用MatLab曲線擬合工具箱處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

岳 鵬，程敏熙

(華南師范大學(xué)，廣東廣州 510006)

物理學(xué)是一門(mén)以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的科學(xué)，物理實(shí)驗(yàn)離不開(kāi)定量的測(cè)量和計(jì)算，需要運(yùn)用科學(xué)的數(shù)據(jù)處理方法，才能夠得出正確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。因此數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)的重要組成部分［1］。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種處理數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)軟件也應(yīng)運(yùn)而生，MatLab軟件作為其中的一種，利用其處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)已非常普遍。但筆者發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)書(shū)籍及文獻(xiàn)都是通過(guò)編寫(xiě)程序，利用MatLab的命令函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理［2-4］。使得很多對(duì)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言不熟悉的實(shí)驗(yàn)者對(duì)MatLab軟件望而生怯。然而，利用MatLab曲線擬合工具箱，無(wú)需進(jìn)行編程即可簡(jiǎn)單快捷地對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行直線及曲線擬合。主要以測(cè)量玻璃熱膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)和太陽(yáng)能電池基本特性測(cè)量實(shí)驗(yàn)為例，介紹了基于MatLab曲線擬合工具箱處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基本方法。

1 MatLab曲線擬合工具箱簡(jiǎn)介

MatLab提供了兩種方法進(jìn)行曲線擬合:一種是編程形式，需要編寫(xiě)代碼利用命令對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，另一種是利用圖形界面窗口進(jìn)行操作。MatLab曲線擬合工具箱提供了可視化的圖形界面進(jìn)行曲線擬合，圖形界面操作簡(jiǎn)單、方便，無(wú)需編寫(xiě)復(fù)雜的代碼，對(duì)于希望快速利用MatLab進(jìn)行曲線擬合的入門(mén)者尤為有用［5-8］。利用MatLab曲線擬合工具箱，可以在簡(jiǎn)單易用的界面中快速地實(shí)現(xiàn)多種基本的曲線擬合。

2 利用 MatLab曲線擬合工具箱處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)例

2.1 利用MatLab曲線擬合工具箱進(jìn)行直線擬合

利用MatLab曲線擬合工具箱進(jìn)行直線擬合非常簡(jiǎn)單快捷。在測(cè)量玻璃熱膨脹系數(shù)和折射率溫度系數(shù)實(shí)驗(yàn)中，利用降溫法測(cè)量了某玻璃樣品的膨脹系數(shù)和折射率溫度系數(shù)［6］。選擇了該實(shí)驗(yàn)的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行處理，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 降溫時(shí)干涉條紋移動(dòng)數(shù)ml和溫度T的關(guān)系

2.1.1 處理方法

啟動(dòng)MatLab，利用MatLab的曲線擬合工具箱直接繪制干涉條紋移動(dòng)條數(shù)m與溫度T的關(guān)系。基本命令如下:

(1)輸入數(shù)據(jù)。在命令行輸入表1數(shù)據(jù):

T=［161.3，156.8，153.2，148.7，143.5，138.5，134.1，129.3，124.9，121.1，116.3，112.5，108.9，105.3，101.3，97.9，94.2，90.5，86.8，83.2，79.8，76.3，72.0，67.9，63.9，59.8，55.9，52.2，48.2，44.3，40.4，36.5］(相應(yīng)的溫度值直接輸入，并表示成一維矩陣);m=［1∶1∶32］(以1為步長(zhǎng)的等差一維矩陣，表示干涉條紋數(shù)目)。

(2)啟動(dòng)曲線擬合工具箱并選擇數(shù)據(jù)。在命令行輸入cftool，回車(chē)，進(jìn)入曲線擬合工具箱界面，進(jìn)而點(diǎn)擊“Data”按鈕，在彈出的“Data”窗口中利用X data和Y data的下拉菜單選擇數(shù)據(jù)x、y，然后點(diǎn)擊“Create data set”按鈕，退出“Data”窗口，這時(shí)會(huì)在工具箱界面自動(dòng)畫(huà)出數(shù)據(jù)集的散點(diǎn)圖。

(3)進(jìn)行曲線擬合。點(diǎn)擊“Fitting”按鈕，在彈出的窗口點(diǎn)擊“New fit”按鈕，通過(guò)“Data set”下拉菜單選擇數(shù)據(jù)集，然后通過(guò)下拉菜單“Type of fit”選擇合適的曲線參數(shù)模型，再點(diǎn)擊“aplly”就會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的擬合圖線。如果擬合結(jié)果不符合預(yù)期，可選擇工具箱已有的其他函數(shù)模型或者自定義函數(shù)模型重新擬合，直到得到滿意的擬合結(jié)果。

利用MatLab工具箱既可以進(jìn)行參數(shù)擬合(已知真實(shí)數(shù)據(jù)，尋找一個(gè)模型對(duì)其規(guī)律進(jìn)行模擬)，也可以進(jìn)行非參數(shù)擬合(只得到一個(gè)平滑的通過(guò)各數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線)。在本實(shí)驗(yàn)中采用的是polynomial(多項(xiàng)式擬合)。選擇linear polynomial(線性多項(xiàng)式)再點(diǎn)擊“aplly”就會(huì)出現(xiàn)擬合直線。選擇菜單中的View-Residuals進(jìn)而可以顯示擬合圖像的殘差圖。當(dāng)描繪的點(diǎn)圍繞殘差等于0的直線上下隨機(jī)分布時(shí)，說(shuō)明回歸直線擬合情況良好。

2.1.2 擬合結(jié)果

圖1 m-T關(guān)系曲線

圖2 擬合曲線殘差

表2 擬合結(jié)果參數(shù)

2.1.3 數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)擬合后的圖像如圖1所示，得m-T關(guān)系曲線及其殘差圖(圖2)。擬合數(shù)據(jù)結(jié)果在fitting窗口中的Results下的文本框中可得到，如表2所示。

表2中參數(shù)P1:擬合直線的斜率;P2:截距;SSE:擬合曲線的誤差平方和;R-square:擬合的確定系數(shù);Adjusted R-square:調(diào)整自由度以后的殘差的平方;RMSE:均方根誤差。由上表可知，該擬合結(jié)果精確。由表2可得:252 ℃－1，已知 λ =632.8 nm，L=(10.12 ± 0.05)mm;將以上數(shù)據(jù)代入公式β=可得玻璃樣品的熱膨脹系數(shù) β =7.879 × 10－6℃－1。

2.2 利用MatLab曲線擬合工具箱進(jìn)行曲線擬合

對(duì)于較為復(fù)雜的曲線擬合，依舊可以利用MatLab曲線擬合工具箱進(jìn)行類(lèi)似的處理。以太陽(yáng)能電池基本特性測(cè)定實(shí)驗(yàn)為例，該實(shí)驗(yàn)測(cè)量了太陽(yáng)能電池在無(wú)光照并且正向偏壓時(shí)的伏安特性曲線、不加偏壓白光照射時(shí)的輸出伏安特性曲線以及太陽(yáng)能電池的光照強(qiáng)度［7］。其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表 3、表 4、表 5［7］。

表3 全暗正向偏壓下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表4 不加偏壓白光照射時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表5 光照效應(yīng)

2.2.1 數(shù)據(jù)處理過(guò)程

本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過(guò)程可參照2.1.1的步驟進(jìn)行，只需最后根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理以及散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行擬合即可。

表3為在全暗情況下，測(cè)量太陽(yáng)能電池正向偏壓下流過(guò)太陽(yáng)能電池的電流I和輸出電壓U所得的數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求，要描繪其I-U圖。由實(shí)驗(yàn)原理可知，在該實(shí)驗(yàn)條件下其U-I關(guān)系近似為根據(jù)U-I關(guān)系式，擬合類(lèi)型選擇Exponential下的a*exp(b*x)函數(shù)模型。擬合結(jié)果見(jiàn)圖3。

圖3 I-U圖(全暗)

表4為不加偏壓時(shí)，以白色光照射太陽(yáng)能電池測(cè)得的數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求，需要描繪其I-U及P-R圖像。由于不清楚該條件下的I-U、P-R關(guān)系式，根據(jù)其散點(diǎn)圖，我們選擇非參數(shù)擬合的Interpolant(內(nèi)插法)中的Shape-preserving(分段三次艾爾米內(nèi)插)。如果不確定選擇哪種擬合方式，可在同一組數(shù)據(jù)中擬合多條曲線，選擇最滿意的那條。其擬合結(jié)果見(jiàn)圖4，圖5。

圖5 P-R關(guān)系圖

圖6 Isc-J/J0函數(shù)關(guān)系圖

表5為相對(duì)光強(qiáng)J/J0、短路電流Isc/mA、開(kāi)路電壓Uoc/V測(cè)量結(jié)果。根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求描繪其Isc-J/J0、Uoc-J/J0函數(shù)關(guān)系圖。根據(jù)擬合過(guò)程中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)于Isc-J/J0選擇線性多項(xiàng)式擬合，擬合結(jié)果見(jiàn)圖6。

2.2.2 數(shù)據(jù)分析

在工具箱的Fitting窗口中可查看各擬合曲線的相關(guān)參數(shù)，利用其Analysis工具可對(duì)圖線進(jìn)行外推、積分、微分等后期處理，得到更多數(shù)據(jù)信息。

對(duì)于圖3中的曲線，由Fitting窗口中的Results下的文本框，可知其函數(shù)參數(shù)A=0.074 23，B=2.5 84，擬合確定系數(shù) R-square為0.999 7。

實(shí)驗(yàn)要求從圖4中得到其短路電流和開(kāi)路電壓。點(diǎn)擊工具箱界面的Analysis按鈕，在彈出的界面中設(shè)置 Analyze at Xi=0.00∶0.01∶3.99(以0.01 為步長(zhǎng)，從0 到 3.99)，并將 Evaluate ftiat xi打鉤，再點(diǎn)擊Apply即可得到以上各電壓值對(duì)應(yīng)的電流值。進(jìn)而可在所得出的一系列數(shù)據(jù)中找出短路電流和開(kāi)路電壓(圖3中Isc=0.722 mA，Uoc=3.79 V)。同樣可以利用 Analysis工具得出圖5中最大功率Pmax=1.887 mW以及相應(yīng)的電阻R=5.2 kΩ。可見(jiàn)，用MATLAB曲線擬合工具箱可以較為快捷地找出擬合曲線某一點(diǎn)的具體數(shù)值以及曲線的峰值。

圖6為線性多項(xiàng)式擬合，其數(shù)據(jù)分析方法可參照 2.1.3。

3 結(jié) 論

通過(guò)以上兩個(gè)實(shí)例，可以看出利用MatLab曲線擬合工具箱無(wú)需編程即可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，展示了其簡(jiǎn)單、快捷、高效的特點(diǎn)。除此之外，MatLab曲線擬合工具箱還能對(duì)擬合曲線進(jìn)行后期處理，從而可得到豐富的數(shù)據(jù)及擬合參數(shù)?？梢?jiàn)，利用MatLab曲線擬合工具箱處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到較精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果并且可提高實(shí)驗(yàn)者的工作效率。

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