué)目標(biāo)也已完成——讓學(xué)生在張揚(yáng)個(gè)性后得到多樣化算法，并對自身的算法進(jìn)行改善、優(yōu)化，最終找到了自己的初步算法歸宿。

算法的多樣化是“放”，算法的優(yōu)化是“收”，教師只有在這一收、一放之間，做到收放自如，才能在多樣化的背景下，讓學(xué)生在彰顯個(gè)性的同時(shí)，又能得到進(jìn)一步的發(fā)展，在培養(yǎng)創(chuàng)新性思維的目標(biāo)中，又有所改進(jìn)和提高。唯有“多中擇、因人擇、因材擇、擇而優(yōu)、優(yōu)而用”，才能讓多樣化的算法和最優(yōu)的算法得以相輔相成。