一類滿足絕熱逼近的量子態(tài)存在性及其結(jié)構(gòu)

余保民，郭志華

（1渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714000；2陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062）

絕熱定理的研究最早是由Ehrenfest提出，他用早期的量子理論研究了絕熱過(guò)程［1－4］，1928年，Born和Fock把它推廣到量子力學(xué)波動(dòng)方程，用現(xiàn)代量子力學(xué)理論給出了其證明［5］，在文獻(xiàn)［6］中，作者用數(shù)學(xué)方法給出絕熱定理的嚴(yán)格證明.1984年，Berry在研究絕熱定理時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)可被觀測(cè)的新的幾何相位［7］，引起了物理學(xué)界的極大興趣.文獻(xiàn)［8］用Hamiltonian隨時(shí)間的變化率對(duì)系統(tǒng)的“緩慢變化”定量刻畫，給出絕熱定理的更為精確的表述，并對(duì)Berry相位和 Wilczed-Zee算符的導(dǎo)出做了簡(jiǎn)化.在文獻(xiàn)［9］中，作者把絕熱演化中的Beery相位推廣到包括非本征態(tài)的一般量子態(tài).迄今為止，關(guān)于絕熱定理的討論仍是一個(gè)研究的熱點(diǎn)［10－15］.基于絕熱逼近的方法，絕熱定理在物理學(xué)、化學(xué)等很多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如分子物理中的Landau-Zener轉(zhuǎn)換［15］、量子場(chǎng)論［16］、幾何相位、絕熱量子計(jì)算及新的量子算法等［17－20］.本文根據(jù)文獻(xiàn)［21］中對(duì)絕熱逼近中“緩慢演化”＇充分條件的結(jié)果，證明滿足這一充分條件的量子態(tài)的存在性，并詳細(xì)討論這種單量子比特態(tài)的構(gòu)造.

1 預(yù)備知識(shí)

比特（bit）是經(jīng)典計(jì)算和經(jīng)典信息的基本概念.量子計(jì)算中的基本單位是量子比特.正如經(jīng)典比特有一個(gè)狀態(tài)0或1，量子比特也有一個(gè)狀態(tài)，量子比特的兩個(gè)可能狀態(tài)是

以上符號(hào)｜·〉稱為Dirac記號(hào).〈·｜為｜·〉的共軛轉(zhuǎn)置.經(jīng)典比特和量子比特的區(qū)別在于經(jīng)典比特的狀態(tài)只能是0或1，而量子比特的狀態(tài)可以落在0和1之外，即它可以是狀態(tài)｜0〉與｜1〉的線性組合，通常稱之為疊加態(tài)（superposition），記為｜ψ〉＝α｜0〉＋β｜1〉，其中α和β是復(fù)數(shù)且｜α｜2＋｜β｜2＝1，即量子比特的狀態(tài)是二維復(fù)向量空間中的任意單位向量.特別地，｜0〉和｜1〉狀態(tài)稱為計(jì)算基態(tài)（computational basis state），是構(gòu)成量子比特狀態(tài)空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

根據(jù)量子力學(xué)中假設(shè):任一孤立量子系統(tǒng)都由一個(gè)Hilbert空間來(lái)描述，稱之為系統(tǒng)狀態(tài)空間，系統(tǒng)完全由系統(tǒng)空間中的單位向量（稱為狀態(tài)向量）所描述.封閉量子系統(tǒng)的演化由Schr?dinger方程

作為量子力學(xué)中最古老的定理之一［1，6］，絕熱定理告訴我們:如果系統(tǒng)在某一時(shí)刻的狀態(tài)處于“緩慢演化”的Hamiltonian的瞬時(shí)本征態(tài)，那么在之后的演化時(shí)間中，系統(tǒng)的狀態(tài)仍然近似于這一本征態(tài)（相差一個(gè)相位因子）［7］.用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言敘述，即對(duì)一個(gè)HamiltonianH（t）依賴于時(shí)間t的量子系統(tǒng)，用En（t）和｜En（t）〉分別表示H（t）的瞬時(shí)本征值和對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)本征態(tài).如果｜ψ（t）〉是Schr?dinger方程（1）在［0，T］的一個(gè)解，且｜ψ（0）〉＝｜En（0）〉，那么當(dāng)H（t）在［0，T］內(nèi)演化的足夠“緩慢”時(shí)，存在實(shí)值函數(shù)θn（t），使得｜ψ（t）〉＝eiθn（t）｜En（t）〉對(duì)任意的t∈ ［0，T］成立.

文獻(xiàn)［21］研究HamiltonianH（t）可以“緩慢演化”的充分條件時(shí)，證明了以下定理:

設(shè)｜ψ（t）〉為Schr?dinger方程（1）的解且滿足初始條件｜ψ（0）〉＝｜En（0）〉.如果

由此可知:如果

那么1－｜〈ψ（t）｜En（t）〉｜＜ε，?t∈ ［0，∞）.進(jìn)而，系統(tǒng)（1）在任一時(shí)刻的狀態(tài)｜ψ（t）〉可以用本征態(tài)｜En（t）〉在整個(gè)時(shí)間區(qū)間［0，∞）上一致逼近，其誤差一致小于ε.這說(shuō)明條件（3）是一致絕熱逼近的一個(gè)量化充分條件.本文討論滿足條件

的量子態(tài)｜f（t）〉的存在性及其結(jié)構(gòu)，進(jìn)而構(gòu)造其本征態(tài)｜En（t）〉滿足（3）的 HamiltonianH（t）.

2 單量子比特態(tài)的情形

令｜f（t）〉是帶有參數(shù)t的單比特態(tài)（關(guān)于t的二維復(fù)向量值函數(shù)）.以下討論滿足條件（4）的單量子比特態(tài)的結(jié)構(gòu).

定理1 設(shè)｜f（t）〉＝ （eiα（t）sinx（t），eiβ（t）cosx（t））T是連續(xù)可微的單量子比特態(tài)，則（4）成立當(dāng)且僅當(dāng)

（?。?t≥0，有

證明 計(jì)算可知 ?t≥0，〈f（t）｜f′（t）〉＝i（α′（t）sin2x（t）＋β′（t）cos2x（t）），

令A(yù)（t）＝｜x′（t）cosx（t）＋iα′（t）sinx（t）｜2＋｜－x′（t）sinx（t）＋iβ′（t）cosx（t）｜2，則

必要性 設(shè)（4）成立.由〈f（t）｜f′（t）〉＝0（t∈ ［0，∞））知i（α′（t）sin2x（t）＋β′（t）cos2x（t））＝0（t∈ ［0，∞））.

當(dāng)α′（t）＝β′（t）時(shí)，

當(dāng)α′（t）≠β′（t）時(shí)，

所以（5）式成立.進(jìn)一步，由（6）式得

從而有

推論1 ｜f（t）〉＝ （eiα（t）sinx（t），eiβ（t）cosx（t））T是連續(xù)可微的單量子比特態(tài)，則當(dāng)｜x′（t）｜dt≥ε或時(shí)，（4）不成立.

定理2 設(shè)｜f（t）〉是連續(xù)可微的單量子比特態(tài)，則

（?。┊?dāng)｜f（t）〉與時(shí)間t無(wú)關(guān)時(shí)，｜f（t）〉一定滿足條件（4）式；

證明 （ⅰ）顯然.

（ⅱ）當(dāng)｜f（t）〉＝ （aeiα（t），beiβ（t））T時(shí)，計(jì)算可知｜f′（t）〉＝ （aα′（t）eiα（t），bβ′（t）eiβ（t））T，并有

再由（7）式知〈f（t）｜f′（t）〉＝i（a2α′（t）＋b2β′（t））＝0，因此，條件（4）成立.

（ⅲ）當(dāng)｜f（t）〉＝ （eiαsinx（t），eiβcosx（t））T時(shí)，易 知 ｜f′（t）〉＝ （eiαx′（t）cosx（t），－eiβx′（t）sinx（t））T，〈f（t）｜f′（t）〉＝0（?t∈ ［0，∞））.這時(shí)

注1 定理1和定理2也給出了滿足（4）式的單量子比特態(tài)的具體結(jié)構(gòu)形式.

3 n維系統(tǒng)的情形

證明 計(jì)算可知:?t≥0，有

對(duì)任意的t≥0，令

則由（8）知

由此可得

例1 設(shè)一個(gè)量子系統(tǒng)的HamiltonianH（t）具有如下形式:

滿足定理1的條件，進(jìn)而滿足文獻(xiàn)［21］中HamiltonianH（t）可以“緩慢演化”的充分條件.

4 結(jié)語(yǔ)

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