一類與算子有關(guān)的級數(shù)轉(zhuǎn)化公式*

趙熙強(qiáng)，趙 芳

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100）

Heaviside積分是現(xiàn)在算子理論研究的基礎(chǔ)。1973年G C Rota對算子理論進(jìn)行了進(jìn)一步的完善，尤其是同構(gòu)定理［1］指出級數(shù)組成環(huán)與位移不變算子形成的環(huán)之間存在同構(gòu)。根據(jù)這個同構(gòu)定理T X He等人做了一系列的研究［2－5］，文獻(xiàn)［2］中研究了算 子 （1－xE）－1的4種冪級數(shù)展開形式，并利用得到的結(jié)論加快了冪級數(shù)的收斂速度。2007年他們又對上述結(jié)論進(jìn)行了推廣［5］，研究了算子g（xE），并利用算子間關(guān)系得到了一類級數(shù)轉(zhuǎn)化公式。將算子理論與Sheffer多項式聯(lián)系起來也可以得到相應(yīng)的級數(shù)轉(zhuǎn)化公式，這類級數(shù)轉(zhuǎn)化公式在研究一些特殊多項式性質(zhì)及組合恒等式證明方面有重要應(yīng)用。例如文獻(xiàn)［5］中式（3.1），令f（k）＝kr，g（x）＝Ln（x），其中Ln（x）為Laguerre多項式，得

本文主要研究了算子g（xΔ）的冪級數(shù)展開形式以及由此得到的不同于前者的一類級數(shù)轉(zhuǎn)化公式，第3部分給出了一些例子，用來說明轉(zhuǎn)化公式的應(yīng)用。

常見算子定義如下

算子間滿足如下關(guān)系

如果算子T可以和所有位移算子交換，即TEa＝EaT，其中a為任意實數(shù)，則T稱為位移不變算子。

如果位移不變算子Q，滿足Qx＝c，其中c為非零常數(shù)，則Q稱為δ－算子。顯然，微分算子D、差分算子Δ、位移算子Ε均為位移不變算子，而微分算子D為δ－算子。

證明 由第一展開定理［1］，Εk為位移不變算子，微分算子D為δ－算子，且其基礎(chǔ)集為 ｛xn｝ ，故

另外，為了能簡化下面的級數(shù)轉(zhuǎn)化公式，引進(jìn)1個類似Euler多項式的1個新多項式。

其中g(shù)（y）有任意階導(dǎo)數(shù)。

1 級數(shù)轉(zhuǎn)化公式

利用級數(shù)轉(zhuǎn)化公式可以得到很多組合恒等式，下面給出2個完全不同的級數(shù)轉(zhuǎn)化公式。

其中：｛f（k） ｝為數(shù)列；g（x）和h（x） 在 ［0，＋ ∞）上有任意階導(dǎo)數(shù)，Ak（x，g（0）） 定義如（1）。

證明 將g（xΔ） 作用于f（t） ，并在x＝0處展開，得

關(guān)于左邊

類似的，對于任意階可導(dǎo)的函數(shù)h（t） ，結(jié)合（3），令f（k）＝j(luò)k，有

由式（4）、（5）成立。

在（3）式中，g（x） 取不同的函數(shù)，可以得到很多有用的組合恒等式。

其中：αn（x） 為定義1.2中x＝y(tǒng)的情形；｛f（k） ｝為數(shù)列。

由式（15）、（16）即證。

2 應(yīng)用舉例

例1 在式（11）中令f（k）＝w（k＋1），w（k）為Bell數(shù)，式（11）變?yōu)?/p>

在上式中比較等式2邊xm的系數(shù)，得

例2 在 式 （9）中，令f（n）＝s（n＋ 1，k） ，其 中s（n，k） 為第二類Stirling數(shù).

比較等式兩邊xn的系數(shù)，得

例3 在式（6）中令，f（k）＝kr，則

當(dāng)r＝0時，有

在式（9）、（11）中令f（k）＝kr，則

3 結(jié)語

本文主要將算子與形式冪級數(shù)結(jié)合起來，得到了級數(shù)轉(zhuǎn)化公式（3）和（4），從第3部分可以看到，（3）和（4）在研究特殊多項式性質(zhì)方面應(yīng)用廣泛。

［1］Rota G C，Kahaner D，Odlyzko A.On the foundations of combinatorial theory：VIII.finite operator calculus［J］.Mathematical A-nalysis and Applications，1973，142：684-760.

［2］He T X，Hsu L C，Shiue P J S.A symbolic operator approach to several summation formulas for power series［J］.Computational and Applied Mathematics，2005，177：17-33.

［3］He T X，Hsu L C，Shiue P J S.Convergence of the summation formulas constructed by using a symbolic operator approach［J］.Computers and Mathematics with Applications，2006，51（3-4）：441-450.

［4］He T X，Hsu L C，Shiue P J S.Symbolization of generating functions，an application of the Mullin–Rota theory of binomial enumeration［J］.Computers and Mathematics with Applications，2007，（5）：664-678.

［5］He T X，Hsu L C，Shiue P J S.A symbolic operator approach to several summation formulas for power series II［J］.Discrete Mathematics，2008，308：3427-3440.

［6］Knopf P M.The operator（x/d/dx）n and its applications to series［J］.Mathematics Magazine，2003，76（5）：364-371.

［7］Comtet L.Advanced Combinatorics［M］.Dordrecht：Springer，1974：204-212.

［8］Hsu L C，Shiue P J.On certain summation problem and generalization of Eulerian polynomials and numbers［J］.Discrete Mathematics，1999，204（1-3）：237-247.

［9］Boyadzhiev K N.A series transformation formula and related polynomials［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Science，2005，23：3849-3866.