探究線性規(guī)劃中疑難問題的突破策略

廣西省賀州富川民族中學 唐文鑫

探究線性規(guī)劃中疑難問題的突破策略

廣西省賀州富川民族中學 唐文鑫

線性規(guī)劃是一種科學的數(shù)學運算法，可用于商業(yè)、工業(yè)、交通等各種經(jīng)濟活動領(lǐng)域，屬于運籌學的重要分支。然而線性規(guī)劃也是目前數(shù)學教學中的重難點，其概念具有較為抽象性，條件無法辨別清晰、步驟復(fù)雜、運算麻煩等，這些因素均對線性規(guī)劃的解答帶來了一定困難。本文對幾類主要的疑難問題進行總結(jié)，并給出了相應(yīng)的突破策略。

線性規(guī)劃 疑難問題 突破策略

線性規(guī)劃實在線性約束條件下求解最值的數(shù)學問題，在運算過程中約束條件、目標函數(shù)以及決策變量是最主要的三個因素，然而在實際運算過程中卻存在較多疑難點。學生認為整點問題、直線平移、條件轉(zhuǎn)化等均為線性規(guī)劃中比較突出的幾個困難點，本文對這些疑難問題進行了歸納總結(jié)，并提出了集中突破方法。

一、線性規(guī)劃中的疑難問題

線性規(guī)劃常見的疑難問題通常出現(xiàn)在對題目的理解、方法的轉(zhuǎn)化、方程的解答以及綜合運算方法的掌握程度等方面，學生的綜合數(shù)學能力不足且基礎(chǔ)運算能力不夠熟練時往往會對線性規(guī)劃的題目無從下手，找不出問題的關(guān)鍵，無法對各種約束條件進行靈活轉(zhuǎn)換，造成了解題困難。

二、線性規(guī)劃疑難問題的突破策略

1.靈活變換，摸索規(guī)律。絕對值不等式的變換作為不等式變換中的難點也給學生的解題帶來了較大的阻礙，對|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|不等式進行轉(zhuǎn)化時可通過分類、換元或數(shù)形結(jié)合的方法來探索其數(shù)學規(guī)律，找到解題關(guān)鍵。

例1，解答不等式||x+3|-|x-3||＞3。對該式進行轉(zhuǎn)化時，如何去掉絕對值是解題的關(guān)鍵。一般的處理方法有：分區(qū)間去絕對值；平方法去絕對值。

解法2：原式兩邊同時平方得：（|x+3|-|x-3|）2＞9，即2x2+9＞2|x2-9|，再將兩邊同時平方，同時在進行因式分解，可得x2＞9/4，最終可得x＞3/2或x＜-3/2。

2.把握細節(jié)，正確作圖。精準的作圖可以幫助學生快速解答線性規(guī)劃中的問題，在平面作圖中的難點較為復(fù)雜的約束條件。

例2，求解z=600x+1000y的最大值。10x+4y≤300，5x+4y≤200，4x+9y≤360，x≥0，y≥0。

首先，做出直角坐標系，原點為O。其次，當10x+4y=300時，有C、E兩點；當5x+4y=200時，有G、F兩點；當4x+9y=360時，有D、H兩點。OHMKC的面積為可行區(qū)域，如圖1所示。最后，做出直線600x+1000y=0，如原點的虛線，將其平移至與M點交接處，即該點與原點距離最大處，此時可得M即為z的最大值。

3.逐步解答，思路清晰。整點問題是線性規(guī)劃中的重難點之一，解題過程必須要思路清晰，步驟明確，逐一解答，才能正確解題。

例3，某商店同時銷售電熱水器和太陽能熱水器兩種產(chǎn)品，市場出現(xiàn)供不應(yīng)求的現(xiàn)狀，請根據(jù)該店的員工工資，成本等情況確定月采購量，并求出最大利潤。

解：電熱水器設(shè)為x變量，太陽能熱水器為y變量，月總利潤為z。

表1 該商店的實際情況

圖2

M（36/5,38/5）為Z的最大值點，可得Zmax=10320，然而該解并不是整數(shù)最優(yōu)解。因此，必須進一步求解。方法一：網(wǎng)格平移法。將圖形的所有整數(shù)點在圖形中標出，并做成表格，移動l圖線，可發(fā)現(xiàn)在（8，6）點的位置時，l在y軸上的截距最大，可得Zmax=10000元。方法二：特值檢驗法。該類方法主要是通過將接近可行域右上側(cè)且接近邊界的所有整點值列舉出來分別檢驗，最后可得在（8，6）點時，Zmax=10000元。

綜上所述，線性規(guī)劃在解題過程中的疑難問題大多是因概念模糊，思路不清，方法掌握不熟練，本文針對常見的不等式轉(zhuǎn)化、平面圖形以及整點求解分別進行了例題的解析，總結(jié)出了突破該類疑難問題的突破策略，通過明確的解題思路幫助學生不斷提高解題能力。

[1]楊德權(quán)，王 佳.解決線性規(guī)劃系統(tǒng)識別問題的新方法[J].大連理工大學學報2014

[2]張恩路，孟憲云，李智慧.灰色二層線性規(guī)劃問題及其解法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2009

[3]趙云平.min型max型線性規(guī)劃問題解法探析[J].西昌學院學報（自然科學版），2015

[4]趙茂先，高自友.一種混合整數(shù)雙層線性規(guī)劃的全局優(yōu)化方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2005

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0050