波爾共振儀實(shí)驗(yàn)的不確定度分析

全紅娟，潘 淵，朱 婧，魏俊波，丁 健

(長(zhǎng)安大學(xué)，陜西 西安 710064)

共振現(xiàn)象普遍存在于力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)及分子、原子物理等物理學(xué)領(lǐng)域。共振雖然有時(shí)會(huì)給人們帶來危害，但利用共振的特點(diǎn)也帶來許多便利，如電磁共振、核磁共振等，所以有必要詳細(xì)地了解共振現(xiàn)象。在高校實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，波爾共振儀常用于研究擺輪的自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)和受近振動(dòng)，用來鞏固學(xué)生對(duì)機(jī)械振動(dòng)理論部分知識(shí)的理解，筆者對(duì)該實(shí)驗(yàn)內(nèi)容結(jié)果的測(cè)量不確度進(jìn)行了討論，并分析了影響結(jié)果的可能因素。

1 實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)擺輪受到周期性策動(dòng)力矩L=L0cosωt的作用，并在有空氣阻尼和電磁阻尼的媒質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)(阻尼力矩為 －b，其運(yùn)動(dòng)方程為

式中:J是擺輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，－kθ為彈性力矩，L0為策動(dòng)力矩的幅值，ω為策動(dòng)力的圓頻率。令ω20則式(1)變?yōu)?/p>

式(2)的通解為

第一項(xiàng)表示減幅的阻尼振動(dòng);第二項(xiàng)表示與策動(dòng)力頻率相同的穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)衰減為零后，受迫振動(dòng)可以表示為:

解得振幅為

與策動(dòng)力矩之間的相位差φ為

式(6)和式(7)表明，發(fā)生共振時(shí)頻率ωr并不等于系統(tǒng)的固有頻率ω0，而與系統(tǒng)的阻尼β有關(guān)。β越小，ωr越接近ω0，振幅θr也越大，圖1表示出不同β時(shí)受迫振動(dòng)的幅頻特性和相頻特性。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的測(cè)量不確度分析

圖1 受迫振動(dòng)的幅頻特性和相頻特性

波爾共振實(shí)驗(yàn)儀可以進(jìn)行自由振蕩周期、阻尼系數(shù)和受迫振動(dòng)幅頻特性和相頻特性的測(cè)量。下面將對(duì)自由振蕩和阻尼振蕩的測(cè)量結(jié)果，進(jìn)行了不確定的分析，對(duì)于受迫振動(dòng)，給出了幅頻特性和相頻特性的計(jì)算結(jié)果，見表1。

2.1 自由振蕩

該模式下，阻尼檔位為1，測(cè)量擺輪的固有頻率。自由振蕩通常認(rèn)為是無阻尼狀態(tài)，但實(shí)際上還會(huì)有空氣阻尼、系統(tǒng)內(nèi)部的耗散力等存在，正因?yàn)槿绱?，?中的測(cè)量數(shù)據(jù)(取16組測(cè)量結(jié)果的一部分)才會(huì)出現(xiàn)隨著時(shí)間的推移，擺輪的振幅變小的現(xiàn)象。

表1 自由振蕩下的擺輪周期和振幅的測(cè)量記錄表

測(cè)量滿足均勻分布，最小分辨力δx=0.001，則B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

擴(kuò)展不確定度為:

擺輪的固有頻率為:

結(jié)果表明，擺輪的自由振蕩頻率真值以一定的概率落在了上面的區(qū)間內(nèi)。

2.2 阻尼系數(shù)的測(cè)定

該模式下，阻尼檔位為2，給擺輪的振動(dòng)加上一定的電磁阻尼，這樣實(shí)際振動(dòng)總是受到阻力的影響，由于要克服阻力做功，擺輪的振幅逐漸減小。測(cè)量結(jié)果如表2所示(16組數(shù)據(jù)取11組)，這里采用逐差法處理數(shù)據(jù)。

表2 阻尼振蕩下的擺輪周期和振幅的測(cè)量記錄表

可得周期ˉT=1.560 s，ˉM=1.241。阻尼系數(shù)ˉβ =0.028s－1。求得 A 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為測(cè)量滿足均勻分布，最小分辨力δx=0.001，B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

由β=ln M/5T，求得靈敏系數(shù)

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)

結(jié)果表明，擺輪阻尼振蕩的阻尼系數(shù)真值以一定的概率落在了上面的區(qū)間內(nèi)。

2.3 受迫振動(dòng)幅頻特性和相頻特性的測(cè)定

擺輪做受迫振動(dòng)時(shí)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于擺輪的固體頻率時(shí)，擺輪振幅最大(共振)。該模式下，阻尼狀態(tài)仍為2，測(cè)量數(shù)據(jù)如表3。

表3 擺輪做受迫振動(dòng)的參數(shù)測(cè)量記錄表

從表3的結(jié)果可以看出，擺輪做受迫振動(dòng)的振幅由驅(qū)動(dòng)力頻率和物體的固有頻率共同決定:兩者越接近，受迫振動(dòng)的振幅越大;兩者相差越大，受迫振動(dòng)的振幅越小。

3 影響測(cè)量結(jié)果的因素分析

實(shí)驗(yàn)過程中，由于軸承摩擦、彈簧非線性效應(yīng)、電機(jī)轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定的影響，受近振動(dòng)的幅頻特性測(cè)量常會(huì)出現(xiàn)扭擺不穩(wěn)定的現(xiàn)象，導(dǎo)致有的測(cè)量數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)異常，所以需要完全領(lǐng)悟受迫振動(dòng)的含義才能正確分析。在自由振動(dòng)和阻尼振動(dòng)的測(cè)量時(shí)，考慮到軸承的摩擦效應(yīng)，擺輪的角度盡量介于120°～150°之間，才能保證阻尼系數(shù)基本為一個(gè)穩(wěn)定值。此外，在實(shí)驗(yàn)操作中，盡量遵循“先定性觀察，再定最測(cè)量”的原則，以使測(cè)量的結(jié)果更準(zhǔn)確。

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