非線性偏微分方程組的廣義變量分離解

郝夏芝，姚若俠

（陜西師范大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062）

不變子空間方法是求解非線性偏微分方程（組）廣義變量分離解的有效方法之一［1－2］，該方法受到廣泛關(guān)注是基于一般高維非線性偏微分方程通常擁有變量分離解這一事實。一個偏微分系統(tǒng)所允許的不變子空間一般包含多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等類型.利用不變子空間方法求解非線性偏微分方程的關(guān)鍵是利用線性常微分方程解的子空間來構(gòu)造偏微分方程和方程組所允許的不變子空間.本文以非線性偏微分方程組為例，通過不變子空間方法求解它的若干廣義變量分離解.

1 不變子空間方法

一般來說，人們可以通過不變子空間方法來獲取各種特殊的非線性偏微分方程（組）的廣義變量分離解，繼而對其諸多性質(zhì)展開研究［3－8］.利用不變子空間方法求解非線性偏微分方程廣義變量分離解的一般步驟如下:

步驟1 確定非線性偏微分方程的不變子空間.

考慮一般的非線性偏微分方程:ut＝F［u］.F［u］表示最高階為k階的非線性微分算子.令n維不變子空間Wn＝L｛f1（x），…，fn（x）｝，集合中的各個元素fi（x）（i＝1，…，n）相互獨立，且由n階常微分方程

在滿足特定不變條件時得到.不變子空間的維數(shù)n滿足關(guān)系n≤2k＋1，k為微分算子F［u］的階數(shù)［3，8］.這里所說的不變條件為L［F［u］］｜L［u］＝0≡0，即算子F［u］允許n維不變子空間

此外，如果在算子F［u］的作用下，有F［Wn］?Wn，子空間Wn即被認(rèn)為是不變的.那么，Wn是算子F［u］所允許的不變子空間.

步驟2 構(gòu)造非線性偏微分方程的廣義變量分離解.

一旦不變子空間被確定，方程所允許的廣義變量分離解即可記為

其中，Ci（t）（i＝1，…，n）為待定函數(shù).若方程允許該形式的廣義變量分離解，則有

其中，系數(shù)｛Ci（t）｝滿足n維動力系統(tǒng)

求解該動力系統(tǒng)可確定u（x，t）中所有的待定函數(shù)，繼而可獲得非線性偏微分方程的廣義變量分離解.

2 方程組的廣義變量分離解

下面以非線性偏微分方程組為例來演示如何確定它所允許的不變子空間及其廣義變量分離解.考慮如下形式的非線性偏微分方程組:

其中αi、βi（i＝1，2，3）為常數(shù)，F(xiàn)、G表示非線性微分算子.u、v是關(guān)于x、t的函數(shù)，下標(biāo)x、t表示函數(shù)u、v關(guān)于它們的偏導(dǎo)數(shù).

假設(shè)方程組所允許的不變子空間由2個二維子空間構(gòu)成，即W2，2＝×，且W2，2由如下常微分方程組定義:

其中a0、a1、b0、b1為待定常數(shù).由步驟1可知，方程組（1）允許不變子空間W2，2當(dāng)且僅當(dāng)滿足不變條件

其中D是全微分算子.分別把（1）中的兩個等式F（u）、G（u）代入（3）中相應(yīng)的方程，并替換所有的二階導(dǎo)數(shù)項，即反復(fù)用－a1ux－a0u替換uxx，用－b1vx－b0v替換vxx.對替換后的表達(dá)式合并同類項，整理可得包含項、uux、vx、vxux、vux、vxu和vu的方程，令其系數(shù)為零，可得關(guān)于（1）和（2）中未知系數(shù)的決定方程組:

借助符號計算軟件Maple求解該代數(shù)方程組，可得到關(guān)于系數(shù)αi、βi、a0、a1、b0、b1（i＝1，2，3）之間的約束條件，繼而可獲得方程組（1）的廣義變量分離解.不同約束條件下獲得的方程組的不變子空間類型不同.子空間類型雖然不同，但求解過程類似，所以本文僅選取具有代表性的兩種情形來分析方程組（1）的解.

解1 第一組參數(shù)約束條件為

把（4）中的關(guān)系式分別代入（1）和（2）可得

求解（6）可獲得方程組（5）的不變子空間

那么，方程組（5）允許廣義變量分離解

其中，C1、C2、D1、D2是t的函數(shù).將（7）式代入方程組（5）中可知C1、C2、D1、D2滿足動力系統(tǒng)

求解動力系統(tǒng)（8），可得兩組不同的解:

（Ⅰ）當(dāng)α3＝β3，方程組（8）有解

將C1、C2、D1、D2的值代入（7）中，可得方程組（5）的廣義變量分離解

解的圖形可直觀地幫助人們分析解的演化、局部漸近及其爆破行為.不妨取（10）中的常數(shù)分別為a1＝1、α2＝1、α3＝1、m＝1、n＝1、p＝0、q＝0，則解的三維圖形如圖1和圖2所示.

圖1 解u（x，t）＝e4t－2x＋tet＋x 的三維圖Fig.1 3Dgraph of the solution of u（x，t）＝e4t－2x ＋tet＋x

圖2 解v（x，t）＝et＋x 的三維圖Fig.2 3Dgraph of the solution of v（x，t）＝et＋x

（Ⅱ）當(dāng)α3≠β3，方程組（8）有解

其中，m、n、p、q均為任意常數(shù).將（11）中的值代入（7）中，得到方程組（5）的廣義變量分離解

給定解（12）中的常數(shù)值，則同樣可畫出其三維圖形，此處不再列出.

解2 第二組參數(shù)約束條件為

把（13）中的值分別代入方程組（1）和（2）可得

顯然，a0的取值會影響方程組（15）解的形式，即方程組（14）的子空間會隨著a0的取值而變化，a0可分別取正值、負(fù)值和零.那么，在二維不變子空間下，方程組（15）解的類型可分別為三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或多項式函數(shù)這3種情形.相應(yīng)地，方程組（14）的不變子空間也為這3種類型.下面分別予以討論.

（Ⅰ）當(dāng)a0＞0，不妨令a0＝4，求解方程組（15）可得類型為三角函數(shù)的不變子空間

則方程組（14）的廣義變量分離解為

將解（16）代入（14），可知C1、C2、D1、D2滿足動力系統(tǒng)

求解該動力系統(tǒng)可得兩組解:

（?。┊?dāng)α3≠β3，方程組（17）有解

（ⅱ）當(dāng)α3＝β3，方程組（17）有解

將（18）和（19）中C1、C2、D1、D2的值分別代入方程組（16），可獲得方程組（14）的兩組解，解的具體形式文中不再列出.

（Ⅱ）當(dāng)a0＝0，求解（15）可獲得多項式類型的不變子空間

那么，方程組（14）的變量分離解為

將解（20）代入（14），可知C1、C2、D1、D2滿足動力系統(tǒng)

求解動力系統(tǒng)（21）可得

同樣，將（22）中C1、C2、D1、D2的值代入方程組（20）即可獲得方程組（14）的解.

（Ⅲ）當(dāng)a0＜0，不妨令a0＝－4，求解（15）得到類型為指數(shù)函數(shù)的不變子空間

于是，方程組（14）的廣義變量分離解為

將解（23）代入（14）中，可知C1、C2、D1、D2滿足動力系統(tǒng)

求解該動力系統(tǒng)可得

（ⅰ）當(dāng)α3≠β3，方程組（24）有解

（ⅱ）當(dāng)α3＝β3，方程組（24）有解

至此，將（25）和（26）分別代入方程組（23）中，即可獲得方程組（14）的另外兩種廣義變量分離解.解的具體形式和圖形文中不再列出.

3 結(jié)語

本文在假設(shè)不變子空間為二維的前提下，基于符號計算系統(tǒng)Maple，利用不變子空間方法構(gòu)造了一個具有未知系數(shù)的非線性偏微分方程組的若干廣義變量分離解.研究表明，當(dāng)未知系數(shù)之間滿足不同的約束關(guān)系時，可以得到一系列不同形式的解.如正文所述，解1中方程組的子空間是唯一確定的，而解2中方程組的子空間則是由方程（15）中的不同參數(shù)值所確定，對應(yīng)的解因而也各不相同.此外，該非線性偏微分方程組的解不局限于文中所列出的.事實上，可以將不變子空間擴(kuò)展為更高維的，由此便可獲得形式更為豐富的廣義變量分離解.

［1］Qu Changzheng，Zhu Chunrong.Classification of coupled systems with two－component nonlinear diffusion equations by the invariant subspace method［J］.Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical，2009，42（47）:475201（1-27）.

［2］Ma Wenxiu.A refined invariant subspace method and applications to evolution equations［J］.Science China Mathematics，2012，55（9）:1769-1778.

［3］Galaktionov V A，Svirshchevskii S R.Exact solutions and Invariant subspace of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics［M］.London:Chapman and Hall/CRC，2007.

［4］Galaktionov V A.Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities［J］.Proceedings of the Royal Society of Edinburgh:Section A Mathematics，1995，125 （2）:225-246.

［5］姬利娜，馮瑋.帶源的非線性擴(kuò)散方程的精確解［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，26（5）:725-727.

［6］姬利娜，馮瑋.非線性擴(kuò)散方程的廣義分離變量解［J］.西北大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，41（4）:587-592.

［7］Svirshchevskii S R.Invariant linear spaces and exact solutions of nonlinear evolution equations［J］.Nonlinear Mathematical Physics，1996，3（1/2）:164-169.

［8］Zhu Chunrong，Qu Changzheng.Maximal dimension of invariant subspaces admitted by nonlinear vector differential operators［J］.Journal of Mathematical Physics，2011，52（4）:043507-1-043507-15.