中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動中常用的建模方法

李存保 于素潔

【摘要】 我國的中學(xué)數(shù)學(xué)教育，不同程度地存在缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、興趣和能力方面的問題.筆者開展了在中學(xué)從課內(nèi)外結(jié)合進行數(shù)學(xué)建模的活動，目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力，讓學(xué)生學(xué)得生動活潑，使數(shù)學(xué)素質(zhì)教育躍上一個新的高度。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模 活動 探索

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）8 -0129-02

“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是我們國家興旺發(fā)達的不竭動力?！?中學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒幼畲蟮膬?yōu)點是學(xué)生的主動性，創(chuàng)造性可以得到充分發(fā)揮，學(xué)生的主體作用得以體現(xiàn).在中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動中，常用的建模方法有機理分析法、數(shù)據(jù)擬合法、類比分析法、圖解法、假設(shè)法等，以下就這些常用的方法略以闡述。

1、機理分析法

機理分析法是指應(yīng)用自然科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)等中已被證明是正確的理論、原理和定理，對被研究問題的有關(guān)因素進行分析、演繹、歸納，從而建立問題的數(shù)學(xué)模型.機理分析法是中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動中最常用的一種方法。當(dāng)我們遇到一個問題時，總是想方設(shè)法化歸到我們已經(jīng)掌握的知識范圍內(nèi)處理。當(dāng)我們對某問題的各有關(guān)因素有比較透徹的了解時，機理分析法尤其適用，我們可以根據(jù)該問題的有關(guān)性質(zhì)來直接建立數(shù)學(xué)模型。

例如，在公路旁的某鎮(zhèn)北偏西60°且距離該鎮(zhèn)30km處的A村和該鎮(zhèn)東北50km的B村，隨著改革開放要在公路旁修一車站C，從C站向A、B兩村修公路，問C站修在公路的什么地方，可使費用最少？

分析：此問題可以和物理光學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系。

設(shè)以公路為x軸，該鎮(zhèn)為原點建立直角坐標系，

則A（-15，15），B（25，25）

作A點關(guān)于x軸的對稱點A（-15，-15），

連結(jié)AB交x軸于C，則C為所求站點。

2、數(shù)據(jù)擬合法

很多情況下，由于我們對一個問題的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)不很清楚，因此就無法應(yīng)用機理分析法找出符合規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.不過如果通過實驗或測量已經(jīng)得到了描述這個問題的一組數(shù)據(jù)，那么我們就可以對這些數(shù)據(jù)加以分析利用，數(shù)據(jù)擬合法就是根據(jù)對這些有限的數(shù)據(jù)的研究分析，找到能夠精確或大致反映問題本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)模型。

例如，據(jù)世界人口組織公布地球上的人口在公元元年為2.5億，1600年為5億，1830年為10億，1930年為20億，1960年為30億，1974年為40億，1987年為50億，到1999年底地球上的人口數(shù)達到了60億，請你根據(jù)20世紀人口增長規(guī)律推測，到哪年世界人口將達到100億，到2100年地球上將會有多少人口？

分析：題目中的數(shù)據(jù)均為大致時間，粗略估計的量，帶有較多誤差，因此，尋找人口增長規(guī)律不需要也不應(yīng)該過分強調(diào)規(guī)律與數(shù)據(jù)完全吻合，因此，組建預(yù)報模型.不必要考慮20世紀以前的數(shù)據(jù)資料，在20世紀人口的增長速度是逐步變快的，因此不能應(yīng)用一次函數(shù)來作為預(yù)報的模型，而應(yīng)選擇指數(shù)函數(shù).故選擇N（t）=aert，其中N（t）為t時間的人口數(shù)，a、r為參數(shù).數(shù)據(jù)擬合是處理這類問題的有利根據(jù).我們通過已知數(shù)據(jù)，去確定某一類已知函數(shù)或?qū)ふ夷硞€近似函數(shù)，使所得的擬合函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的擬合精度。

3、類比分析法

如果兩個不同的問題，我們都可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，那么這兩個問題就可以相互類比.通過類比分析法，我們可以去猜想這兩個問題的一些屬性或關(guān)系也可能是相似的，從而幫助我們掌握復(fù)雜事物的規(guī)律，提高我們分析問題和解決問題的能力。

例如：問題1. 房間有8 個人，每個人都和其余每一個人握手一次而且都只能握一次手，問他們共握多少次？

問題2. 8個班參加籃球循環(huán)比賽，共比賽多少場？

這是兩個生活中的例子，可以建立這樣的模型：把每個人看成一個點，構(gòu)造一個凸八邊形模型，則每條邊和對角線都表示“握手”和“比賽”，問題歸為求凸八邊形的對角線數(shù)加邊數(shù).即得28：當(dāng)然可以推廣到n 個，結(jié)果是：

4、圖解法

圖解法是將問題表述在圖形中，利用圖形直觀判斷實際問題的解.常用于傳遞性關(guān)系或僅涉及變量的近似數(shù)據(jù)，可用的信息不多或這些信息又不精確時.例如相遇問題：某輪船公司每天都有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途中所化的時間來去都是七晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上.問今天中午從哈佛開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來？

從圖形中顯而易見地看到，從哈佛開出的輪船抵達紐約時，遇到了14艘同一公司的輪船從對面開來。

中學(xué)數(shù)學(xué)建模的方法還有很多，而且各種方法之間也沒有明確的區(qū)分，在此就不再一一羅列。