讓“逆”在數(shù)學(xué)解題中充分體現(xiàn)

陳天紅

摘要：逆向解題思維是數(shù)學(xué)解題思維中的一種重要思維模式，它是在解題探索中，從對立統(tǒng)一的角度把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，能克服在解決數(shù)學(xué)問題時出現(xiàn)的思維定勢、方法刻板等現(xiàn)象，利于解題的敏捷性和靈活性、廣闊性和深刻性、獨(dú)立性和創(chuàng)造性，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題與實(shí)踐應(yīng)用的良好過渡.在提高逆向思維能力的過程中，從逆向解決簡單的練習(xí)鞏固入手，逐步形成較為完整的逆向解題思維體系。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；逆向思維；培養(yǎng)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2014）24-0231-02

逆向思維是指根據(jù)一種觀念（概念、原理、思想）、方法及研究對象的特點(diǎn)，從它的相反或否定的方面去進(jìn)行思考，以產(chǎn)生新的觀念.在數(shù)學(xué)解題中，通常是從已知條件到結(jié)論的思維方式，然而，有部分?jǐn)?shù)學(xué)問題若按照順向思維方式則是比較困難的，而且常常伴隨較大的運(yùn)算量，有時甚至無法解決.在這種情況下，只要我們多注意思維的逆向性，正難則反，常會使問題簡化，收到令人滿意的效果。

1.在數(shù)學(xué)解題中培養(yǎng)逆向思維的重要性

在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過程中，有機(jī)地、適當(dāng)?shù)刈⒁鈴乃紤]的數(shù)學(xué)問題的相反方面或否定方面進(jìn)行思考，從對立統(tǒng)一的角度把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，有利于澄清對某些數(shù)學(xué)概念的模糊認(rèn)識，更深刻、更透徹地理解教材，鞏固所學(xué)知識，并能克服在解決數(shù)學(xué)問題時出現(xiàn)的思維定勢、方法刻板等現(xiàn)象，從而大大地培養(yǎng)了解決數(shù)學(xué)問題的能力。

1.1打破思維定勢的局面。由于逆向思維的特點(diǎn)主要表現(xiàn)在：善于從不同的立場，不同的角度，不同的層次和不同的側(cè)面去進(jìn)行探索，當(dāng)某一思路受阻礙時，能夠迅速地轉(zhuǎn)移到另一種思路上去，從而使問題得到順利解決.因而，它就打破了人們長期學(xué)習(xí)過程中，解決由此及彼的單一訓(xùn)練思維模式，從而改變了學(xué)生知識上的缺陷和思維過程中單向定勢的頑固習(xí)慣.因此，逆向思維對數(shù)學(xué)解題能力的影響主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

1.1.1有利于解題的敏捷性和靈活性。通常在解決數(shù)學(xué)問題時不能一次找到正確的解題思路，需要及時、靈活地進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換、再次探索，而逆向思維則正是以其逆向性和雙向性來探索問題，這樣就可以形成從多角度去研究問題的情境，那么解決問題的速度就自然提高，時間也因而縮短，這就恰當(dāng)?shù)胤从沉怂季S的敏捷性和靈活性.反之，如果長久堅持一種習(xí)慣了的、有迷惑力的、然而確實(shí)也是錯誤的單一思維模式，就會浪費(fèi)精力、貽誤時間，并且加劇思維的遲鈍.同時，還應(yīng)注意逆向思維解題要涉及一系列定理、公式、規(guī)律性例題的逆運(yùn)用，正難則反，常常會使問題得到簡化，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練對人們用簡單問題去解決復(fù)雜問題可是很有啟發(fā)。

1.1.2有利于解題的廣闊性和深刻性。我們知道思維的逆向是建立在比較好的正向思維基礎(chǔ)上，它是一般、簡單思維的拓展和加深，有利于溝通知識內(nèi)部之間的聯(lián)系，是形成良好知識系統(tǒng)的重要工具.比如：逆向思維可以將一個知識點(diǎn)否定，去考慮與之相反的知識點(diǎn)所涉及的問題，因而它就不只是涉及解原問題，還包括了解與原問題相關(guān)的系列問題，在此揭露了逆向思維有利于解題的廣闊性和深刻性。

具體地，解題的廣闊性是指能從眾多的知識領(lǐng)域和多方面的題型出發(fā)來解決問題，是思路開闊而全面的表現(xiàn).逆向解完一道題后，再考慮解該題的基本特征與特殊因素，進(jìn)行多角度的觀察、聯(lián)想、找到更多的思維通路，領(lǐng)會更多逆向思維的妙處，這是有助于培養(yǎng)解題的廣闊性。

而解題的深刻性則表現(xiàn)在能透過表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系，揭露題目的本質(zhì)，進(jìn)而深入的考慮問題.逆向解完一道題后，反思題目特征，加深對題目的本質(zhì)領(lǐng)悟，抓住逆向思維在解決問題中的可逆之處，從而獲得一系列的逆向解題思路成果，這也正培養(yǎng)了人們解題的深刻性。

1.1.3有利于解題的獨(dú)立性和創(chuàng)造性。逆向解題思維是相對于習(xí)慣思維而言的，也就是從事物的相反方向來考慮問題的思維方法，它常常與事物常理相悖，起到出奇不意的效果.因此，在獨(dú)創(chuàng)性解題思維中，逆向思維可是最活躍的部分。

解題的獨(dú)立性是指在解題過程中獨(dú)立思考、獨(dú)立檢查，有根據(jù)地作出肯定或否定質(zhì)疑的品質(zhì).逆向解一道題時，要認(rèn)真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并，哪些過程又可以轉(zhuǎn)換，解題中的"逆"是否合情合理.顯而易見，逆向思維是培養(yǎng)解題獨(dú)立性的良好途徑。

而解題的創(chuàng)造性是指在解題過程中，能以獨(dú)特的心理操作方式來展開解題思維，是其解題成果新穎、與眾不同的品質(zhì).逆向解題時，思考此題要求的結(jié)論，能否從其它的角度重新審視題目，得出更加簡捷優(yōu)美的解法，因而逆向思考有助于培養(yǎng)解題的創(chuàng)造性。

1.2體現(xiàn)知識"質(zhì)"的飛躍。在解題意識上，如果懷著為了解題而解題的觀點(diǎn)就失去了素質(zhì)教育的意義.創(chuàng)新教育呼喚數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)踐、應(yīng)用于生活，而利用逆向思維解題，利于人們把解決此類型題目的思維應(yīng)用于生活，或許這就是人們在生活實(shí)踐中的一種必要思維了.因而不僅表現(xiàn)了數(shù)學(xué)題飛出了課本，連解題思想、解題方法也飛出了課本。

如這樣一個題：小遠(yuǎn)買了1角錢的郵票和2角錢的郵票共100張，一共花了17元錢，問他買了1角和2角郵票各多少張？解決此問題時，先假設(shè)買來的100張全是2角的郵票，那么總錢數(shù)應(yīng)為2×100=200（角）=20（元）.可實(shí)際上小遠(yuǎn)只花了17元錢，比假設(shè)少了3元錢，這是因?yàn)槠渲杏?角錢的郵票.若有一張1角的郵票，總錢數(shù)就少了1角.由此可求出1角郵票張數(shù)為3（元）=30（角），30÷1=30（張）.則2角郵票張數(shù)為：100-30=70（張）。

因而用逆向思維來解決生活中的問題是簡單而且必要的.實(shí)際上，逆向思維就是一種求異思維，正確運(yùn)用逆向思維不僅是解題本身的需要，也間接表露出生活實(shí)踐的需要.

2.如何培養(yǎng)在解題中的逆向思維能力

對逆向思維的培養(yǎng)首先要體會逆向思維解題的重要性，當(dāng)然并非正向思維就是一種陳舊的思維形式，逆向思維是建立在正向思維的基礎(chǔ)之上的，它離不開正向常規(guī)思維，我們要重視正向思維的訓(xùn)練，與此同時加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，克服思維定勢，要認(rèn)識到這是實(shí)在的與數(shù)學(xué)解題有著密切聯(lián)系的思維形式。

其次，培養(yǎng)逆向思維要重視互逆概念的比較，互逆公式的使用，加強(qiáng)分析法、反證法等重要方法的訓(xùn)練，并且還有如運(yùn)算與逆運(yùn)算、函數(shù)與反函數(shù)、分析與綜合、順證與反證等都為逆向思維的培養(yǎng)提供了豐富的材料，以利于揭示逆向思維的解題規(guī)律。

2.1在概念中滲透逆向思維。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，要注重相關(guān)概念對應(yīng)的逆向問題，以培養(yǎng)雙向考慮問題的習(xí)慣.在數(shù)學(xué)教材中，很多概念都可以提出逆向問題，譬如乘法公式、分母有理化等，注意對這些重要概念逆向提問，學(xué)生不僅對概念辨析得更清楚，理解得更透切，更能培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成逆向考慮問題的好習(xí)慣。

有時還可以針對某些概念舉出逆向運(yùn)用的簡單例子，讓學(xué)生們獨(dú)立的、自覺的去探索這些簡單問題的解法，讓他們在概念逆運(yùn)用的過程中有逆向解題這么一個意識.這樣在遇到一些難度較大、而正面解決又比較困難的數(shù)學(xué)問題時，就會自然的改變思考角度，從反面入手試試，這樣或許會出現(xiàn)柳暗花明的境地。

2.2在公式、定理、法則中滲透逆向思維。公式、定理、法則的運(yùn)用有正向的，也有逆向的，人們往往對正向運(yùn)用比較熟悉，錯誤較少，而對其逆運(yùn)用常不習(xí)慣，錯誤較多，并容易形成消極的思維定勢.為了解決這個問題，要求在剛開始學(xué)習(xí)公式、定理、法則時就引起高度重視，并還要從最簡單的公式、定理、法則的逆運(yùn)用開始。

在學(xué)習(xí)公式過程中應(yīng)注意公式的順用與逆用，以及公式的"聚合"與"展開".學(xué)了某一公式的順用之后，緊接著舉一些該公式逆用的例子，可以給學(xué)生一個完整的印象.如學(xué)會用公式a2=|a|解題后，應(yīng)練習(xí)用|a|=a2解題的相應(yīng)例子，這對培養(yǎng)解題逆向思維很有益處.關(guān)于公式的"聚合"與"展開"，我們知道有的公式從左到右是"展開"，如（a±b）2=a2±2ab+b2，而有的從左到右是"聚合"，如a2±2ab+b2=（a±b）2.我們不僅要求會對"展開"的公式"聚合"，還要求會對"聚合"的公式進(jìn)行"展開"，并且這兩個過程在解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時更需要表現(xiàn)出應(yīng)用自如.這樣可是培養(yǎng)逆向思維能力的有效途徑.

當(dāng)然不是所有定理的逆命題都是正確的，但對于那些可逆定理書中只給了一部分，而另一部分教材中沒有直接給出，卻在解題中應(yīng)用到了，如根的判別式的逆定理、韋達(dá)定理的逆定理等.因此，引導(dǎo)學(xué)生探求定理的逆命題的正確性，不僅能使學(xué)生學(xué)到的知識更加完備，而且激發(fā)了學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)。

最后在運(yùn)算法則中也涉及逆向思維，如加法和減法、乘法和除法、乘方和開方等都是一對對互為逆運(yùn)算，它們彼此相互依存，共同反映某種變化中的數(shù)量關(guān)系.同時通過這些簡單運(yùn)算法則的逆向運(yùn)算，加快了逆向思維在解題中的運(yùn)算速度，增強(qiáng)了在解題中的逆向意識。

2.3在簡單的練習(xí)鞏固中滲透逆向思維。如果一開始在那些較抽象、有一定難度的數(shù)學(xué)題中應(yīng)用逆向思維不僅本身有一定難度，對培養(yǎng)逆向思維能力也沒有多大的積極作用.這就要求我們從簡單的、基本的練習(xí)入手應(yīng)用逆向思維.逆向解題思維的訓(xùn)練是一個持久的過程，需要精心安排練習(xí)，題目應(yīng)由簡單到復(fù)雜、由單一到多向進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在完成這些練習(xí)之后有明顯的逆向解題思路，感覺到逆向解題所獨(dú)有的妙處，在激發(fā)學(xué)生興趣的過程中，而有效地訓(xùn)練他們的逆向思維。

3.結(jié)論

培養(yǎng)學(xué)生的雙向思維是創(chuàng)新教育的重要目的，而逆向解題思維則是雙向思維的重要組成部分.因此，理解逆向解題思維的重要性勢在必行，認(rèn)識到它是打破消極思維定勢的重要工具，能夠靈活地將書面知識、數(shù)學(xué)題庫運(yùn)用于生活實(shí)踐.在其具體運(yùn)用多向性上，要求我們找到逆向解題各分類的思維入向口，有很清晰的思維過程.這就涉及到由基本知識入手，由簡單練習(xí)入手，它不是訓(xùn)練一兩題就達(dá)到較好效果，需要眾多的練習(xí)鞏固以及長期堅持才能把握逆向解題的思維精華，日益形成一套完整的逆向解題思維系統(tǒng)。