運(yùn)用過程性變式提升初中生數(shù)學(xué)問題解決能力

宋延宏 李三平

摘 要 變式教學(xué)在我國已成為比較成熟的教學(xué)理論，是有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種“中國式”方法。過程性變式是變式教學(xué)的一種形式，它有助于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的形成。本文以“求解方程模型應(yīng)用題”為例，闡述過程性變式對初中生問題解決能力的影響。

關(guān)鍵詞 變式教學(xué) 過程性變式 提升 問題解決能力

中圖分類號：G424文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Use of Process Variants Elevator to Improve Junior High

School Students' Math Problem-solving Skills

SONG Yanhong， LI Sanping

（School of Mathematics and Information Science， Shaanxi Normal University， Xi'an， Shaanxi 710062）

Abstract Variant teaching in China has become more mature teaching theory， is effective in promoting a student of mathematics learning， "Chinese-style" approach. Procedural variant is a variant form of teaching， it helps to form a mathematical experience activities. In this paper， "problem solving equations model" as an example to explain the process of the variants of the junior high school students problem solving capabilities.

Key words variation teaching; procedural variant; improve; problem-solving skills

如何幫助學(xué)生從“機(jī)械地搬用知識”走向“靈活地駕馭知識”，這是教師進(jìn)行有效教學(xué)需要解決的問題。初中學(xué)生正處于形式運(yùn)算階段，具有一定的推理能力，能從多維度對抽象的性質(zhì)進(jìn)行思維。①數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與問題解決能力非常必要，而過程性變式的運(yùn)用可以幫助學(xué)生發(fā)散思維，靈活地分析、解決問題以形成豐富的活動經(jīng)驗(yàn)，也有助于提高他們的學(xué)習(xí)效率。

1 變式教學(xué)

傳統(tǒng)意義上的變式教學(xué)主要用于講授學(xué)科概念，目的是為了幫助學(xué)生多角度、多層次地理解知識。我們知道，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅僅包含了知識體系，還應(yīng)包括經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)除了概念教學(xué)外，還應(yīng)有數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)，這也是我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)新課程改革特別提倡的。顧泠沅教授于1981年提出了“過程性變式”的概念，②2003年鮑建生教授等根據(jù)我國變式教學(xué)的研究和實(shí)踐情況，多角度剖析了“變式教學(xué)”，并將“變式教學(xué)”中的“變式”區(qū)分為“概念性變式”和“過程性變式”。這樣區(qū)分對于我們更好地理解“變式教學(xué)”有特別重要的意義。

過程性變式的概念隸屬于變式教學(xué)，其含義主要是“在數(shù)學(xué)活動過程中，通過有層次的推進(jìn)，使學(xué)生分步解決問題，積累多種活動經(jīng)驗(yàn)”，主要“用于概念的形成、問題解決和建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)活動體系”。③而將過程性變式用于問題解決的教學(xué)中，教師適時地通過設(shè)置多角度、多層次的由淺入深的變式，將有助于學(xué)生形成良好完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，靈活地解決問題，融會貫通。這樣，不僅提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的高效性。

2 過程性變式有助于改善初中生數(shù)學(xué)問題解決能力

本文將結(jié)合“求解方程模型應(yīng)用題”的具體實(shí)例闡述過程性變式對初中生問題解決能力的影響。

2.1 運(yùn)用過程性變式，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力

問題1：甲乙兩站相距480千米，A車從甲站開出，每小時行駛90千米，B車從乙站開出，每小時行駛70千米。如果兩車同時開出，經(jīng)過多長時間相遇？

變式1：甲乙兩站相距480千米，A車從甲站開出，每小時行駛90千米，B車從乙站開出，每小時行駛70千米。若A車開出1小時后B車再開，兩車相向而行，問：B車開出多長時間后兩車相遇？

變式2：甲乙兩站相距480千米，A、B兩車分別從甲、乙兩地同時開出，相向而行，3小時后在途中相遇。然后，A車返回甲地，B車?yán)^續(xù)前進(jìn)。當(dāng)A車回到甲地，B車離甲地還有60千米，求A、B兩車的速度。

變式3：運(yùn)動場的跑道一圈長400米。小健練習(xí)騎自行車，平均每分騎90米，小康練習(xí)跑步，平均每分跑70米。兩人從同一處同時反向出發(fā)，經(jīng)過多長時間首次相遇？又經(jīng)過多長時間再次相遇？

問題1是用一元一次方程解決行程問題的一個典型實(shí)例，通過學(xué)習(xí)和解答，有利于幫助學(xué)生形成方程解題的思想。為了加深學(xué)生對方程思想的理解，讓學(xué)生運(yùn)用這一思想更深入地探究行程問題的本質(zhì)，可對問題1作以上幾個變式：①變式1是改變了問題1的條件，學(xué)生僅靠對公式“S=vt”的機(jī)械套用難以解決問題，這個變式主要是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體情況對公式先變式再運(yùn)用;②變式2改變了提問的內(nèi)容（即所求的未知量），較之前兩種問法，需要學(xué)習(xí)者深入分析，從已知中找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系;③變式3改變了問題1的背景。容易引起學(xué)生的誤解，停留于表面而產(chǎn)生畏懼心理。事實(shí)上，只要教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，學(xué)生自己會根據(jù)已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)將問題歸類并加以解決。一題多變，學(xué)生通過少而精的變式練習(xí)學(xué)會分析問題，清楚地認(rèn)識到問題的解決過程以及問題自身結(jié)構(gòu)，體會問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法并合理地運(yùn)用。同時，這種變式訓(xùn)練讓學(xué)生意識到“數(shù)學(xué)問題解決的一個基本思路是把沒有解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題，復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題”。④問題分析能力的提升將是學(xué)生邁出成功解決問題的第一步。

2.2 運(yùn)用過程性變式，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

問題2：現(xiàn)有一長方形的鐵皮，小明欲通過割補(bǔ)使它的長減少5厘米，寬增加2厘米后變成一塊與之等面積的正方形鐵皮。問：原來這塊鐵皮的長、寬各是多少？

對于問題2，大部分學(xué)生直接入題，依據(jù)“割補(bǔ)前后鐵皮總面積和邊長的變化”找出數(shù)量關(guān)系。若設(shè)原來這塊鐵皮的長為厘米，寬為厘米，則可列出二元一次方程組。也有一部分同學(xué)借助具體的圖形（如圖1），由于割補(bǔ)前后鐵皮的面積不變，所以不難發(fā)現(xiàn)陰影部分兩個矩形的面積相等。因此，可列出二元一次方程組。

以上是兩種常規(guī)的解法，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步去思考：這道題能否用其他的方法求解？不妨轉(zhuǎn)化一下思路，運(yùn)用逆向思維分析這道題目，為了減少變元，設(shè)割補(bǔ)后所得正方形的邊長為厘米。然后用代數(shù)式來表示原長方形鐵皮的長為（+5）厘米、寬為（2）厘米，依據(jù)“割補(bǔ)前后鐵皮的面積不變”列出方程： = （+5）（2）。

一題多解，就是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路，運(yùn)用不同的方法和不同的運(yùn)算過程解答同一道數(shù)學(xué)問題。⑤通過一題多解的練習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)有所增長的同時也使得知識體系更加完善。教師通過引導(dǎo)學(xué)生尋求同一問題的不同解決途徑，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高課堂效率，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，有效地促進(jìn)了學(xué)生的知識體系的完善。

2.3 運(yùn)用過程性變式，提高學(xué)生模型遷移能力

問題3：現(xiàn)有濃度為10%和85%的鹽水。小強(qiáng)要配制濃度為45%的鹽水12千克，問：這兩種鹽水各需多少千克？

變式1：一家便利商店現(xiàn)有一些每千克賣4.6元的糖果和每千克賣3.4元的糖果。根據(jù)銷售情況，需要將現(xiàn)有糖果混合，得到每千克賣4.2元的雜拌糖200千克。請幫助老板設(shè)計(jì)出糖果的混合方案。

問題3可根據(jù)“溶液和溶質(zhì)在配制前后總質(zhì)量不變”找出數(shù)量關(guān)系，通過列二元一次方程組就可以解決。變式1是日常生活中的問題，在解決了問題3后，教師要有意地引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個問題之間的異同。不難發(fā)現(xiàn)變式1僅改變了問題3的背景和提問的方式，換湯不換藥，因此可以把它化歸為問題3中涉及到的濃度問題。先找出不變量即“混合前后糖果的總質(zhì)量和總售額是不變的”，再根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系用方程模型解決問題。學(xué)生通過對問題的類比歸納，能夠用同一方法解決相似的問題，這有利于學(xué)生相關(guān)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的構(gòu)建，同時也將會提高學(xué)生問題解決中的模型遷移能力。教師運(yùn)用過程性變式，指導(dǎo)學(xué)生“變中尋求不變”，又以“不變的模型”應(yīng)萬變，從而引導(dǎo)學(xué)生從“學(xué)會”變?yōu)椤皶W(xué)”。

“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》中提出的數(shù)學(xué)課程的基本理念。“在良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上謀求學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展”這也是中國數(shù)學(xué)教育的特色。⑥因此，從實(shí)際教學(xué)情況出發(fā)，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，精選例題，合理有效地運(yùn)用過程性變式幫助學(xué)生提升解決問題的能力，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)施高效的課堂教學(xué)，無疑是每位教師的追求。

注釋

① 陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

②③鮑建生，黃金榮，易凌峰，顧泠沅.變式教學(xué)研究（續(xù)）[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（3）.

④ 顧泠沅，黃金榮，費(fèi)蘭倫斯.馬頓.變式教學(xué)：促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式[J].云南教育，2007（3）.

⑤ 吳佑華.有效變式：為數(shù)學(xué)課堂生成智慧溢彩[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010（8）.

⑥ 張奠宙.建設(shè)中國特色的數(shù)學(xué)教育理論[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（1）.