應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一類數(shù)列求和問(wèn)題

王大成

高中引入了導(dǎo)數(shù)概念，給出了導(dǎo)數(shù)的定義，講清楚了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及物理意義.在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方面也給出了一些例題，應(yīng)用主要是針對(duì)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明等問(wèn)題.但是在數(shù)列求和方面的應(yīng)用基本上還沒(méi)有涉及，因此我寫本文來(lái)為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用開辟一條新的途徑.

例1數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n×2n-1（n∈N*），求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

分析：這種問(wèn)題基本上都是用錯(cuò)位相減法來(lái)解決.

Sn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1…（1）

2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n…（2）

由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n，有Sn=1+（n-1）×2n（n∈N*）.

注1：對(duì)于解決本類問(wèn)題，錯(cuò)位相減法當(dāng)然很好，可以說(shuō)是很經(jīng)典的.課改以前高中課本中沒(méi)有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這樣的內(nèi)容，所以也不好給學(xué)生講導(dǎo)數(shù)法，但是今天的高中新課本中已經(jīng)有導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，這樣的問(wèn)題當(dāng)然可以用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求解.這樣，一方面順應(yīng)了新課改的需要，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，也滿足了素質(zhì)教育的要求.

導(dǎo)數(shù)法：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），

f′（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1， 所以Sn=f′（2），

f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）1-x.

因?yàn)閒′（x）=[1-（n+1）xn]（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2，

所以Sn=f′（2）=1+（n-1）×2n.

定理1：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n×pn-1（p≠0，p≠1，n∈N*），其前n項(xiàng)和為Sn，

則Sn=1+[（p-1）n-1]pn（1-p）2.

證明：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），

f′（x）=1×x0+2x1+3x2+…nxn-1， 所以Sn=f′（p），

f（x）=x+x2+x3+…xn=x（1-xn）1-x（x≠1）.

由f′（x）=[1-（n+1）xn]（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2

得Sn=f′（p）=1+[（p-1）n-1]pn（1-p）2（p≠1），證畢.

例2數(shù)列（an）的通項(xiàng)公式an=An+B（A，B是常數(shù)），數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=r·sn-1（rs≠0），令cn=anbn（n∈N*），求數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和Tn.

分析：（1）若s=1，bn=r，cn=anbn=（An+B）·r=Ar·n+Br，

Tn=Ar+Br+Ar·n+Br2n=Ar2n2+Ar+2Br2n

（2）若s≠1，cn=anbn=（An+B）（r·sn-1）=Ar·n·sn-1+Br·sn-1.

令dn=Ar·n·sn-1，tn=Br·sn-1，cn=dn+tn，有Mn=∑ni=1di，Rn=∑ni=1ti，Tn=Mn+Rn.

Rn=∑ni=1ti=Br（1-sn）1-s（s≠1），Mn=∑ni=1di=Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

所以Tn=Mn+Rn=Br（1-sn）1-s+Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

定理2：數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=（An+B）×r·sn-1（Ars≠0，s≠1），則數(shù)列（cn）前n項(xiàng)和為Tn=Br（1-sn）1-s+Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

注2：本方法可以取代高中學(xué)習(xí)的錯(cuò)位相減法，同時(shí)展現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性.導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，是一種重要的數(shù)學(xué)工具，教師在學(xué)習(xí)的時(shí)候應(yīng)該有一些自己的思考，打破常規(guī)，創(chuàng)新思考，為能培養(yǎng)出一批優(yōu)秀的人才貢獻(xiàn)自己的一份微薄之力.要想學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)新，教師就應(yīng)該帶頭創(chuàng)新.

定理3：數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=n2xn（x≠0，x≠1，n∈N*），則數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和Tn=g（x）=x（x-1）3[n2xn+2-（2n2+2n-1）xn+1+（n+1）2xn-x-1].

注3：用定理3，可以求出數(shù)列{（An+B）×r·sn-1}（其中Ars≠0，r≠1）的前n項(xiàng)和Tn，數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=anbn（n∈N*），an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.這類問(wèn)題在高中階段一般用錯(cuò)位相減法解決.讀者只要對(duì)定理3的理解到位了，那么解決數(shù)列{（An2+Bn+C）·xn}（A，B，C∈R）的求和問(wèn)題也就不難了.作差一次等價(jià)于一次求導(dǎo)，作差兩次就等價(jià)于求導(dǎo)兩次，以此類推，我們可以求出數(shù)列{（anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0）qn}，其中（an，an-1，…，a1，a0，q∈R，q≠0）的前n項(xiàng)和.