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    基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)探究

    2014-12-01 09:38劉衍浩
    關(guān)鍵詞:教育價(jià)值勾股定理數(shù)學(xué)史

    劉衍浩

    [摘 要] 數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的意義不言而喻,它對(duì)于踐行新課改的知識(shí)與技能、過程與方法以及情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo),倡導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的教學(xué)模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教學(xué)為例,探討了上述問題.

    [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史;勾股定理;教育價(jià)值

    數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn),越來越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會(huì)和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下,數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于踐行課改的理念,培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實(shí)有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個(gè)基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)思路,旨在拋磚引玉,期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時(shí),開發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.

    提出問題

    勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理,相傳,這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的,后人更渲染其事,說畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項(xiàng)發(fā)現(xiàn),特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝,所以中世紀(jì)時(shí)這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上,這條定理的名稱特別多,在不同時(shí)代、不同地區(qū)都有不同的名稱,包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》,其中一個(gè)定理就是畢達(dá)哥拉斯定理:

    “在直角三角形中,直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

    接下來的這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理:

    “如果在一個(gè)三角形中,一邊上的正方形等于這個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和,則夾在后兩邊之間的角是直角.”

    這兩個(gè)定理合起來說明了直角三角形a,b,c三邊的平方和關(guān)系:a2+b2=c2,界定了直角三角形.

    我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家,據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,我國數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對(duì)勾股定理有了明確認(rèn)識(shí). 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史,在西方,它被稱為畢達(dá)哥拉斯定理,但它的發(fā)現(xiàn)時(shí)間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

    定理的證明

    在新課程人教版教材(八年級(jí)下冊(cè))中,先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理,然后利用中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形,在“弦圖”內(nèi)作四個(gè)相等的勾股形,各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”,根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智,它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲,正因如此,這個(gè)圖案被選為2002年北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.

    [圖1]

    引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法

    上述是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法,即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示,即圍繞面積相等這一條,把原圖形拆成幾部分,然后根據(jù)面積相等實(shí)現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點(diǎn),探索其他證明方法,學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.

    歷史上的經(jīng)典證明方法展示

    發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年,五千多年來,世界上幾個(gè)文明古國都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過這個(gè)定理,幾千年來,人們給出了勾股定理的許多證法,有人統(tǒng)計(jì),現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法,下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如(1)歐幾里得《幾何原本》的證法;(2)比例證法;(3)另一種弦圖證法;(4)總統(tǒng)證法;(5)帕斯卡拉二世的證明;(6)畢達(dá)哥拉斯的證法;(7)旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅,這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

    基于上述分析,不難發(fā)現(xiàn),歷史上的勾股定理證明方法很多,據(jù)統(tǒng)計(jì),有400多種,向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處,具體表現(xiàn)在:首先,給出勾股定理的多種證法,并非是比較證法之優(yōu)劣,而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識(shí),這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次,通過比較、分析各種證法的特色,可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較,以達(dá)到取長補(bǔ)短. 通過分析各種證法之不同,可以發(fā)現(xiàn)他們各自對(duì)于圖形的依賴程度也不相同. 當(dāng)我們?cè)噲D理解某個(gè)版本的證法時(shí),就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對(duì)話,從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次,歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識(shí)到該如何呈現(xiàn)定理及其證明,以便可以兼顧到各個(gè)面向. 在教學(xué)中,若以歷史文本為師,適時(shí)引入古人的原始想法,擷取前人的智慧,乃至前人所犯的錯(cuò)誤,相信對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能有更貼近的牟合,也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后,基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一,正是讓學(xué)生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣,因此,數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘,唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.

    問題的推廣

    下面我們換個(gè)角度看勾股定理,定理會(huì)變成什么樣呢?

    推廣一:勾股定理的不同表述方式

    (1)直角三角形斜邊長度的平方等于兩個(gè)直角邊長度的平方之和.

    (2)直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個(gè)正方形.

    (3)直角三角形直角邊上兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

    推廣二:“出入相補(bǔ)”原理的應(yīng)用

    所謂“出入相補(bǔ)”原理,是指一個(gè)幾何圖形(平面的或立體的)被分割成若干部分后,面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關(guān)勾股定理的證明方法,許多證法都是利用這一原理進(jìn)行的,只是圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已. “出入相補(bǔ)”原理是我國古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的一個(gè)證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法,下面,我們通過比較兩個(gè)證明來說明某些問題.

    趙爽和達(dá)·芬奇的證明方法(如圖2所示):

    [圖2:勾股定理的兩種幾何證明]

    問題:這兩種方法的聯(lián)系是什么?

    解答:如圖3所示.

    [圖3:兩種證明的聯(lián)系]

    可以看出,趙爽和達(dá)·芬奇對(duì)勾股定理的證明都使用了“出入相補(bǔ)”原理. 這兩種來自不同時(shí)期、不同地域的方法背后有著更本質(zhì)的聯(lián)系,正因?yàn)檫@種本質(zhì)聯(lián)系,讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的一種聯(lián)系. 正如韋爾斯在《數(shù)學(xué)與聯(lián)想》一書中所說的:“這就是為什么數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的一個(gè)理由. 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),兩個(gè)表面不同的問題實(shí)際上是相同的,因此他只要解決一個(gè)也就解決了另一個(gè). 認(rèn)識(shí)到一百萬個(gè)問題‘實(shí)質(zhì)上都是相同的,因此,你只要解決一個(gè)就解決了一百萬個(gè). 事實(shí)上,這就是力量!”我們的數(shù)學(xué)讀本,應(yīng)該多多向?qū)W生介紹這方面的內(nèi)容,讓學(xué)生感受這種力量,去認(rèn)識(shí)事物之間的聯(lián)系.

    推廣三:把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

    若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形,勾股定理就推廣為:直角三角形斜邊上的直線形(任何形狀)的面積,等于兩條直角邊上與它相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)相似的直線形的面積之和(如圖4所示).

    [圖4]

    推廣四:把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

    若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個(gè)半圓,勾股定理就推廣為:以斜邊為直徑的半圓,其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程(人教版八年級(jí)下冊(cè))在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣:(習(xí)題18.1“拓展探索”問題11):如圖5所示,直角三角形三條邊上的三個(gè)半圓之間有什么關(guān)系?

    [圖5][2][1]

    若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個(gè)身,此時(shí)顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實(shí)這個(gè)結(jié)論早在公元前479年就已經(jīng)由古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底得到,因1和2部分狀如弦月,故稱“希波克拉底月形”. 新課程(人教版八年級(jí)下冊(cè))在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣(習(xí)題18.1“拓展探索”問題12):如圖5所示,直角三角形的面積是20,求圖中1和2的面積之和.

    推廣五:勾股定理與費(fèi)馬大定理

    勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術(shù)》(第2卷問題8)中有一個(gè)與勾股定理類似的問題:將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù). 丟番圖在《算術(shù)》中以實(shí)例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨(dú)獨(dú)提到丟番圖的這一問題,是因?yàn)椋蠹s16個(gè)世紀(jì)以后,正是在這一問題的啟發(fā)下,費(fèi)馬在其旁白處寫下了一段邊注,從而誕生了一個(gè)讓整個(gè)數(shù)學(xué)界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費(fèi)馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時(shí),做了如下批注:“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和;或者將一個(gè)四次冪寫成兩個(gè)四次冪之和;或者,一般地,不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和. 我已找到了一個(gè)奇妙的證明,但書邊太窄,寫不下. ”1670年,費(fèi)馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版,遂使費(fèi)馬這一猜想公之于世. 費(fèi)馬究竟有沒有找到證明已成為數(shù)學(xué)史上的千古之謎. 從那時(shí)起,為了“補(bǔ)出”這條定理的證明,數(shù)學(xué)家們花費(fèi)了三個(gè)多世紀(jì)的心血,直到1994年才由維爾斯給出證明.

    推廣六:勾股數(shù)

    不言而喻,所謂勾股數(shù),是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)(a,b,c),它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數(shù)呢,方法如下.

    1. 任取兩個(gè)正整數(shù)m,n(m>n),那么,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2構(gòu)成一組勾股數(shù).

    2. 若勾股數(shù)組中的某一個(gè)數(shù)已經(jīng)確定,可用如下方法確定另兩個(gè)數(shù):首先觀察已知數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).

    (1)若已知數(shù)是大于1的奇數(shù),把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù),那么奇數(shù)與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

    (2)若已知數(shù)是大于2的偶數(shù),把它除以2后再平方,然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1和加1所得的兩個(gè)整數(shù)與這個(gè)偶數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

    練習(xí)題:限于篇幅,僅列一題.

    練習(xí)題 今有立木,系索其末委地三尺,引索卻行去本八尺而索盡,問索長幾何?(該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》,公元1261年)

    現(xiàn)代文翻譯:有一根直立的木頭,一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺,現(xiàn)在向后緊拉繩索,使它的另一端著地,這時(shí)繩索與木的距離為8尺,問這條繩索的長為多少?

    原書“術(shù)”曰:“以去本自乘,另如委數(shù)兒一,所得加委地?cái)?shù)而半之,即索長.”

    歷史上涉及勾股定理應(yīng)用的古算題很多,在學(xué)習(xí)勾股定理的同時(shí),如果能盡可能多地向?qū)W生呈現(xiàn)這些古算題,會(huì)使我們的教學(xué)起到事半功倍之效. 向?qū)W生呈現(xiàn)古算題原題,學(xué)生首先會(huì)接受很多那個(gè)時(shí)代的社會(huì)、人文信息,包括古算題涉及的真實(shí)情景、古算題的出處、涉及的數(shù)學(xué)家等. 學(xué)生還要將文言文翻譯成現(xiàn)代白話文,然后去理解題意,考慮其解題方法. 接著給學(xué)生呈現(xiàn)古人解決此類問題的“術(shù)”,又會(huì)使學(xué)生感受到他們的解法與歷史上的解法其實(shí)有異曲同工之妙. 在這個(gè)過程中,新課程所涉及的“知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”三維目標(biāo)可以自然地達(dá)成. 誠然,教師在這個(gè)過程中需要適時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥,它要求教師具備一定的數(shù)學(xué)史知識(shí)和修養(yǎng).

    結(jié)語:數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用不言而喻,亟須一線教師開發(fā)出更多的教案和案例. 數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的重要指導(dǎo)和引領(lǐng)作用,正如我國老一輩數(shù)學(xué)教育家、珠算算具改革先驅(qū)的余介石先生所說:“歷史之于數(shù)學(xué),不僅在名師大家之遺言軼事,足生后學(xué)高山仰止之恩,收聞風(fēng)興起之效,更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形,與夫心理及邏輯順序,如何得以融合調(diào)劑,不至相背,反可相成,誠為教師最宜留意體會(huì)之一事也”.

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