基于GARCH模型的金融風(fēng)險(xiǎn)擬合分析

司訓(xùn)練 張旭峰 高 蒙

(1．西安石油大學(xué) 油氣資源經(jīng)濟(jì)與管理研究中心，陜西西安710065;2．長安大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710056)

0 引言

由于金融資產(chǎn)的預(yù)期收益總伴隨著一定的風(fēng)險(xiǎn)，尤其是20世紀(jì)90年代中期以來，國際金融市場上接二連三地發(fā)生金融風(fēng)波，使學(xué)者們從金融風(fēng)險(xiǎn)理論的研究逐漸轉(zhuǎn)向?qū)鹑陲L(fēng)險(xiǎn)量化的研究，以期尋求能夠準(zhǔn)確反映股票價(jià)格波動特征與規(guī)律的方法?，F(xiàn)實(shí)中，經(jīng)?？吹揭恍┩顿Y者沒有采取合適的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避機(jī)制，盲目地進(jìn)行投資，不僅喪失了盈利的最佳時機(jī)，而且也使自己承擔(dān)了額外的投資風(fēng)險(xiǎn)。可以說，我國對于金融理論和實(shí)踐的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于股市的發(fā)展。這些都造成了我國股市波動幅度和風(fēng)險(xiǎn)顯著高于國外成熟市場的問題，尤其是異常波動和超常波動頻繁出現(xiàn)。因此充分借鑒世界先進(jìn)的風(fēng)險(xiǎn)管理模式，探索我國金融市場資產(chǎn)價(jià)格的波動特征，建立適合我國金融市場的波動模型具有重要意義。

1 相關(guān)文獻(xiàn)綜述

有關(guān)金融風(fēng)險(xiǎn)度量的理論最早是Markowitz提出的用收益方差度量證券投資的風(fēng)險(xiǎn)，該方法雖簡便易行、適應(yīng)性強(qiáng)，但其假設(shè)相對嚴(yán)格，某些情況下不能很好地刻畫金融風(fēng)險(xiǎn)的變化［1］77-91。同年，羅伊提出“安全第一法則”，即利用某個預(yù)設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)水平的概率水平應(yīng)高于其投資價(jià)值來調(diào)整投資風(fēng)險(xiǎn)，從而進(jìn)一步發(fā)展了風(fēng)險(xiǎn)測度理論。該方法雖簡單直觀，使用范圍廣泛，但是其對產(chǎn)品類型的依賴性高，具有不穩(wěn)定性和相對性，這就有可能造成對金融風(fēng)險(xiǎn)擬合分析的失真。之后，Engle提出的ARCH模型描述了金融時間序列的“異方差性”和波動“群集性”［2］987-1007。Bollerslev將ARCH模型的階數(shù)推廣到無窮，得出了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)模型，由此各種各樣的GARCH模型層出不窮，由此形成了ARCH類模型［3］5-59。GARCH模型能夠很好地度量金融時間序列數(shù)據(jù)的波動性，對金融風(fēng)險(xiǎn)的擬合效果更優(yōu)，在此基礎(chǔ)上，G-30集團(tuán)又提出了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值法，J．PMorgan提出了用于計(jì)算VaR的RiskMetrics風(fēng)險(xiǎn)度量模型［4］3-8。VaR方法的優(yōu)點(diǎn)是可以度量不同金融工具構(gòu)成的復(fù)雜證券組合和不同部門的總體市場風(fēng)險(xiǎn)，并且概念簡單，易于理解，但是VaR方法不適用于市場發(fā)生極端情況下的風(fēng)險(xiǎn)度量，不能反映投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)。

近年來，金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究最為突出的是學(xué)者們廣泛地考慮了金融風(fēng)險(xiǎn)度量中的波動性，而最能刻畫波動性的表性的模型就是ARCH類模型，因?yàn)樗芸坍嬍找嫘蛄械牟▌尤杭院彤惙讲钚裕?］987-1007，因而在近十幾年里被廣泛地應(yīng)用于金融理論中的規(guī)律描述和金融市場的預(yù)測和決策。ARCH模型是獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)成果之一，被認(rèn)為是最集中反映了方差變化特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時間序列分析的模型，目前在所有的波動率模型中，ARCH類模型無論從理論研究的深度還是從實(shí)證運(yùn)用的廣泛性來說都是獨(dú)一無二的。

2 理論模型簡介

股票指數(shù)是一種金融時間序列，其分布一般不服從正態(tài)分布［5］10-13。Engle提出股市波動的聚集性和持續(xù)性的ARCH模型，其持續(xù)方差和處理厚尾的能力，能夠很好地描述股票價(jià)格的波動特征［6］610-617。為了達(dá)到更好的擬合效果，一般就會使誤差項(xiàng)的滯后階數(shù)變得更大，但這樣會增加待估參數(shù)個數(shù)，也會降低參數(shù)估計(jì)效率。GARCH模型相對于ARCH模型來說，不僅提高了反映波動率的準(zhǔn)確性，而且減少了待估參數(shù)的個數(shù)。Bollerslev給ARCH模型中的條件異方差ht加入了自回歸部分，即:

上面的模型是 GARCH(p，q)形式，以GARCH(1，1)為例［7］250-253，可得到:

GARCH模型中ht對過去的誤差性平方具有無限記憶性，這與金融市場中的時間序列數(shù)據(jù)特性更加吻合，而且對很多現(xiàn)象的描述也比ARCH模型簡潔。

利用條件方差表示預(yù)期收益的模型被稱為ARCH-M模型，該模型是在1987年由Engle、Lilien、Robins引入的，其表達(dá)式為

其中:參數(shù)ρ是用于衡量觀測到的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)波動ht對yt的影響程度，它代表了收益和風(fēng)險(xiǎn)之間的一種權(quán)衡。

若把ht看成是一個類似(2)的GARCH(p，q)過程，則條件方差方程就能夠?qū)懗?/p>

式(4)和式(5)被稱為GARCH-M模型。

本文運(yùn)用GARCH模型和GARCH-M模型的參數(shù)估計(jì)方法和相關(guān)檢驗(yàn)理論，基于SAS軟件對上證綜指建立相應(yīng)的波動模型，來擬合金融投資風(fēng)險(xiǎn)的波動情況。

3 實(shí)證分析

3．1 金融數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述

本文選取2002年5月27日至2012年5月3日上海證券交易所共2 413個日收盤指數(shù)作為計(jì)算值，采用SAS軟件對上海股市的發(fā)展變化情況進(jìn)行分析［8］35-483。

設(shè)t時刻的收盤價(jià)記為pt，t-1時刻到t時刻的投資收益率可定義為:

當(dāng)采用復(fù)利計(jì)算投資收益時，則日收益率為對數(shù)收益:

這樣定義的原因是:在一個投資期間內(nèi)，如果按m次復(fù)利計(jì)算，則有:

在對上海證券綜合指數(shù)(以下簡稱上證綜指)對數(shù)日收益率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析之前，首先介紹一下偏度與峰度的概念。偏度是指統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布的偏斜方向和程度，它是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布非對稱程度的數(shù)字特征，它是表征概率分布密度曲線相對于平均值不對稱程度的特征數(shù)。峰度又稱峰態(tài)系數(shù)，表征概率分布曲線在平均值處峰值高低的特征數(shù);峰度反映了尾部的厚度。下面我們利用SAS軟件統(tǒng)計(jì)上證綜指對數(shù)收益的基本情況，詳見表1所示。根據(jù)表1進(jìn)行分析。

表1 上證綜指對數(shù)日收益情況

(1)對數(shù)收益率均值的分析:樣本對數(shù)收益率均值為0．000 188 252，說明投資者如果一開始就進(jìn)行投資，能夠得到一個較好的正收益，適用于長線投資。

(2)偏度與峰度的分析:上證綜指的收益率偏度為負(fù)值，說明其分布沒有長的右拖尾。這說明有很多游離在左側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，均值由于受到這些數(shù)據(jù)的影響將偏向左側(cè)，所以大多數(shù)投資者很容易感覺到自己的收益率比平均水平要高。峰度為3．543 704 2 ＞3，說明上證綜指的收益率分布尾巴要比正態(tài)分布厚，其分布密度曲線在距離均值較遠(yuǎn)的地方位于正態(tài)分布曲線的上方，這說明上證綜指的對數(shù)收益率是不服從正態(tài)分布的。由于存在大幅偏離均值的異常值，且異常值成群出現(xiàn)，這就造成了收益率的概率分布呈現(xiàn)尖峰厚尾的現(xiàn)象。因?yàn)?，股市的波動具有“叢集性”，即大波動跟隨大波動，小波動跟隨小波動。波動“叢集性”的存在說明過去收益的波動影響未來收益的波動，詳見圖1、圖2、圖3所示。

圖1 收益時間序列

圖2 絕對收益時間序列

圖3 平方收益時間序列

3．2 序列相關(guān)性和異方差性檢驗(yàn)

相關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 相關(guān)性檢驗(yàn)

由表2可知，由于DW統(tǒng)計(jì)量的值1．986 0非常接近2，說明隨機(jī)誤差序列一階不相關(guān)。而且Pr＜ DW對應(yīng)的概率p值為0．357 4，大于0．05，說明隨機(jī)誤差序列并不是一階正相關(guān);而且Pr＞DW對應(yīng)的概率p值為0．642 6，大于0．05，說明隨機(jī)誤差序列也不是一階負(fù)相關(guān)。

異方差性檢驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表3中，Q表示Q檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，LM表示LM檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，Pr＞Q和Pr＞LM分別表示該假設(shè)檢驗(yàn)的概率p值。由表3可知，對上證綜指自回歸后的殘差序列的Q檢驗(yàn)和LM檢驗(yàn)，滯后12階的概率p值全都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0．05的顯著水平，拒絕原假設(shè)，即:殘差項(xiàng)序列式存在顯著的ARCH效應(yīng)，上證綜指的確存在異方差。

表3 異方差性檢驗(yàn)

3．3 模型階數(shù)的選擇

時間序列定階問題中常用的方法有AIC(Akaike Information Criterion)信息準(zhǔn)則和Schwar的BIC信息準(zhǔn)則［9］72。AIC和BIC的定義如下:

其中，k為被估參數(shù)的個數(shù)，N為觀測個數(shù)，ln(L)為對數(shù)似然函數(shù)。

AIC由對數(shù)似然和參數(shù)個數(shù)決定，對數(shù)似然越小，模型擬合效果越好，模型中包含的參數(shù)越少越好用。AIC準(zhǔn)則建議，在一組可選模型中，選擇使得AIC最小的模型。BIC在AIC的基礎(chǔ)上，考慮了樣本容量對模型選擇的影響，BIC準(zhǔn)則也是選擇使得BIC最小的模型。

利用 SAS軟件，對 GARCH(p，q)模型和GARCH-M(p，q)模型擬合對數(shù)日收益，并計(jì)算相應(yīng)的AIC和BIC值，詳見表4所示。

表4 各種模型的AIC、BIC和對數(shù)似然函數(shù)值

由表4可知，模型GARCH(1，1)的AIC值和BIC值最小，因而最佳的GARCH(p，q)模型應(yīng)為GARCH(1，1)模型。同樣，最佳的 GARCH-M(p，q)模型應(yīng)為 GARCH-M(1，1)模型。

3．4 建立模型

根據(jù)以上分析可知，最佳模型應(yīng)為GARCH(1，1)和GARCH-M(1，1)。下面我們分別給出兩模型的參數(shù)估計(jì)值，如表5、表6所示。

表5 GARCH(1，1)模型的參數(shù)估計(jì)

表6 GARCH-M(1，1)模型的參數(shù)估計(jì)

由表 5 可知:α0=0．000 002 841 3，α1=0．062 9，β1=0．928 1，從而GARCH1，1 模型的具體表達(dá)式為:

由表 6 可知:α0=0．000 002 842 2，α1=0．062 9，β1=0．928 1，γ =0．017 7，從而GARCH-M(1，1)模型的具體表達(dá)式為:

在GARCH-M(p，q)模型中，GARCH-M(1，1)對數(shù)據(jù)的擬合效果最好，在 GARCH(p，q)模型中，GARCH(1，1)的效果最好。GARCH(1，1)又比 GARCH-M(1，1)的擬合效果好，其原因:一是 GARCH(1，1)的 AIC和 BIC較 GARCH-M(1，1)小。二是GARCH(1，1)的參數(shù)估計(jì)表中概率p值全小于顯著性水平0．05，說明各參數(shù)都顯著，而 GARCH-M(1，1)的參數(shù)估計(jì)中DELTA對應(yīng)的概率p值為0．331 3，大于顯著性水平0．05，說明均值方程中σt的系數(shù)并不顯著。

4 結(jié)語

根據(jù)本文對上證綜指對數(shù)日收益率的實(shí)證分析，可得出以下結(jié)果。

(1)對數(shù)日收益序列存在顯著的條件異方差和波動“叢集性”。也就是說，上證綜指對數(shù)日收益的波動隨時間的變化而變化，而且經(jīng)常在某一時刻中連續(xù)出現(xiàn)偏高或偏低的情況。

(2)通過比較 AIC和 BIC信息準(zhǔn)則，得到GARCH(1，1)和 GARCH-M(1，1)分別是最好的GARCH模型和GARCH-M模型，而且GARCH(1，1)模型比GARCH-M(1，1)模型對數(shù)據(jù)的擬合效果更好。

(3)GARCH模型和GARCH-M模型除常數(shù)項(xiàng)外的系數(shù)之和為0．991，接近于1，說明現(xiàn)時刻的波動對未來波動的影響時間較長，有明顯的波動持續(xù)特征。若模型中系數(shù)之和小于1，說明模型具有可預(yù)測性，收益率條件方差序列是平穩(wěn)的。在此，管理層制定實(shí)施相關(guān)政策時，應(yīng)該準(zhǔn)確地預(yù)測市場消化政策的能力，否則外部沖擊對股市的影響將是長期的，因此，把握好政策調(diào)節(jié)市場的力度是非常重要的。

根據(jù)擬合波動性模型可知，我國股市風(fēng)險(xiǎn)較大，“羊群”效應(yīng)顯著，且投資者投機(jī)色彩濃厚。需要指出的是，我國股市的波動主要是由管理當(dāng)局的政策干預(yù)造成的。因此，管理者對市場調(diào)控時應(yīng)從長遠(yuǎn)的角度考慮，把握好政策的調(diào)整力度。目前我國股票市場各方面還不夠規(guī)范，尤其是信息的提前泄露問題。當(dāng)一條可能引起股價(jià)波動的信息尚未完全到達(dá)市場時，已有相當(dāng)一部分人從各種途徑獲知該信息并做出了反應(yīng)。這樣，當(dāng)信息正式到達(dá)市場時，市場已將其基本消化，價(jià)格的波動性隨時間已緩慢釋放完畢，從而不會發(fā)生預(yù)想程度的波動。

［1］Markowitz H．Portfolio selection［J］．Journal of Finance，1952(7)．

［2］Engle R F．Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance ofUnited Kingdom Inflation［J］．Econometrica，1982(4)．

［3］Bollerslev T，Chou R Y，Kroner K F．ARCH Modeling in Finance:A review of the theory and empirical evidence［J］．Journal of Econometrics，1992(1)．

［4］秦國平．基于VaR的我國商業(yè)銀行市場風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量［D］．南昌:江西財(cái)經(jīng)大學(xué)，2010．

［5］ 夏師．上證指數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)分析［J］．中國證券期貨，2009(11)．

［6］ 童恒慶．理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)［M］．北京:科學(xué)出版社，2005．

［7］ 林博．基于GARCH模型的VaR方法在上證市場中的應(yīng)用［J］．時代金融，2013(9)．

［8］朱世武．S A S編程技術(shù)與金融數(shù)據(jù)處理［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2003．

［9］高鐵梅，王金明，梁云芳，等．計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模:EViews應(yīng)用及實(shí)例［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2009．