運(yùn)用變點(diǎn)理論對(duì)連漲連跌收益率的Bayes分析

黃 飛， 譚常春

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們對(duì)股市的研究越來(lái)越多，其中金融資產(chǎn)收益率成為重要的關(guān)注點(diǎn)之一，并取得了一定的研究成果。文獻(xiàn)［1］通過(guò)修正的Weibull分布對(duì)中國(guó)股市收益率的分布狀況進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［2］結(jié)合上海證劵市場(chǎng)的特點(diǎn)，對(duì)上證綜指股收益率的波動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)行了分析。以往研究的收益率一般是每日收益率，也有關(guān)于連漲和連跌收益率的研究，文獻(xiàn)［3］通過(guò)生存分析與變點(diǎn)理論對(duì)深證成指進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)連漲和連跌的股指收益率服從伽瑪分布，并對(duì)深證成指連漲和連跌的收益率作了變點(diǎn)檢驗(yàn)；文獻(xiàn)［4］運(yùn)用生存分析與變點(diǎn)理論對(duì)上證指數(shù)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了股指在不同的政策時(shí)期其上漲和下跌的概率是不同的；文獻(xiàn)［5］基于Copula－ACD模型對(duì)股票連漲和連跌收益率作了風(fēng)險(xiǎn)分析。

變點(diǎn)問(wèn)題最初始于Page在1954年發(fā)表的一篇關(guān)于連續(xù)抽樣檢驗(yàn)的文章，它廣泛應(yīng)用于工業(yè)質(zhì)量控制、經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域。研究變點(diǎn)問(wèn)題的方法［6－7］有很多，如極大似然法、累計(jì)次數(shù)法、Bayes法。Bayes方法對(duì)于解決假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，根本的出發(fā)點(diǎn)是后驗(yàn)分布。文獻(xiàn)［8］研究了 Weibull分布刻度參數(shù)經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問(wèn)題，其中采用Bayes法對(duì)變點(diǎn)問(wèn)題的研究比較多，如在指數(shù)族分布中；文獻(xiàn)［9］運(yùn)用貝葉斯分析的方法估計(jì)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的變點(diǎn)，并且將這一方法應(yīng)用到尼羅河流量問(wèn)題、煤礦事故、交通事故以及股市價(jià)格問(wèn)題上；文獻(xiàn)［10］研究了變點(diǎn)的后驗(yàn)分布的漸近性；文獻(xiàn)［11］運(yùn)用Bayes法估計(jì)了指數(shù)族參數(shù)變點(diǎn)的位置。

本文采用Bayes法研究上證指數(shù)連漲和連跌收益率變結(jié)構(gòu)問(wèn)題。文中以2005年6月6日至2010年5月12日的上證指數(shù)作為研究對(duì)象，主要運(yùn)用Bayes法檢驗(yàn)是否有變點(diǎn)存在，當(dāng)有變點(diǎn)存在時(shí)估計(jì)上證指數(shù)波動(dòng)起伏變化的位置具有重要的意義，直接關(guān)系到證劵組合選擇的正確性、風(fēng)險(xiǎn)管理的有效性及期權(quán)定價(jià)的合理性。

1 上證指數(shù)連漲連跌的理論分布的估計(jì)

（1）數(shù)據(jù)描述。由于2005年6月6日至2007年10月16日是中國(guó)目前最大的一輪牛市，從998漲至6 040點(diǎn)。自2007年10月16日以后又一路下跌，跌至5 000、4 000、3 000、2 000點(diǎn)，后長(zhǎng)期盤整，這段時(shí)間上證指數(shù)的起伏波動(dòng)比較大。對(duì)近期上證指數(shù)進(jìn)行研究有利于考慮相關(guān)政策的實(shí)施對(duì)股市的影響，從而指引中國(guó)股市正常運(yùn)轉(zhuǎn)。因此選取這段時(shí)間的上證指數(shù)作為研究對(duì)象。

2005年6月6日至2010年5月12日共1 204個(gè)交易日的上證指數(shù)的走勢(shì)如圖1所示。

圖1 上證指數(shù)（2005年6月6日至2010年5月12日）

（2）連漲連跌收益率的簡(jiǎn)單描述。設(shè)Rt為每日收益率，Pt為每日收盤價(jià)，則有：

在每日收益率的基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)這1 204個(gè)交易日收盤價(jià)每次從開始上漲至上漲結(jié)束時(shí)收益率的和，即連漲的收益率；統(tǒng)計(jì)每次開始下跌至下跌結(jié)束時(shí)收益率的和，即連跌的收益率。共得到連漲的收益率序列297個(gè)和連跌的收益率序列297個(gè)，同時(shí)記連漲的收益率為X和連跌的收益率為Y，所得連漲和連跌收益率見表1所列。

（3）階段劃分。由于數(shù)據(jù)太多無(wú)法對(duì)連漲連跌收益率作Bayes實(shí)證分析，必須進(jìn)行分段考慮。在這期間中國(guó)股市有幾個(gè)政策發(fā)布，2005年6月6日證監(jiān)會(huì)推出《上市公司回購(gòu)社會(huì)公眾股份管理辦法（試行）》，該天股指跌破千點(diǎn)；2007年5月30日證劵交易印花稅稅率進(jìn)行調(diào)整；2008年10月12日受到金融危機(jī)的影響，財(cái)政部、中央?yún)R金公司、國(guó)資委采取了一些有利的措施。因此將1 204個(gè)交易日的上證指數(shù)分成以下3個(gè)階段進(jìn)行研究：①2005年6月6日至2007年2月2日；②2007年2月5日至2008年10月9日；③2008年10月10日至2010年5月12日。

（4）K－S檢驗(yàn)。利用 K－S檢驗(yàn)對(duì)2005年6月6日至2010年5月12日這3個(gè)階段的連漲和連跌收益率進(jìn)行了擬合優(yōu)越度檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表2所列。

表1 2005年6月6日至2010年5月12日連漲連跌收益率

表2 3個(gè)階段擬合優(yōu)越度檢驗(yàn)結(jié)果

從K－S擬合優(yōu)越度檢驗(yàn)研究可以看出，上證指數(shù)的連漲和連跌的收益率服從伽馬分布（并不是無(wú)記憶的指數(shù)分布），表明股市是有記憶的，換句話說(shuō)，股票價(jià)格的變動(dòng)受到以前價(jià)格的影響。

2 伽馬分布變點(diǎn)的實(shí)證研究

2.1 Bayes方法介紹

設(shè)總體X服從Γ分布，其概率密度函數(shù)為：

化簡(jiǎn)得：

將（2）式記為Γ（α，θ），其中，α為形狀參數(shù)；θ為刻度參數(shù)。記Fθ為其分布函數(shù)。

Bayes法的主要工作內(nèi)容如下：① 檢驗(yàn)是否有變點(diǎn)存在（H0：j＝n?H1：j≠n）；② 當(dāng)有變點(diǎn)存在時(shí)估計(jì)變點(diǎn)的位置，其中如何求變點(diǎn)j的后驗(yàn)分布是關(guān)鍵。利用先驗(yàn)分布與樣本分布，可以求出變點(diǎn)這個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)分布，并基于其做出所要的推斷。應(yīng)用文獻(xiàn)［9］中指數(shù)族變點(diǎn)j的后驗(yàn)分布結(jié)果可得：

其中，j＝n。

其中，j＝1，…，n－1。

2.2 實(shí)證分析

由于這3個(gè)階段的上證指數(shù)連漲連跌收益率服從Γ分布，可以應(yīng)用Bayes的方法對(duì)伽馬分布作變點(diǎn)檢驗(yàn)。

首先對(duì)第1階段的上證指數(shù)連漲收益率作變點(diǎn)檢驗(yàn)，得到連漲的收益率序列102個(gè)，由表2知Xi～Γ（1.066，0.024）。

為了檢驗(yàn)是否有變點(diǎn)存在，令p＝0.5（即先驗(yàn)對(duì)有無(wú)變點(diǎn)沒有任何傾向性），由（3）式可得，給定的連漲收益率序列X1，X2，…，Xn，j＝n的后驗(yàn)概率p（j＝n｜x）＝6.36E－8以及Bayes因子為6.36E－8。已知Bayes因子反映的是樣本對(duì)原假設(shè)H0支持的程度，其值越大，則H0成立的可能性越大；其值越小，則H1成立的可能性越小。它表明對(duì)連漲的收益率作檢驗(yàn)時(shí)，第1階段存在顯著性的變點(diǎn)。

為了估計(jì)變點(diǎn)的位置，令p＝0（即j＝n的概率為0），利用（4）式，可獲得取定各類變點(diǎn)情形時(shí)的后驗(yàn)概率，其中k為變點(diǎn)取的位置，k＝1，2，…，102。所得結(jié)果見表3所列。

表3 變點(diǎn)j的后驗(yàn)概率

由表3不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定的連漲收益率序列X1，X2，…，Xn，j＝93的后驗(yàn)概率2.24E－1遠(yuǎn)大于其他各點(diǎn)處值，它表明變點(diǎn)發(fā)生在j＝93這一位置，即在2006年12月21日附近。水平為0.05的最大后驗(yàn)密度可信集為：

它包括6個(gè)點(diǎn)。

同樣的方法可以得到第1階段連跌的收益率取定各類變點(diǎn)情形時(shí)的后驗(yàn)概率，連同連漲收益率各類變點(diǎn)的后驗(yàn)概率，如圖2a所示。

第2階段關(guān)于連漲和連跌的收益率取定各類變點(diǎn)情形時(shí)的后驗(yàn)概率如圖2b所示。

圖2 第1階段、第2階段連漲、連跌收益率各類變點(diǎn)情形的后驗(yàn)概率

對(duì)第1階段的連漲收益率作檢驗(yàn)，連漲收益率所對(duì)應(yīng)的伽馬分布的形狀參數(shù)為1.066，大于1，而連跌收益率所對(duì)應(yīng)的伽馬分布的形狀參數(shù)為0.844，小于1，表明該階段的股市處于牛市，以5%的顯著性水平，得到參數(shù)的一個(gè)顯著性變點(diǎn)，即2006年12月21日附近。同時(shí)對(duì)第1階段的連跌收益率作檢驗(yàn)，同樣得到1個(gè)變點(diǎn)，即在2006年12月6日附近，這與連漲的收益率的變點(diǎn)檢驗(yàn)基本吻合。

對(duì)第2階段的連漲收益率作檢驗(yàn)，以5%的顯著性水平，得到參數(shù)的1個(gè)顯著性變點(diǎn)，即2007年5月15日附近，這大約正好處于2007年5月30日證劵交易印花稅稅率調(diào)整時(shí)候，在此背景下，上海股市產(chǎn)生了具有下跌趨勢(shì)的變點(diǎn)。對(duì)第2階段的連跌收益率作檢驗(yàn)，同樣得到1個(gè)變點(diǎn)，即在2008年1月14日附近。

關(guān)于第3階段關(guān)于連漲和連跌的收益率取定 各類變點(diǎn)情形時(shí)的后驗(yàn)概率如圖3所示。

圖3 第3階段連漲、連跌收益率各類變點(diǎn)情形的后驗(yàn)概率

由圖3a可知，k＝1的后驗(yàn)概率非常大，而k為其他值時(shí)均小于0.1。顯然，以5%的顯著性水平，可以得到參數(shù)的1個(gè)顯著性變點(diǎn)，即在2008年10月10日附近。由圖3b可知，對(duì)連跌的收益率作檢驗(yàn)，同樣的在2008年10月10日附近得到1個(gè)變點(diǎn)，這與連漲收益率的變點(diǎn)檢驗(yàn)基本吻合。2008年10月12日金融危機(jī)爆發(fā)，中國(guó)推出一系列救市政策，如面向房地產(chǎn)等市場(chǎng)。正因?yàn)槿绱?，大量的資金入市，最終匯集到股市里。這表明2008的金融危機(jī)對(duì)上海股市的影響很大。

結(jié)合Bayes的方法，對(duì)2005—2010年上證指數(shù)作了實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)國(guó)家政策的調(diào)整會(huì)導(dǎo)致股市的變化。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述可以看出，變點(diǎn)發(fā)生的時(shí)間與國(guó)家政策的發(fā)布存在著一定的關(guān)系。本文研究結(jié)果表明，用K－S檢驗(yàn)上證指數(shù)的連漲和連跌收益率發(fā)現(xiàn)其服從伽馬分布，而且擬合的效果很理想。運(yùn)用Bayes法對(duì)上證指數(shù)連漲和連跌收益率進(jìn)行實(shí)證分析，判斷了上證指數(shù)是否有變點(diǎn)存在以及當(dāng)有變點(diǎn)存在時(shí)確定的變點(diǎn)位置，這有利于分析股市的變化。但是，如果按照所求變點(diǎn)的位置重新對(duì)這段時(shí)間的上證指數(shù)劃分區(qū)段，得到的P值應(yīng)當(dāng)更高。

［1］ 盧方元.中國(guó)股市收益率分布特征實(shí)證研究［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2004，12（6）：100－101.

［2］ 陳圓圓.上證綜指股票收益率波動(dòng)特點(diǎn)分析：基于GARCH模型［J］.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2012（6）：114－116.

［3］ 雷 鳴，譚常春.運(yùn)用生存分析與變點(diǎn)理論對(duì)深證成指的研究［J］.產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)研究，2008，7（6）：73－78.

［4］ 雷 鳴，譚常春，繆柏其.運(yùn)用生存分析與變點(diǎn)理論對(duì)上證指數(shù)的研究［J］.中國(guó)管理科學(xué)，2007，15（5）：3－10.

［5］ 胡心瀚，葉五一，繆柏其.基于Copula－ACD模型的股票連漲和連跌收益率風(fēng)險(xiǎn)分析［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30（2）：108－114.

［6］ 陳希孺.變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分析簡(jiǎn)介［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，1991，10（1）：55－58.

［7］ 陳希孺.變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分析簡(jiǎn)介：Ⅲ 極大似然法、累計(jì)次數(shù)法、Bayes法［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，1991，10（3）：52－59.

［8］ 黃金超，凌能祥.威布爾分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，35（6）：860－864.

［9］ Lee C B.Bayesian analysis of a change－point in exponential families with applications ［J］.Computational Statistics ＆Data Analysis，1998，27（2）：195－208.

［10］ Rukhin A L.Asymptotic behavior of posterior distribution of the change－point parameter ［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2002，105（2）：327－345.

［11］ Ghorbanzadeh D，Lounes R.Bayesian analysis for detecting a change in exponential family ［J］.Applied Mathematics and Computation，2001，124（1）：1－15.