巧用圓探究點的問題

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）24-0222-02

在中考壓軸題中，經(jīng)常會遇到一些題目，看似與圓的知識無關(guān)，但若能聯(lián)系圓的性質(zhì)，將會使問題更為直觀，探究更為完整，化隱為顯，化難為易。下面以幾個例子，來加以說明。

圓的性質(zhì)之一：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半;相等的圓周角所對的弧相等。對于以上性質(zhì)學(xué)生都記得滾瓜爛熟，若直接考查相信大部分考生都能應(yīng)對如流。但在下面的問題中，就有不少考生百思不得其解。

例題1、如圖，點A（﹣2，0），點B（2，0），點C（0，23 ），P是直線BC上的動點.

（1）求∠CAB的大小;

（2）求點P的坐標，使∠APO=30°;

（3）在坐標平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：當(dāng)BC在不同位置時，使∠APO=30°的點P的個數(shù)是否保持不變？若不變，指出點P的個數(shù)有幾個？若改變，指出點P的個數(shù)情況，并簡要說明理由.

分析：由（1）問易推得當(dāng)點P在C處時∠APO=30°，但符合條件的點P是不是只有一個呢？顯然不是，如果能聯(lián)系到圓的上述性質(zhì)，巧妙構(gòu)造過A、C、O三點的圓，由于 ∠AOC=90°，所以圓心為AC的中點Q，當(dāng)P在優(yōu)弧ACO上時∠APO=30°，該圓與直線BC有兩個交點，即符合條件的點P有兩個，不難求出這兩個點的坐標。第（3）問更能體現(xiàn)圓的作用，以AO為弦，AO所對的圓心角等于60°的圓共有2個，記為⊙Q，⊙Q′，點Q，Q′關(guān)于x軸對稱.

∵直線BC與⊙Q，⊙Q′的公共點P都滿足∠APO=30°，

∴點P的個數(shù)情況如下：

①有1個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切;

②有2個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相交;

③有3個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切，同時與⊙Q（或⊙Q′）相交;直線BC過⊙Q與⊙Q′的一個交點，同時與兩圓都相交;

④有4個：直線BC同時與兩圓都相交，且不過兩圓的交點.

構(gòu)造⊙Q，⊙Q′ 根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)點P在優(yōu)弧ACO或優(yōu)弧AC'O上時∠APO=30°，就把此問題轉(zhuǎn)化為觀察直線BC與這兩段優(yōu)弧的交點個數(shù)，使問題更易探究。

例題2、 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，7），點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（3，0） .若在 軸的正半軸上有一點D，且∠ACB =∠ADB，則點D的坐標為;

分析：此題雖然沒有提到圓，但中要作出經(jīng)過A、B、C三點的圓，由圓周角的性質(zhì)可知，當(dāng)點D在優(yōu)弧ACB上時∠ACB =∠ADB，觀察圓與 軸的交點，就可求得點D的坐標。

我們還可以自已得出推論：如圖，點A、B、C、均為⊙O上的點，若點E在⊙O外 ，且與點C在直線AB同側(cè)，則有∠C>∠E.證明這一結(jié)論并不難，如圖，連結(jié)BF，則有∠C=∠AFB，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠AFB ∠E，同樣可推得若點M在圓內(nèi)則有∠C ∠AMB。

例題3、 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，m），點B的坐標為（0，n），

其中m>n>0.點P為 軸正半軸上的一個動點，當(dāng)∠APB達到最大時，直接寫出此時點P的坐標.

分析：構(gòu)造出經(jīng)過A、B兩點且與 軸相切的圓，則切點就是所求的點P。理由：在 軸的正半軸上任取一點P'（不與點P重合），由上述的推論得∠APB ∠AP'B。過圓心M作AB的垂線段MC，連結(jié)MB，再根據(jù)垂徑定理、勾股定理即可求得MC，從而求得點P的坐標.

圓的性質(zhì)之二：半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于900。

例題4、如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，8），點 B（b，t）在直線x=b上運動，點D、E、F分別為OB、0A、AB的中點，其中b是大于零的常數(shù).

（1）判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結(jié)論;

（2）設(shè)直線x=b與x軸交于點C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能.求出t的值;若不能，說明理由.

分析：在問題（1）的基礎(chǔ)上，只需∠ABO=90°，四邊形DEFB就為矩形，因此探索∠ABO能否為90°是本題的關(guān)鍵。由于直線x=b是一條動直線，所以∠ABO不一定會等于90°，若能聯(lián)系上述的圓的性質(zhì)，構(gòu)造以O(shè)A為直徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)點B在圓周上（異于O、A兩點）時∠ABO=90°，而直線x=b與此圓公共點的個數(shù)為0，1，2三種情況，因此當(dāng)b>4時，直線x=b與圓沒有公共點，也就是四邊形DEFB不能是矩形，當(dāng) 時直線x=b與圓有公共點，四邊形DEFB能是矩形，再利用相似三角形的性質(zhì)就可求得t與b的關(guān)系，也就求出t的值。解題時不少學(xué)生易忽略當(dāng)b>4時，直線x=b與圓沒有公共點，也就是四邊形DEFB不能是矩形這一情況，通過圓不然發(fā)現(xiàn)這一情況。

例5、已知Rt△ABC中， AC=5， BC=12，∠ ACB=90°，P是邊AB上的動點， Q是邊BC上的動點，且∠CPQ=90°，求線段CQ的取值范圍。

解析：觀察圖形不難看出當(dāng)Q與B重合時CQ最大，難點在于點Q在何處時CQ最小，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以CQ為直徑作⊙O，若AB邊上的動點P在圓上，∠ CPQ就為直角，若⊙O與AB相離，則∠CPQ190°。所以當(dāng)⊙O與AB相切時，直徑CQ最小.由切線長定理，得AP=AC=5，所以BP=13-5=8.連結(jié)OP根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出圓的半徑，即可求得CQ=203.綜上所述，203≤CQ≤12.

以上幾個例題，題意上均未出現(xiàn)圓的字眼，一開始感覺比較茫無頭緒，即使找出一個點，也很然判斷是否有其它點，若構(gòu)造出相應(yīng)圓，就能直觀的感受到點的存在及個數(shù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的化歸思想，使問題迎韌而解。

作者簡介：

林偉煌，中學(xué)一級數(shù)學(xué)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)