讓數(shù)學(xué)操作活動(dòng)更富有智慧

戴麗云

數(shù)學(xué)操作活動(dòng)作為學(xué)生探究新知的重要學(xué)習(xí)方式之一，隨著課程改革的深入實(shí)施，越來(lái)越受到廣大教師的重視。的確，有效的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)不僅有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行“再創(chuàng)造”，而且能有效啟迪學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的智慧。但在當(dāng)下眾多的數(shù)學(xué)課堂中，我們?nèi)钥吹接邢喈?dāng)多的教師往往采用指令性的教學(xué)方式，把操作活動(dòng)的要求、方法等強(qiáng)加給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生僅做機(jī)械的“操作工”，使數(shù)學(xué)操作活動(dòng)失去啟迪思維、激發(fā)智慧的作用。那么，如何改進(jìn)才能讓數(shù)學(xué)操作活動(dòng)更富有智慧呢？下面，談?wù)勛约涸诼?tīng)課比較中得到的啟示。

一、理解概念定義的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，使學(xué)生由概念的接受者轉(zhuǎn)化為主動(dòng)發(fā)現(xiàn)者

案例：教學(xué)“三角形按角分類(lèi)”

課始，教師先出示三種不同情況的三角形，問(wèn)學(xué)生：“在這三個(gè)三角形中，哪個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角？”然后教師告訴學(xué)生三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形叫銳角三角形……

上述案例，學(xué)生可能會(huì)記住知識(shí)的結(jié)論，考試成績(jī)也不差，但教師這樣教學(xué)實(shí)際上剝奪了學(xué)生思考的權(quán)利，導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械、被動(dòng)地接受知識(shí)。如果我們遵循小學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，考慮到學(xué)生是具有主觀能動(dòng)性的人，就可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)：先出示7個(gè)特征鮮明的不同的三角形，為研究方便可以給每個(gè)三角形的每個(gè)角都編上序號(hào)，再通過(guò)填表、分組、命名、定義、分類(lèi)等五個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)。第一個(gè)環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生按照角序、角別、圖序填表（如下）。通過(guò)填表既可以使學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角的情況一目了然，又為下一步歸納、分析做好準(zhǔn)備，并有機(jī)滲透了科學(xué)統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)思想方法。第二個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在分析7個(gè)三角形內(nèi)角的共性和特性的基礎(chǔ)上，對(duì)這7個(gè)三角形進(jìn)行分組。第三個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生根據(jù)分成三組的三角形各自的特征，給它們?nèi)∫粋€(gè)合適的名字，使學(xué)生感到有趣，從而調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的積極性。第四個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生為每一種三角形下一個(gè)明確的數(shù)學(xué)定義，進(jìn)而從7個(gè)三角形推廣到所有的三角形，使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。第五個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)三角形都在這三種三角形的范圍之內(nèi)，進(jìn)而得出結(jié)論：三角形按角分類(lèi)，應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三種。這樣教學(xué)可能需要花較多的時(shí)間，但它不僅僅是向?qū)W生教授數(shù)學(xué)的概念與方法，更重要的是重視了數(shù)學(xué)概念的發(fā)生和形成過(guò)程，克服了“概念+例題”的教學(xué)模式，注重引導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)結(jié)論的科學(xué)方法和科學(xué)態(tài)度，從而使課堂教學(xué)更多地體現(xiàn)人文性。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要揭示獲取知識(shí)的思維過(guò)程”“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程，知識(shí)的形成過(guò)程、發(fā)展過(guò)程，解題思路的探索過(guò)程，解題方法和規(guī)律的概括過(guò)程，使學(xué)生在這些過(guò)程中展開(kāi)思維，從而發(fā)展他們的能力”。上述概念教學(xué)中的一系列操作活動(dòng)，使學(xué)生由知識(shí)的被動(dòng)接受者轉(zhuǎn)化為知識(shí)的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)者，不僅將所學(xué)知識(shí)記得牢，而且理解透徹。

二、內(nèi)化作圖技能的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，使學(xué)生由操作步驟的被動(dòng)執(zhí)行者轉(zhuǎn)化為主動(dòng)建構(gòu)者

案例：教學(xué)“平移”

師：圖形的平移有哪些特點(diǎn)？下面，我們請(qǐng)這個(gè)金魚(yú)圖（如下）來(lái)幫助我們研究。

（多媒體播放金魚(yú)圖各部分筆直移動(dòng)，但不是朝同一個(gè)方向移動(dòng)的過(guò)程）

師：整個(gè)金魚(yú)圖的移動(dòng)是平移嗎？

生（大笑）：不是。

師：為什么？

生1：因?yàn)轸~(yú)都散了，魚(yú)身向左移，魚(yú)尾向右移……

師：那怎么樣才能使整個(gè)金魚(yú)圖的移動(dòng)是平移呢？

生2：每個(gè)部分都朝同一個(gè)方向移動(dòng)。

師：好，那我們讓魚(yú)身和魚(yú)尾都朝同一個(gè)方向移動(dòng)。

（多媒體播放金魚(yú)圖各部分朝同一個(gè)方向筆直移動(dòng)，但各部分移動(dòng)的距離不一樣的過(guò)程）

師：這下是平移了吧？

生（哄堂大笑）：不是。

師：為什么？

生3：這條魚(yú)又散了。怎么魚(yú)身一直向左移動(dòng)，魚(yú)尾向左移動(dòng)幾格后卻停在那兒了呢？

師：那怎樣才能使整個(gè)金魚(yú)圖的移動(dòng)成為平移呢？

生4：每個(gè)部分移動(dòng)的距離都要相等。

師：我們?cè)賮?lái)試試。

（多媒體演示金魚(yú)圖平移的過(guò)程）

生：成功了。

師：比較一下，平移前后的金魚(yú)圖有什么相同的地方和不同的地方？

生5：圖形的位置不同了，圖形的大小、形狀完全相同。

師：下面，你們根據(jù)這些特點(diǎn)來(lái)判斷一個(gè)圖形是不是平移，同時(shí)考慮圖形向什么方向平移了幾格。

（師出示圖形，學(xué)生先在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組討論，再全班交流）

師：你們已經(jīng)能根據(jù)平移的特點(diǎn)，數(shù)出一個(gè)圖形向哪個(gè)方向平移了幾格。那么，你們能畫(huà)出三角形（如下圖）向右平移6格后的圖形嗎？試試看。

師：下面，誰(shuí)來(lái)展示交流自己的畫(huà)法和想法？

生6：因?yàn)橐粋€(gè)圖形平移時(shí)，它任何部分移動(dòng)的距離都相等，所以我先將三角形的3個(gè)頂點(diǎn)向右平移6格，再將它們連起來(lái)。

生7：我是先將三角形最上面的頂點(diǎn)向右平移6格，再數(shù)一數(shù)豎著的這條邊的長(zhǎng)，畫(huà)出來(lái)后再數(shù)一數(shù)橫著的這條邊的長(zhǎng)，畫(huà)出來(lái)后……

生8：我是先將豎著的這條邊向右平移6格，再……

一般教師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，往往在學(xué)生感知物體平移現(xiàn)象后，直接要求學(xué)生畫(huà)出平移的圖形，并告知學(xué)生畫(huà)的方法和步驟：先數(shù)一數(shù)平移的距離（多少格），再畫(huà)出平移前后圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，最后將這些點(diǎn)連起來(lái)。這樣教學(xué)，雖然學(xué)生能按教師的指令快速地掌握操作的基本要領(lǐng)，并有較多的時(shí)間進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，使學(xué)生逐步形成正確的操作技能，但也會(huì)導(dǎo)致學(xué)生成為操作步驟的被動(dòng)執(zhí)行者，這樣的學(xué)習(xí)只能是機(jī)械的。上述教學(xué)中，教師先讓學(xué)生觀察兩個(gè)平移的反例，總結(jié)出平移的特點(diǎn)，這就為學(xué)生自主構(gòu)建畫(huà)平移后圖形的方法和步驟搭建好了“腳手架”。學(xué)生以“圖形平移時(shí)，任何部分移動(dòng)的距離都相等”的平移特點(diǎn)為生長(zhǎng)點(diǎn)，運(yùn)用想象、比較、判斷、推理等思維方式，由理入法，自主構(gòu)建了具有個(gè)性化的多種作圖的方法和步驟。這些作圖的方法和步驟，學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，使他們?cè)讷@得新知的同時(shí)，思維能力也得到了訓(xùn)練和發(fā)展。endprint

三、探索公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，使學(xué)生由“遵命而為”的操作者轉(zhuǎn)化為操作活動(dòng)的主動(dòng)設(shè)計(jì)者

案教：教學(xué)“圓錐體積”

師（多媒體演示轉(zhuǎn)筆刀將圓柱形鉛筆的一頭削卷成圓錐形的過(guò)程，并出示等底等高的圓柱與圓錐）：你認(rèn)為這個(gè)圓錐與圓柱的體積之間有什么關(guān)系？

生1：它們的底面相同，高也相同，且圓錐的體積是圓柱體積的一部分。

師：請(qǐng)你猜想一下，這個(gè)圓錐的體積大約是這個(gè)圓柱體積的幾分之幾？

生2： 。

生3： 。

生4： 。

……

師：到底誰(shuí)的猜想正確呢？如果給你們一些工具和材料（如等底等高的圓柱和圓錐形容器、同質(zhì)材料制成的等底等高的圓柱和圓錐形實(shí)物、水、天平等），你們能設(shè)計(jì)一個(gè)操作實(shí)驗(yàn)來(lái)證明你們的猜想嗎？

（學(xué)生小組討論）

生5：我們小組認(rèn)為，可以在圓錐形容器里裝滿水，再將水倒入與它等底等高的圓柱形容器里，如果倒2次正好倒?jié)M，說(shuō)明圓錐的體積是圓柱體積的 ;如果倒3次正好倒?jié)M，說(shuō)明圓錐的體積是圓柱體積的 。

生6：我們小組認(rèn)為，可以在天平的一端放上一個(gè)圓柱，再在另一端放上圓錐，看到底放幾個(gè)圓錐能使天平兩端平衡，就能證明圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之一。

生7：我們組認(rèn)為還可以將圓錐和圓柱分別放在裝水的容器中來(lái)測(cè)量。

……

師：請(qǐng)你們按自己小組設(shè)計(jì)的操作實(shí)驗(yàn)方案，來(lái)領(lǐng)取工具和材料進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)。

……

教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，一般由教師指定學(xué)生小組實(shí)驗(yàn)操作的步驟和方法，學(xué)生在這樣的操作活動(dòng)中成為“遵命而為”的操作工。我們認(rèn)為，這樣的操作活動(dòng)與學(xué)生觀察教師的演示實(shí)驗(yàn)所獲得的結(jié)果差別不大。而上述教學(xué)中，教師先鼓勵(lì)學(xué)生憑直覺(jué)猜想等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，學(xué)生有了自己的猜想，就會(huì)產(chǎn)生需要驗(yàn)證自己猜想的欲望。接著教師出示操作實(shí)驗(yàn)的工具和材料，讓學(xué)生設(shè)計(jì)驗(yàn)證猜想的操作實(shí)驗(yàn)方案。當(dāng)各小組學(xué)生都確定了方案后，教師才放手讓學(xué)生按自己的方案開(kāi)展操作實(shí)驗(yàn)。在這樣的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生自己引導(dǎo)自己的思維，自己設(shè)計(jì)操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的方法和步驟，自主經(jīng)歷猜想、假設(shè)、確定（或否定）的過(guò)程，從而品嘗到創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)的喜悅，既長(zhǎng)知識(shí)，又長(zhǎng)智慧。

皮亞杰說(shuō)過(guò)：“智慧自動(dòng)作發(fā)端?！睌?shù)學(xué)是一門(mén)抽象性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，而小學(xué)生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，動(dòng)手操作活動(dòng)不僅可以在數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性和學(xué)生思維的形象性之間架起一座溝通的橋梁，而且是發(fā)展學(xué)生智慧的重要途徑。

（責(zé)編 藍(lán) 天）endprint