以文化的視角看高中數(shù)學(xué)課堂基本模式

劉清昆

摘要：數(shù)學(xué)是一種語言、一種文化，它有自身獨特的知識類型，不同的知識類型中知識的獲得有著不同的模式。本文試著從文化的視角給出高中數(shù)學(xué)語言習(xí)得的模式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化 高中數(shù)學(xué) 課堂模式

數(shù)學(xué)是一種語言、一種文化，它像任一個民族的母語一樣，都是經(jīng)過漫長的歷史沉積而成，都有自己的符號系統(tǒng)、邏輯體系、成文方法。世界上任何一種語言的習(xí)得，都需要一種氛圍，語言的氣場。語言習(xí)得過程大致分為這樣幾個階段：首先觀察、感悟話語體系，其次通過練習(xí)簡約初步話語體系，最后通過對話抽象話語體系。與之相對，史寧中先生也提出了數(shù)學(xué)抽象的三個層次：簡約階段、符號階段、普適階段。但是大量現(xiàn)實的數(shù)學(xué)課堂，卻未遵循語言的合理方式，至今很多的課堂依舊是T.V式（講授）為主。上述狀況我們稱之為“語言習(xí)得”的病態(tài)，導(dǎo)致這種狀況的根源大致如下。

歷史的原因：數(shù)學(xué)教師更多的是模仿其多年學(xué)習(xí)過程中對其影響最大的教師的教學(xué)方式。此處的教師并不指具體的哪個教師，而是教者多年學(xué)習(xí)過程中，影響自己教學(xué)觀的抽象的老師。我們傳統(tǒng)的課堂強調(diào)傳道，既然是傳道那就自認(rèn)老師比學(xué)生懂得多，課堂就應(yīng)我教你聽，也就是“講臺”為中心。

教學(xué)觀的原因。即使學(xué)界呼吁多年數(shù)學(xué)是一種文化，但具體如何使數(shù)學(xué)課堂更有文化、不同的課型應(yīng)該如何操作卻成了默會知識。學(xué)者因為缺乏一線教學(xué)經(jīng)驗，只是給出了理論框架，一線教師對數(shù)學(xué)文化僅為初步了解，現(xiàn)實的課堂，更多的改進(jìn)僅停留在課堂中適當(dāng)?shù)卦黾訑?shù)學(xué)史的內(nèi)容、構(gòu)建知識的生活背景等，認(rèn)為這些就是數(shù)學(xué)文化。

學(xué)界對數(shù)學(xué)文化的界定很多，研究的視角多元。本文為了闡述問題的便捷，將數(shù)學(xué)文化做如下的界定。數(shù)學(xué)是人類對生活的世界進(jìn)行高度抽象的一種創(chuàng)造活動，是一種模式的科學(xué)。正如李鐵安所言，數(shù)學(xué)文化系統(tǒng)包括數(shù)學(xué)活動中的靜態(tài)結(jié)果和動態(tài)結(jié)果以及它們所包含的各因素之間的交互作用。靜態(tài)結(jié)果包括數(shù)學(xué)知識、思想、方法等，動態(tài)結(jié)果包括數(shù)學(xué)認(rèn)知的價值判斷、審美追求、思維過程等。它具有抽象性、邏輯性及數(shù)學(xué)的理性等特征。

在數(shù)學(xué)文化的視角下構(gòu)建數(shù)學(xué)課堂需要對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)做基本的界定。史寧中[1]將數(shù)學(xué)的基本思想界定為抽象、推理、模型。抽象將生活上升為數(shù)學(xué)，推理促進(jìn)了數(shù)學(xué)體系的發(fā)展，模型是數(shù)學(xué)作用于生活的抓手。由此我們將數(shù)學(xué)知識劃分為如下的類型：

一、數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)課的類別

數(shù)學(xué)是一種語言，形式化、符號化、公理化是其現(xiàn)代特征，這有利于數(shù)學(xué)自身語言體系的描述，但對數(shù)學(xué)語言的習(xí)得帶來了不小的障礙。為了更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)言語的習(xí)得，針對闡釋對象的符號化就需了解其現(xiàn)實背景，針對證明過程的形式化就應(yīng)還原其數(shù)學(xué)直觀，針對邏輯的公理化就應(yīng)強調(diào)歸納推理。下面我們依上文劃分的知識類型分別談一談文化視角下的數(shù)學(xué)課堂。

1.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個抽象的過程。它源于學(xué)生的生活及學(xué)習(xí)經(jīng)驗，經(jīng)過不斷的簡約化、符號化、模式化，形成數(shù)學(xué)的認(rèn)識，構(gòu)成數(shù)學(xué)語言體系。其模式為：

學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)概念的過程，要構(gòu)建合理的認(rèn)知材料以利于概念的初步抽象，這個過程具有如下的特征：（1）構(gòu)建情景或組織活動激活原有經(jīng)驗，形成初步認(rèn)知或認(rèn)知沖突； （2）通過操作、討論、對話等活動將初步認(rèn)知概念化、符號化；（3）進(jìn)行概念認(rèn)知強化，能用數(shù)學(xué)的視角辨別具體的對象。

[案例一]函數(shù)的概念

問題1 同學(xué)們在初中已學(xué)過函數(shù)，你能舉幾個函數(shù)的例子嗎？

問題2 下述生活情景中，有函數(shù)的實例嗎？為什么？

（1）2014年6月4日上午10∶00～11∶00上海證券交易所的股票指數(shù)的情況，這是一個函數(shù)嗎？

（2）奧運選手比賽中射擊序號與中靶環(huán)數(shù)的對應(yīng)表，環(huán)數(shù)是序號的函數(shù)嗎？

問題3 你判斷自己舉的例子是不是函數(shù)的依據(jù)是什么？

問題4 y=1是函數(shù)嗎？請說明理由。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生自己舉例及老師選取生活中的函數(shù)實例來激活學(xué)生原有認(rèn)知的函數(shù)“變量說”。引導(dǎo)學(xué)生分別用解析式、表格、圖像表示對應(yīng)的函數(shù)。設(shè)置變量說無法解釋的函數(shù)實例，引起認(rèn)知沖突。

數(shù)學(xué)史實介紹：函數(shù)概念的演變過程。

設(shè)計意圖：為集合視角下的函數(shù)概念引入的必要性做鋪墊。

問題5 （1）你能用集合與對應(yīng)的語言描述函數(shù)概念嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用集合的觀點解釋已有概念，獲得函數(shù)的新認(rèn)知。

（2）認(rèn)識之前舉例函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系。

數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)言語的習(xí)得不同于傳授式的課堂，首先時間分配比上，并未將大部分精力放在函數(shù)概念的解析上，而是將主要的精力放在函數(shù)概念的抽象及集合觀點下函數(shù)言語的嚴(yán)謹(jǐn)化上。這個過程能使學(xué)生明白在數(shù)學(xué)定義和運算的抽象過程中，許多的物理背景和幾何直觀喪失是為數(shù)學(xué)的簡潔化服務(wù)的。

2.數(shù)學(xué)體系的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)體系的學(xué)習(xí)過程是推理的過程，具有形式化、公理化的特征。由簡單的數(shù)學(xué)概念，通過歸納、演繹推理，形成復(fù)雜的數(shù)學(xué)體系。其模式為：

學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)體系的過程，要注重歸納推理，及數(shù)學(xué)直觀，這個過程具有如下的特征： （1）構(gòu)建合理的知識及程序性材料，進(jìn)行初步感知；（2）通過推理活動認(rèn)識新知；（3）通過實踐演練，達(dá)到對新知的理解、掌握及延展。

[案例2]等差數(shù)列前n項和

問題1某施工隊要砌如下形狀的磚墻需要多少塊磚頭？

設(shè)計意圖：通過擬生活化的問題情景，學(xué)生抽象問題本質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合，探究數(shù)列求和的技巧。

問題2 （1）你能否求得等差數(shù)列{an}的前n項和公式？

（2）等差數(shù)列{an}：a1=14.5，d=0.7，an=32，求其前n項和Sn。

設(shè)計意圖：將上述問題中的感悟，推廣到一般情景，推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和的公式。通過具體的實例賞析Sn=中蘊含的基本量思想。

問題3 （1）已知一個等差數(shù)列{an}前10項和是310，前20項和是1220，由這些條件能確定等差數(shù)列的前n項和公式嗎？

（2）用781塊磚能否砌成如下的20層磚墻：每層磚數(shù)成等差數(shù)列，第一層磚數(shù)為1，最后一層磚數(shù)為77？

數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)言語源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)言語的目的是為了用更科學(xué)合理的方式描述現(xiàn)實生活。本課通過擬生活化的問題情景，鍛煉學(xué)生初步地用數(shù)學(xué)的眼光分析問題、解析問題的能力。學(xué)生只有抽象出磚墻磚數(shù)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即首相為1公差為2的等差數(shù)列前21項和，才能說其具備了用數(shù)學(xué)的眼光審視生活的能力。在求解磚墻磚的總數(shù)目這樣一個類生活化問題的過程中學(xué)生可習(xí)得用數(shù)學(xué)的眼光解析生活的能力，體驗到特殊到一般的歸納推理能力，賞析到數(shù)學(xué)的簡潔美。

3.模型的學(xué)習(xí)

模型的學(xué)習(xí)過程是用數(shù)學(xué)的言語講述生活的過程。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的子范疇，側(cè)重于用數(shù)學(xué)的概念、原理及思維方式描述現(xiàn)實生活，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活的橋梁。其模式為：

學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)模型的過程，要注意相應(yīng)數(shù)學(xué)言語的嚴(yán)謹(jǐn)化，這個過程具有如下的特征：激活相關(guān)的數(shù)學(xué)言語，形成知識準(zhǔn)備；用數(shù)學(xué)的言語分析數(shù)學(xué)模型；全面認(rèn)識模型及模型實際應(yīng)用。

[案例3]指數(shù)函數(shù)

問題1 （1）莊子-天下篇“一尺之捶，日取其半，萬世不竭?！庇脭?shù)學(xué)的語言表示天數(shù)與木棍長度的關(guān)系。

（2）若讓編號為1的同學(xué)準(zhǔn)備1粒米，2號準(zhǔn)備2粒米，3號準(zhǔn)備4粒米，……照此規(guī)律，最后一位同學(xué)該準(zhǔn)備多少粒米？能否估計這些米有多重？

設(shè)計意圖：體會生活、史學(xué)上的指數(shù)模型積累指數(shù)型函數(shù)的經(jīng)驗；體驗指數(shù)函數(shù)爆炸性增長的特點及極限思想；用數(shù)學(xué)的言語描述生活中的關(guān)系。

問題2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否構(gòu)成函數(shù)？是我們學(xué)過的哪種函數(shù)？能否根據(jù)函數(shù)的特征給它起個名字？

設(shè)計意圖：抽象函數(shù)模型，體會數(shù)學(xué)基本思維——抽象、模型。

指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指數(shù)函數(shù)。

問題3 （1）為什么指數(shù)函數(shù)規(guī)定a>0且a≠1？

（2）判斷y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否為指數(shù)函數(shù)？

設(shè)計意圖：借助問題展開數(shù)學(xué)對話進(jìn)行數(shù)學(xué)言語的訓(xùn)練。

問題4 （1）你能否設(shè)計一個方案以便全面地分析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

（2）請在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)做出函數(shù)y=2x，y=3x，的圖像。

設(shè)計意圖：提供有結(jié)構(gòu)的材料以便同學(xué)通過對話，探討指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

二、數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)課的特質(zhì)

文化視角下的數(shù)學(xué)課堂不再單純地將數(shù)學(xué)視作知識的傳授，而是視其為一種語言的傳承。課堂上我們強調(diào)數(shù)學(xué)的背景化、直觀化，強調(diào)歸納推理，注重學(xué)生數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗的獲得及數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。文化視角的數(shù)學(xué)課堂有如下的特質(zhì)。

1.關(guān)注數(shù)學(xué)知識生成的過程及背景。函數(shù)的概念一課，我們?yōu)閷W(xué)生提供的原始認(rèn)知材料既有函數(shù)運動定義下的一般例子又有運動定義下的異象函數(shù)，這樣就容易解釋為什么我們已經(jīng)知道了運動觀點下函數(shù)的概念還要學(xué)習(xí)對應(yīng)觀點下的函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)一課，我們?yōu)閷W(xué)生提供了豐富的指數(shù)型函數(shù)實例，不僅可以告訴學(xué)生指數(shù)函數(shù)模型有豐富的生活背景還可以使其知曉我們所研究的指數(shù)函數(shù)是生活中實例的數(shù)學(xué)抽象。

2.關(guān)注數(shù)學(xué)語言習(xí)得的科學(xué)性。此處的科學(xué)性，是指習(xí)得數(shù)學(xué)言語時符合數(shù)學(xué)知識的生長及數(shù)學(xué)體系的生成理論。指數(shù)函數(shù)的定義的生成，我們設(shè)置了一個小的環(huán)節(jié)，要求學(xué)生給函數(shù)命名，目的是使學(xué)生知曉數(shù)學(xué)中一些概念的名稱無非是一種數(shù)學(xué)人士的約定俗稱，是一種數(shù)學(xué)生活的契約話語。

3.關(guān)注學(xué)生的思維鍛煉。等差數(shù)列的前n項和我們并沒有采用常規(guī)引學(xué)方式：介紹高斯求解1+2+……+50的方法，而是設(shè)置了一個擬生活化的例子，求一磚墻的總磚數(shù)。這個例子比較直觀，可以鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)言語分析生活的能力（亦可稱其為數(shù)學(xué)閱讀能力），又可以通過數(shù)形結(jié)合突破等差數(shù)列求和的技術(shù)難關(guān)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的分析，我們嘗試著讓學(xué)生去設(shè)計方案，通過這個過程使學(xué)生體會特殊到一般的歸納思維，加強對數(shù)學(xué)基本思想的鍛煉。

文化視角的數(shù)學(xué)課堂，關(guān)注了數(shù)學(xué)的生活化、趣味性，關(guān)注了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累，關(guān)注了數(shù)學(xué)基本思想的鍛煉，關(guān)注了數(shù)學(xué)言語形成的細(xì)節(jié)。

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1-4輯）.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

[2] [荷]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué).陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3] 張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化.上海：上海教育出版社，2011.

[4] [美]齊斯德福林.數(shù)學(xué)的語言.洪萬生，等譯.桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2013.

【責(zé)任編輯 郭振玲】

問題3 （1）已知一個等差數(shù)列{an}前10項和是310，前20項和是1220，由這些條件能確定等差數(shù)列的前n項和公式嗎？

（2）用781塊磚能否砌成如下的20層磚墻：每層磚數(shù)成等差數(shù)列，第一層磚數(shù)為1，最后一層磚數(shù)為77？

數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)言語源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)言語的目的是為了用更科學(xué)合理的方式描述現(xiàn)實生活。本課通過擬生活化的問題情景，鍛煉學(xué)生初步地用數(shù)學(xué)的眼光分析問題、解析問題的能力。學(xué)生只有抽象出磚墻磚數(shù)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即首相為1公差為2的等差數(shù)列前21項和，才能說其具備了用數(shù)學(xué)的眼光審視生活的能力。在求解磚墻磚的總數(shù)目這樣一個類生活化問題的過程中學(xué)生可習(xí)得用數(shù)學(xué)的眼光解析生活的能力，體驗到特殊到一般的歸納推理能力，賞析到數(shù)學(xué)的簡潔美。

3.模型的學(xué)習(xí)

模型的學(xué)習(xí)過程是用數(shù)學(xué)的言語講述生活的過程。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的子范疇，側(cè)重于用數(shù)學(xué)的概念、原理及思維方式描述現(xiàn)實生活，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活的橋梁。其模式為：

學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)模型的過程，要注意相應(yīng)數(shù)學(xué)言語的嚴(yán)謹(jǐn)化，這個過程具有如下的特征：激活相關(guān)的數(shù)學(xué)言語，形成知識準(zhǔn)備；用數(shù)學(xué)的言語分析數(shù)學(xué)模型；全面認(rèn)識模型及模型實際應(yīng)用。

[案例3]指數(shù)函數(shù)

問題1 （1）莊子-天下篇“一尺之捶，日取其半，萬世不竭?！庇脭?shù)學(xué)的語言表示天數(shù)與木棍長度的關(guān)系。

（2）若讓編號為1的同學(xué)準(zhǔn)備1粒米，2號準(zhǔn)備2粒米，3號準(zhǔn)備4粒米，……照此規(guī)律，最后一位同學(xué)該準(zhǔn)備多少粒米？能否估計這些米有多重？

設(shè)計意圖：體會生活、史學(xué)上的指數(shù)模型積累指數(shù)型函數(shù)的經(jīng)驗；體驗指數(shù)函數(shù)爆炸性增長的特點及極限思想；用數(shù)學(xué)的言語描述生活中的關(guān)系。

問題2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否構(gòu)成函數(shù)？是我們學(xué)過的哪種函數(shù)？能否根據(jù)函數(shù)的特征給它起個名字？

設(shè)計意圖：抽象函數(shù)模型，體會數(shù)學(xué)基本思維——抽象、模型。

指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指數(shù)函數(shù)。

問題3 （1）為什么指數(shù)函數(shù)規(guī)定a>0且a≠1？

（2）判斷y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否為指數(shù)函數(shù)？

設(shè)計意圖：借助問題展開數(shù)學(xué)對話進(jìn)行數(shù)學(xué)言語的訓(xùn)練。

問題4 （1）你能否設(shè)計一個方案以便全面地分析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

（2）請在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)做出函數(shù)y=2x，y=3x，的圖像。

設(shè)計意圖：提供有結(jié)構(gòu)的材料以便同學(xué)通過對話，探討指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

二、數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)課的特質(zhì)

文化視角下的數(shù)學(xué)課堂不再單純地將數(shù)學(xué)視作知識的傳授，而是視其為一種語言的傳承。課堂上我們強調(diào)數(shù)學(xué)的背景化、直觀化，強調(diào)歸納推理，注重學(xué)生數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗的獲得及數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。文化視角的數(shù)學(xué)課堂有如下的特質(zhì)。

1.關(guān)注數(shù)學(xué)知識生成的過程及背景。函數(shù)的概念一課，我們?yōu)閷W(xué)生提供的原始認(rèn)知材料既有函數(shù)運動定義下的一般例子又有運動定義下的異象函數(shù)，這樣就容易解釋為什么我們已經(jīng)知道了運動觀點下函數(shù)的概念還要學(xué)習(xí)對應(yīng)觀點下的函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)一課，我們?yōu)閷W(xué)生提供了豐富的指數(shù)型函數(shù)實例，不僅可以告訴學(xué)生指數(shù)函數(shù)模型有豐富的生活背景還可以使其知曉我們所研究的指數(shù)函數(shù)是生活中實例的數(shù)學(xué)抽象。

2.關(guān)注數(shù)學(xué)語言習(xí)得的科學(xué)性。此處的科學(xué)性，是指習(xí)得數(shù)學(xué)言語時符合數(shù)學(xué)知識的生長及數(shù)學(xué)體系的生成理論。指數(shù)函數(shù)的定義的生成，我們設(shè)置了一個小的環(huán)節(jié)，要求學(xué)生給函數(shù)命名，目的是使學(xué)生知曉數(shù)學(xué)中一些概念的名稱無非是一種數(shù)學(xué)人士的約定俗稱，是一種數(shù)學(xué)生活的契約話語。

3.關(guān)注學(xué)生的思維鍛煉。等差數(shù)列的前n項和我們并沒有采用常規(guī)引學(xué)方式：介紹高斯求解1+2+……+50的方法，而是設(shè)置了一個擬生活化的例子，求一磚墻的總磚數(shù)。這個例子比較直觀，可以鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)言語分析生活的能力（亦可稱其為數(shù)學(xué)閱讀能力），又可以通過數(shù)形結(jié)合突破等差數(shù)列求和的技術(shù)難關(guān)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的分析，我們嘗試著讓學(xué)生去設(shè)計方案，通過這個過程使學(xué)生體會特殊到一般的歸納思維，加強對數(shù)學(xué)基本思想的鍛煉。

文化視角的數(shù)學(xué)課堂，關(guān)注了數(shù)學(xué)的生活化、趣味性，關(guān)注了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累，關(guān)注了數(shù)學(xué)基本思想的鍛煉，關(guān)注了數(shù)學(xué)言語形成的細(xì)節(jié)。

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1-4輯）.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

[2] [荷]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué).陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3] 張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化.上海：上海教育出版社，2011.

[4] [美]齊斯德福林.數(shù)學(xué)的語言.洪萬生，等譯.桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2013.

【責(zé)任編輯 郭振玲】

問題3 （1）已知一個等差數(shù)列{an}前10項和是310，前20項和是1220，由這些條件能確定等差數(shù)列的前n項和公式嗎？

（2）用781塊磚能否砌成如下的20層磚墻：每層磚數(shù)成等差數(shù)列，第一層磚數(shù)為1，最后一層磚數(shù)為77？

數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)言語源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)言語的目的是為了用更科學(xué)合理的方式描述現(xiàn)實生活。本課通過擬生活化的問題情景，鍛煉學(xué)生初步地用數(shù)學(xué)的眼光分析問題、解析問題的能力。學(xué)生只有抽象出磚墻磚數(shù)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即首相為1公差為2的等差數(shù)列前21項和，才能說其具備了用數(shù)學(xué)的眼光審視生活的能力。在求解磚墻磚的總數(shù)目這樣一個類生活化問題的過程中學(xué)生可習(xí)得用數(shù)學(xué)的眼光解析生活的能力，體驗到特殊到一般的歸納推理能力，賞析到數(shù)學(xué)的簡潔美。

3.模型的學(xué)習(xí)

模型的學(xué)習(xí)過程是用數(shù)學(xué)的言語講述生活的過程。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的子范疇，側(cè)重于用數(shù)學(xué)的概念、原理及思維方式描述現(xiàn)實生活，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活的橋梁。其模式為：

學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)模型的過程，要注意相應(yīng)數(shù)學(xué)言語的嚴(yán)謹(jǐn)化，這個過程具有如下的特征：激活相關(guān)的數(shù)學(xué)言語，形成知識準(zhǔn)備；用數(shù)學(xué)的言語分析數(shù)學(xué)模型；全面認(rèn)識模型及模型實際應(yīng)用。

[案例3]指數(shù)函數(shù)

問題1 （1）莊子-天下篇“一尺之捶，日取其半，萬世不竭?！庇脭?shù)學(xué)的語言表示天數(shù)與木棍長度的關(guān)系。

（2）若讓編號為1的同學(xué)準(zhǔn)備1粒米，2號準(zhǔn)備2粒米，3號準(zhǔn)備4粒米，……照此規(guī)律，最后一位同學(xué)該準(zhǔn)備多少粒米？能否估計這些米有多重？

設(shè)計意圖：體會生活、史學(xué)上的指數(shù)模型積累指數(shù)型函數(shù)的經(jīng)驗；體驗指數(shù)函數(shù)爆炸性增長的特點及極限思想；用數(shù)學(xué)的言語描述生活中的關(guān)系。

問題2 y=2x（x∈N*）和y=（）x（x∈N*）能否構(gòu)成函數(shù)？是我們學(xué)過的哪種函數(shù)？能否根據(jù)函數(shù)的特征給它起個名字？

設(shè)計意圖：抽象函數(shù)模型，體會數(shù)學(xué)基本思維——抽象、模型。

指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)y=ax（a>0，a≠1），x∈R叫做指數(shù)函數(shù)。

問題3 （1）為什么指數(shù)函數(shù)規(guī)定a>0且a≠1？

（2）判斷y=ex，y=3-x，y=（-2）2x是否為指數(shù)函數(shù)？

設(shè)計意圖：借助問題展開數(shù)學(xué)對話進(jìn)行數(shù)學(xué)言語的訓(xùn)練。

問題4 （1）你能否設(shè)計一個方案以便全面地分析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

（2）請在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)做出函數(shù)y=2x，y=3x，的圖像。

設(shè)計意圖：提供有結(jié)構(gòu)的材料以便同學(xué)通過對話，探討指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

二、數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)課的特質(zhì)

文化視角下的數(shù)學(xué)課堂不再單純地將數(shù)學(xué)視作知識的傳授，而是視其為一種語言的傳承。課堂上我們強調(diào)數(shù)學(xué)的背景化、直觀化，強調(diào)歸納推理，注重學(xué)生數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗的獲得及數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。文化視角的數(shù)學(xué)課堂有如下的特質(zhì)。

1.關(guān)注數(shù)學(xué)知識生成的過程及背景。函數(shù)的概念一課，我們?yōu)閷W(xué)生提供的原始認(rèn)知材料既有函數(shù)運動定義下的一般例子又有運動定義下的異象函數(shù)，這樣就容易解釋為什么我們已經(jīng)知道了運動觀點下函數(shù)的概念還要學(xué)習(xí)對應(yīng)觀點下的函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)一課，我們?yōu)閷W(xué)生提供了豐富的指數(shù)型函數(shù)實例，不僅可以告訴學(xué)生指數(shù)函數(shù)模型有豐富的生活背景還可以使其知曉我們所研究的指數(shù)函數(shù)是生活中實例的數(shù)學(xué)抽象。

2.關(guān)注數(shù)學(xué)語言習(xí)得的科學(xué)性。此處的科學(xué)性，是指習(xí)得數(shù)學(xué)言語時符合數(shù)學(xué)知識的生長及數(shù)學(xué)體系的生成理論。指數(shù)函數(shù)的定義的生成，我們設(shè)置了一個小的環(huán)節(jié)，要求學(xué)生給函數(shù)命名，目的是使學(xué)生知曉數(shù)學(xué)中一些概念的名稱無非是一種數(shù)學(xué)人士的約定俗稱，是一種數(shù)學(xué)生活的契約話語。

3.關(guān)注學(xué)生的思維鍛煉。等差數(shù)列的前n項和我們并沒有采用常規(guī)引學(xué)方式：介紹高斯求解1+2+……+50的方法，而是設(shè)置了一個擬生活化的例子，求一磚墻的總磚數(shù)。這個例子比較直觀，可以鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)言語分析生活的能力（亦可稱其為數(shù)學(xué)閱讀能力），又可以通過數(shù)形結(jié)合突破等差數(shù)列求和的技術(shù)難關(guān)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的分析，我們嘗試著讓學(xué)生去設(shè)計方案，通過這個過程使學(xué)生體會特殊到一般的歸納思維，加強對數(shù)學(xué)基本思想的鍛煉。

文化視角的數(shù)學(xué)課堂，關(guān)注了數(shù)學(xué)的生活化、趣味性，關(guān)注了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累，關(guān)注了數(shù)學(xué)基本思想的鍛煉，關(guān)注了數(shù)學(xué)言語形成的細(xì)節(jié)。

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1-4輯）.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

[2] [荷]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué).陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3] 張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化.上海：上海教育出版社，2011.

[4] [美]齊斯德福林.數(shù)學(xué)的語言.洪萬生，等譯.桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2013.

【責(zé)任編輯 郭振玲】