課堂教學設(shè)計中的三個基本問題——以小學數(shù)學 “一一間隔排列”教學為例

徐文彬

（南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097）

近日，我們有幸先后 “連續(xù)”觀摩了江蘇的揚州、無錫和淮安三所小學三年級第一學期同樣內(nèi)容的三節(jié)數(shù)學課：一一間隔排列。通過與授課教師及其同伴的課間、課后溝通與交流，認為現(xiàn)如今小學數(shù)學課堂教學設(shè)計中需要著力思考并解決這樣三個基本問題：如何認識所教授的數(shù)學學科內(nèi)容，學生學習該內(nèi)容的心理過程或特點，以及如何選擇必要的教學技術(shù)支持。

一、學科內(nèi)容

“一一間隔排列”這節(jié)課的內(nèi)容大致是兩種（不同）物體一一間隔排列的含義及其所蘊含的兩種物體之間 “數(shù)量關(guān)系”規(guī)律。因此，教材把其歸類于 “探索規(guī)律”之列，自有其道理之所在。教材的題名是 “間隔排列”，而三位授課老師均把其改為 “一一間隔排列”。何以會有如此之改動，實為教材內(nèi)容之所限定考慮也。

就所教授學科內(nèi)容而言，盡管有些許不同 （有一位授課教師把 “排成一行”拓展至 “排成一圈”），但三位授課教師均基本依據(jù)教材內(nèi)容而施教，也都能夠達成課前所預(yù)設(shè)的教學目標或?qū)W習目標。由此可見，總體而言，三位授課教師對教材的把握與對教學的掌控均值得肯定與鼓勵。那么，就“一一間隔排列”這一授課內(nèi)容而言，是否還有值得進一步思考與改進之處呢？

其實，值得改進的地方或許還有很多，但數(shù)學思想方法及其所依據(jù)的數(shù)學思維可能最值得我們深思與謀劃。這里所蘊含的數(shù)學思想方法既有 “一一對應(yīng)”，又有 “分類”，而其背后所依據(jù)的思維活動則是抽象與概括，以及 “量化思維”，而所有這些數(shù)學思想方法與思維活動都源自 “一一間隔排列”這一概念或活動，與此同時，分析與綜合始終貫穿其中。概而言之，“一一間隔排列”這節(jié)課的授課學科內(nèi)容可以考慮但不必包括以下幾個方面。

1．兩種物體的 “一一間隔排列”之確切含義及其各種具體情況。具體而言，我們需要 “邏輯地”思考 “一一間隔排列”的內(nèi)涵與外延，即，何謂兩種物體的 “一一間隔排列”？它包括哪些具體情況？我們甚至還可以追問：兩種物體各一個能否構(gòu)成 “一一間隔排列”？兩種物體最少各有幾個或最少共有幾個才能夠構(gòu)成 “一一間隔排列”？

2．兩種物體的 “一一間隔排列”各種具體情況是否可以歸類或分類？分類的依據(jù)是否明確？具體而言，我們是否可以把 “一一間隔排列”的所有情況都列舉出來？如果可以，我們將如何對其歸類？如果不行，我們又將如何對其歸類？不管如何歸類，我們是否都可以明確其歸類的標準或依據(jù)？

3．由歸類是否可以較為簡單地 “看出”（即概括出）兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系？具體而言，可先就每一類抽象概括出該類情況中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系，然后再抽象概括出 “一般情況”下兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系。

4．按照教材的說法，這里的兩種物 “一一間隔排列”中的 “排列”是 “排成一行”（其實 “排成一列”也行）。但是，日常生活中隨處可見 “排成一圈”的情況。因此，我們似乎也可以適時地考慮 “排成一行”與 “排成一圈”之間的關(guān)系或轉(zhuǎn)換。

5．我們甚至還應(yīng)該知道，這里的兩種物 “一一間隔排列”其實只是組合數(shù)學中 “排列組合”知識模塊中的一點點內(nèi)容而已。

由此，圖1可以是 “一一間隔排列”這節(jié)課授課學科內(nèi)容的一種選擇 （僅供參考）。

圖1 兩種物體 “一一間隔排列”知識結(jié)構(gòu)圖

二、學習心理

行文至此，讀者尤其是小學數(shù)學教師們，可能會產(chǎn)生如下疑惑：我們小學三年級學生 （8歲左右的兒童）能夠如此嚴密地思考問題嗎？我們?nèi)绾尾拍軌蛉绱藝烂艿亟淌谒麄內(nèi)绱藝烂艿乃季S呢？

其實，這里可能存在著一個誤解。上述學科內(nèi)容的分析是針對我們教師而非學生而言的，也就是說，不管我們?nèi)绾谓淌谶@些學科內(nèi)容，教師首先必須嚴格地 “按照數(shù)學的內(nèi)在理據(jù)”來分析所教授學科的內(nèi)容，以便 “居高臨下”或 “高觀點”地把握這一 “課時內(nèi)容”，并有意無意、潛移默化地滲透之。因為，惟有如此，我們才有可能在具體的課堂教學中做到游刃有余和得心應(yīng)手。至于如何教授這些內(nèi)容？則還需要我們從 “兒童的視角”尤其是其學習心理來進一步思考與分析。

依據(jù)皮亞杰的兒童認知發(fā)展階段理論，8歲左右的兒童其認知發(fā)展水平主要處于從前運算階段到具體運算階段的認知發(fā)展階段。而身處此認知發(fā)展階段的兒童，其學習心理尤其是其認知發(fā)展特點主要是通過對自身活動的反身抽象，可達成 “對活動對象”的相關(guān)認識，并獲得相應(yīng)的概念認知。就“一一間隔排列”學科內(nèi)容 （圖1所示）之學習而言，三年級學生可通過自身具體的操作活動與反省觀察，以形成 “一一間隔排列”（排成一行）之概念，并通過 “社會協(xié)商”（即同伴之間的溝通、交流與研討）達成對 “一一間隔排列”各種具體情況進行分類的依據(jù)之認同 （排成一圈則僅是其中一類的 “變形”）；至于 “一一間隔排列”中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系，三年級學生則可通過其已有的知識經(jīng)驗 （即此前的 “一一對應(yīng)”操作活動的經(jīng)驗及其認知）或?qū)唧w事例的量化觀察、抽象與概括而較為容易地得出。

具體而言，就三年級學生之學習而言，“一一間隔排列”概念的獲得應(yīng)主要以概念形成的方式來達成，而 “分類依據(jù)”的認同則應(yīng)主要以 “社會協(xié)商”活動來求得，至于 “一一間隔排列”中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系則可通過 “再現(xiàn)” “一一對應(yīng)”活動來獲得。

由此可見，圖2是小學三年級學生學習 “一一間隔排列”數(shù)學學科內(nèi)容 （圖1所示）的一種可能的心理過程 （僅供參考）。

圖2 兩種物體 “一一間隔排列”學習心理過程圖

其實，圖2中的 “上半部分”只是小學生學習這類數(shù)學學科內(nèi)容的一般心理過程或認知過程，而其 “下半部分”則是他們學習 “一一間隔排列”這一數(shù)學學科內(nèi)容 （圖1所示）可能的具體心理過程或認知過程。

三、技術(shù)支持

行文至此，讀者尤其是小學數(shù)學教師們，很可能會認為，“一一間隔排列”（圖1所示）的教學設(shè)計之核心部分，即教學過程或教學環(huán)節(jié)已基本完成，即圖2。

其實，這里可能存在著另一個誤解。上述學習心理過程或認知過程分析是一般抽象的 （即脫域的）而非具體實在的 （即浸域的，也即具有現(xiàn)實可行性）。也就是說，無論如何，我們也不能僅僅依據(jù)或直接運用圖2來實施 “一一間隔排列”（圖1所示）的課堂教學。但是，如果沒有像圖2那樣所示的學習心理之分析 （可以不必像圖2那樣明確地給出，但心中得有數(shù)），那么我們的課堂教學實施就極有可能導(dǎo)致這樣一種結(jié)果，即實足的可信而與此同時卻又是確實的無效，也就是說，盡管課堂上師生表現(xiàn)出高度的一致，但學生卻并沒有切實地掌握或領(lǐng)會教師所教授的學科內(nèi)容。因為，唯有如此，我們的課堂教學才有可能建立在科學 （即有證據(jù)）的基礎(chǔ)之上，努力做到 “循證教育”。至于如何具體地設(shè)計教學過程或教學環(huán)節(jié)，則還需要我們從 “技術(shù)的視角”來加以考察與分析。

一提到教學技術(shù)，我們一般都會 “條件反射”地想到多媒體、網(wǎng)絡(luò)及至諸如模型、掛圖等 “實體技術(shù)”，而鮮有其他。其實，技術(shù)有軟、硬之別。上述教學技術(shù)多屬于 “硬技術(shù)”，而 “軟技術(shù)”在課堂教學 （設(shè)計）中則多體現(xiàn)為教學思路的構(gòu)思，教學過程或教學環(huán)節(jié)的建構(gòu)， “硬技術(shù)”的呈現(xiàn)（出場與退場），教學活動的組織與協(xié)調(diào)，以及教學語言的轉(zhuǎn)接與引導(dǎo)。事實上，教學過程或教學環(huán)節(jié)的設(shè)計不能只注重 “硬技術(shù)”的使用，可能更應(yīng)該看重 “軟技術(shù)”的支撐。因為，（課堂）教學是培育人的教育活動，而非 “復(fù)制人”的生產(chǎn)活動。

就 “一一間隔排列”的課堂教學設(shè)計而言，其教學思路可以如此構(gòu)思：首先，依據(jù)學科內(nèi)容分析（圖1所示），明確教學目標或?qū)W習目標；其次，參照學習心理分析 （圖2所示），建構(gòu)學生學習活動；再次，選擇適宜的 “操作”活動 （譬如，邀請授課班級的文體委員，請他／她就班上若干名男、女同學，進行隊列變換），構(gòu)建教學過程或教學環(huán)節(jié)；最后，自我判斷與教學反思。

教學過程或教學環(huán)節(jié)，試可作如下建構(gòu)：第一，操作活動，即兩種 （不同）“物體”的任意排列，譬如，上述教學思路中的 “操作活動”，但應(yīng)明確提出對排列進行分類的具體要求；第二，就學生對排列的分類進行討論與交流，以明確其中的“間隔排列”與 “一一間隔排列”（一個隔著一個，至少三個）；第三，回到教材，就其中的三個案例請同學們指出其 “一一間隔排列”中的 “兩種不同物體”（兔子與蘑菇、木樁與籬笆、夾子與手帕）；第四，請同學們就 “操作活動”中的 “一一間隔排列”進行再次分類，并在討論、交流基礎(chǔ)上明確“男生與女生之間的數(shù)量關(guān)系” （相等或相差1）；第五，再次回到教材，就其中的三個案例請同學們指出其中 “兩種不同物體之間的數(shù)量關(guān)系”（都相差1）；第六，獨立思考，自主練習，完成教材中的兩個問題；第七，小結(jié) （“一一間隔排列”及其“兩種物體的數(shù)量關(guān)系”，以及如何分類）；第八是拓展 （盡可能多地列舉生活中一一間隔排列的實例，哪一類一一間隔排列能夠轉(zhuǎn)換成 “一個圈”而仍然是一一間隔排列？）。三位授課教師的教學過程盡管都有操作活動，并滲透了 “一一對應(yīng)”，但幾乎毫無例外地都缺少對 “分類”的關(guān)注。

“硬技術(shù)”的出場與退出，試可作如下設(shè)想：就上述教學過程而言，“硬技術(shù)”（譬如，黑板板書或媒體課件）應(yīng)在兩次分類討論、交流時出場，而在其他教學環(huán)節(jié)可不出場 （但也可以選擇出場，譬如，小結(jié)環(huán)節(jié)）。

教學活動的組織與協(xié)調(diào)，試可作如下謀劃：首先，由于操作活動是 “男女生的隊列變換”，所以應(yīng)考慮教室空間大小的問題；其次，還應(yīng)考慮學生多少的問題 （即班額問題）；再次，必須提出明確的操作要求 （譬如，如何把每一種變換隊列記錄下來？），以有序地協(xié)調(diào)隊列變換 “操作活動”；最后，應(yīng)該引導(dǎo)學生有效地使用教材 （就上述教學過程而言，至少有三次）。

教學語言的轉(zhuǎn)接與引導(dǎo)，試可作如下思考：就上述教學過程而言，這里至少有四種語言之間需要轉(zhuǎn)換或引導(dǎo)，即活動語言、數(shù)學語言、書面語言和口頭語言。第一，操作活動需要在書面語言或口頭語言的引導(dǎo)下形成其活動語言；第二，活動語言的記錄則需要口頭語言的轉(zhuǎn)接而形成數(shù)學語言，并用書面語言保存下來；第三，學生對數(shù)學語言的理解、把握乃至運用則需要教師口頭語言或身體語言（活動語言之一種）的引導(dǎo)。其實，這里還有教師語言與學生語言之間的區(qū)分及其轉(zhuǎn)接。這里的關(guān)鍵問題與要點是教師應(yīng)依據(jù)對學生語言的瞬時 “情景分析”和長期 “修煉反思”，來組織自己的語言，以引導(dǎo)學生學習與開展教學。三位授課教師都有不同程度地忽視學生語言的現(xiàn)象，忽視學生語言其實就是忽視學生思維，因為語言是思維的外在形式，而學生思維既是我們教學的出發(fā)點，也是我們教學的旨趣所在，更是我們教學契機把握的切入口。

上述關(guān)于課堂教學設(shè)計中的三個基本問題的分析與論述，盡管只是結(jié)合小學三年級數(shù)學第一學期“一一間隔排列”這一具體內(nèi)容來展開與呈現(xiàn)的，其實它也不失為 “一般課堂教學設(shè)計”分析框架之可能選擇的一種。

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