初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)質(zhì)量提升策略的案例分析

王青

[摘 ?要] 作為“數(shù)學(xué)大廈”基石，數(shù)學(xué)概念反映了數(shù)學(xué)思維、現(xiàn)實(shí)空間形式. 要想提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)目標(biāo)首先應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)原理與概念的理解掌握，并以此為契機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)整體能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);概念教學(xué);質(zhì)量提升;案例分析

萬丈高樓平地起，以沙丘為地基的宏偉建筑的倒塌也只是片刻. 作為基本的數(shù)學(xué)體系元素，數(shù)學(xué)概念以抽象思維性反映了現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系、空間形式與其本質(zhì)特性，支撐著數(shù)學(xué)體系. 做好初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐，是素質(zhì)教育中“全方位發(fā)展”的要求，也是學(xué)科興趣的需要.

數(shù)學(xué)概念淺談

數(shù)學(xué)概念可以說是現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)世界的一種理論、思維的升華，最終得到數(shù)量關(guān)系與空間關(guān)系. 數(shù)學(xué)概念是基本的數(shù)學(xué)內(nèi)容，是定理、公式與法則的邏輯推導(dǎo)的起點(diǎn)，學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)必須從數(shù)學(xué)概念開始. 奧蘇泊爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)者“熟知數(shù)學(xué)概念”以“共同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特性”的掌握與認(rèn)知為標(biāo)志，概念的同化與形成幫助學(xué)習(xí)者掌握概念. 以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的APOS教學(xué)理論由杜賓斯提出，該模型提倡概念建立要依靠學(xué)生的主動(dòng)行為，在反復(fù)、多次的綜合與抽象后，方可實(shí)現(xiàn)概念構(gòu)建目標(biāo). 學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)過行為、過程、對(duì)象與圖象公式四個(gè)階段，寓教于樂學(xué)習(xí)概念.

考慮初中數(shù)學(xué)概念繁多，難以一一列舉，可將其做屬性劃分. 首先，具體與抽象概念. 摸得著、看得見的直觀概念，如三角形、等式、實(shí)數(shù)、圓、方程、有理數(shù)、四邊形、代數(shù)式、四邊形等具體概念;抽象概念分為數(shù)學(xué)過程與關(guān)系概念，數(shù)學(xué)過程概念如解不等式（組）、開方、變形、乘方、解直角三角形、解方程（組）、公式恒等變形、因式分解多項(xiàng)式等;數(shù)學(xué)關(guān)系概念如相離、相交、全等、不等、相反、重合、成比例、相似、垂直、相等、相切、相似、平等. 其次，根據(jù)數(shù)學(xué)概念外延對(duì)象，分為單獨(dú)概念與普遍概念. 如四邊形ABCD、90°角的余弦值、二次函數(shù)y=2x2-3、自然數(shù)2等單獨(dú)概念;比值、四邊形、二次函數(shù)、自然數(shù)等則為普遍概念. 此外，還有種概念與屬概念. 設(shè)A、B兩普遍概念相異，A外延從屬于B，那么B為屬，A是種. 如矩形與正方形、四邊形與平行四邊形分別是屬種關(guān)系. 屬種間應(yīng)當(dāng)具備相似的內(nèi)涵，如方程與四邊形、方程與圓就不是屬種關(guān)系.

有效提升初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)質(zhì)

量的實(shí)踐分析

（一）概念圖的構(gòu)建讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念一目了然

參考奧蘇泊爾學(xué)習(xí)理論，創(chuàng)建的數(shù)學(xué)概念圖讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有了框架式的全新認(rèn)識(shí). 課程之前，教師可編寫下節(jié)課數(shù)學(xué)知識(shí)的概念圖，以圖架形式幫助學(xué)生分辨知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián). 概念圖可省去文字的繁雜，形式簡單、邏輯合理、輕重分明、知識(shí)全面、理解容易.

例如，“變量與函數(shù)”課程，可設(shè)計(jì)出如圖1所示的概念圖.

在實(shí)數(shù)概念課程，構(gòu)建概念圖也可如圖2.

利用概念圖，教師備課實(shí)現(xiàn)了整體化，其以“居高臨下”式的觀察概念譜系，不僅可觀察數(shù)學(xué)概念全景（big picture），其細(xì)節(jié)也十分清楚. 當(dāng)然，對(duì)于學(xué)生來說亦是如此.

（二）變錯(cuò)誤為寶，升華概念認(rèn)識(shí)

錢學(xué)森說過，正確的結(jié)果，是從大量的錯(cuò)誤中得出來的. 初中數(shù)學(xué)概念上百，學(xué)生難以掌握完全，解題錯(cuò)誤時(shí)常發(fā)生. 但是，若將眼光“先前看”，而忽視了回頭分析、改正錯(cuò)誤，錯(cuò)誤將會(huì)接二連三重復(fù). 錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，發(fā)掘、正視并珍視概念，利用錯(cuò)誤，變錯(cuò)誤為寶，可防止下一次錯(cuò)誤的發(fā)生.

例：設(shè)b<a，c是有理數(shù)，則下列不等式的正確個(gè)數(shù)為多少？

①bc>ac;②bc<ac;③<;④bc2≤ac2;⑤bc2<ac2.

本題中，因a>b，討論所選不等式的正確性，只需要考慮c、c2. 因c是有理數(shù)，那么①②③肯定存在變形錯(cuò)誤. 這時(shí)，學(xué)生誤以為c2>0，則得出④⑤的正確性. 其實(shí)，0≤c2，那么，僅有④是正確的.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)性質(zhì)與概念時(shí)，需要縱橫結(jié)合、前后聯(lián)系，探究本質(zhì)，并聯(lián)想、比較記憶，以更好認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念.

再如，x1、x2為方程x2+kx+4k2=3的實(shí)數(shù)根，且有等式xx=x+x，試求k值.

錯(cuò)誤解法：因方程實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足xx=x+x，為此，4k2-3=-k，即4k2+k-3=0，解方程得：k=-1或.

此題難度雖小，但學(xué)生依然經(jīng)常犯錯(cuò)，原因在于忽略了Δ=b2-4ac≥0.

正確解法：依照上面得到k=-1或，在分別將k=-1與k=代入題干方程得到一元二次方程式后，以Δ=b2-4ac≥0判斷k的解值，滿足條件的只有k=.

其實(shí)，概念理解的偏失、淺顯、錯(cuò)誤是不可避免的，學(xué)生要勇于挑戰(zhàn)解題錯(cuò)誤，尋找盲點(diǎn)，以錯(cuò)誤為基石，不斷走向成功.

（三）數(shù)形結(jié)合，突出概念直觀性

數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系與圖形間的相互轉(zhuǎn)換應(yīng)用即為數(shù)形結(jié)合. 數(shù)學(xué)是生活的邏輯與抽象性升華，將模糊的數(shù)學(xué)概念，通過圖形方式展現(xiàn)，符合初中生學(xué)習(xí)與思維能力. 數(shù)形結(jié)合可在實(shí)數(shù)、不等式、函數(shù)、三角函數(shù)以及幾何等知識(shí)點(diǎn)中凸顯. 例如，實(shí)數(shù)大小的比較，可通過數(shù)軸點(diǎn)的前后位置來判斷.

例：假設(shè)0>a，b>0，a>b，試比較a、b、-a、-b間以及0與a-b、0與-ab、與間的大小.

該題涉及數(shù)學(xué)關(guān)系概念、有理數(shù)概念，簡單考慮有理數(shù)性質(zhì)，會(huì)出現(xiàn)思維無序狀態(tài). 若以數(shù)軸為幫手，便能輕松解答概念間的相互關(guān)系.

依據(jù)數(shù)軸，直觀得到：-a>b>-b>a;0>a-b、0<-ab、>.

例：幾何內(nèi)容“圓”主要教授圓與直線、圓與點(diǎn)、圓和圓間的相互位置關(guān)系. 以口頭、文字空洞表達(dá)外切、相交、內(nèi)切等關(guān)系，必然因?qū)Ρ汝P(guān)系的復(fù)雜而一頭霧水. 為此，可以圖示其間的關(guān)聯(lián). 如圓和圓的位置關(guān)系，可畫出下圖.

圓外離：d>R+r

圓內(nèi)切：d=R-r或d<R+r

圓相交：R+r>d>R-r

圓外切：d=R+r

數(shù)形結(jié)合即數(shù)量關(guān)系與幾何圖形間的結(jié)合，考慮數(shù)學(xué)知識(shí)間的共通性，有效契合數(shù)與形，嚴(yán)密推導(dǎo)，是理解數(shù)學(xué)概念、擴(kuò)大數(shù)學(xué)概念認(rèn)知的有效方式.

（四）以范例為概念學(xué)習(xí)打下前期基礎(chǔ)

范例，即例子. 初中數(shù)學(xué)課本的編排有很強(qiáng)的邏輯性，知識(shí)體系從簡單到復(fù)雜，不斷鋪排. 掌握前一章節(jié)概念，后期概念學(xué)習(xí)當(dāng)然如數(shù)家珍. 在概念學(xué)習(xí)時(shí)，教師不妨選擇典型的例子，鋪設(shè)探究路子，為學(xué)生提供方便. 例如，“冪的乘方”比“積的乘方”學(xué)習(xí)在前，在教授“積的乘方”時(shí)，有必要提供“冪的乘方”范例，在回憶基礎(chǔ)上拉開“積的乘方”概念學(xué)習(xí)序幕.

例：計(jì)算①（32）3;②（x3）2;③（xa）n.

計(jì)算后，總結(jié)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，如果a與n為正整數(shù)，則（xa）n =

為此，（xa）n=xan. 得出規(guī)律，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

有了以上例子，再讓學(xué)生求解以下各式：

（4×5）2與42×52;[4×（-5）]2與42×（-5）2;×與×，最后，讓學(xué)生自行在探索中總結(jié)規(guī)律.

通過范例，概念的語言解釋大可避免. 在“對(duì)照”基礎(chǔ)上，學(xué)生尋找出范例與所學(xué)概念間的相似性，把思考還給學(xué)生，能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力.

（五）提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的其他建議

首先，加強(qiáng)理解閱讀. 翻閱教材，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念大多精簡、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于抽象概念，更是難以捉摸其內(nèi)在含義，無法尋找出有效的反映實(shí)體. 因概念由語言表述，則學(xué)習(xí)、理解概念語言至關(guān)重要. 若學(xué)生閱讀能力低下，在概念理解與應(yīng)用上則要下苦功夫.

其次，在理解閱讀基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)要求學(xué)生由表及里，由現(xiàn)象到本質(zhì)對(duì)概念進(jìn)行理解，注意概念外延、內(nèi)涵，保證質(zhì)與量的雙豐收. 如，“垂線”. 概念內(nèi)涵——四個(gè)垂直角;概念外延——線相交下的某特殊存在狀況;定義垂線，從而認(rèn)知定義具有概念判定與性質(zhì)區(qū)分的性能.

另外，初中數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)、理解不可停留在思維上，要真正形成概念，應(yīng)用實(shí)踐不可或缺. 在實(shí)際數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用概念，學(xué)生可鞏固概念，加深掌握程度，當(dāng)然，數(shù)學(xué)實(shí)踐能力也不知不覺得到提升.

結(jié)語

學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力、分析能力、邏輯思維能力、探索能力與數(shù)學(xué)概念掌握程度的優(yōu)劣有很大關(guān)系，教師要清楚認(rèn)識(shí)到初學(xué)概念的基礎(chǔ)性地位，不斷總結(jié)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，深化理論學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解程度，構(gòu)建起系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu). 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)性原則、動(dòng)力性原則、過程性原則、交流性原則、活動(dòng)性原則、系統(tǒng)性原則、發(fā)展性以及層次性原則，立足當(dāng)前，放眼長遠(yuǎn)，不斷為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)質(zhì)量的提升出謀劃策，添磚加瓦.