一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)教學(xué)案例

周波濤

[摘 要] 本文從一個現(xiàn)實(shí)例子出發(fā)，闡述了這樣的觀點(diǎn)：啟發(fā)式教育永遠(yuǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的不二法寶；應(yīng)尊重學(xué)生的思維方式；為搞清楚原理多花時間，遠(yuǎn)比為熟練操作多花時間更重要；培養(yǎng)學(xué)生遇到問題相信自己可以獨(dú)立處理的自信心.

[關(guān)鍵詞] 二元；一元；啟發(fā)；引導(dǎo)；尊重

案例

一個小學(xué)六年級的學(xué)生，假期里遇到這樣一個數(shù)學(xué)問題：解二元一次方程組3x+4y=10，

x+2y=12，他自己想了一會，沒有找到解決的辦法，然后跑去問他的父親怎么做，父親說，做不起就耍一會再做嘛，孩子就做其他事情去了.

第二天，父親問兒子昨天那個問題做出來了沒有，兒子說沒有，父親說，今天你再想一下，可能就做出來了. 兒子就把那個問題拿出來，大概做了半個小時，還是沒有做出來，父親說做了這么久都沒有做出來，那就不做了，明天再想.

第三天，兒子跑來給父親說還是做不出來，父親說，你把問題拿來我們一起研究一下. 父親一看，心里就明白了，這個問題屬于初一的內(nèi)容，對于兒子現(xiàn)在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)來說，的確比較難，于是父親說，二元一次方程組解不出來，這是個問題，那你會解什么方程??？兒子想了想說，一元方程. 父親說，那能不能把這個二元的問題弄成你會的呢？兒子又把問題拿回去做.

過了大概半個小時，兒子把他的草稿本拿過來，上面寫了很多過程，后來他找到一個辦法，就是把第二個式子各項(xiàng)均乘2，得到2x+4y=24，再用第一個式子3x+4y=10來減它，這樣y就沒有了，只剩下x. 但又出現(xiàn)了一個新問題，10減24不夠減，思路就卡在這里了. 父親說，不夠減怎么辦呢？兒子說，不知道. 父親說，我們住的樓平層以下是幾樓?。績鹤诱f負(fù)一樓，父親說，還有負(fù)二樓、負(fù)三樓，不夠減是不是也可以用這種方式?。績鹤酉肓讼?，是啊，那這里是不是減了就可以得到負(fù)14??？父親說，你太聰明啦. 兒子高興極了，屁顛屁顛地回去繼續(xù)做. 隔了大概十分鐘，就得到了這個問題的解x=-14，

y=13.

父親說，既然你可以把y消掉，可不可以先把x消掉呢？兒子觀察了一下，說把第二個式子的各項(xiàng)均乘3，再去減第一個式子. 父親說，那你又去做一下，看是不是行得通. 隔了一會，兒子就把第二種方法的過程做出來了. 父親說，觀察一下，這兩種方法有沒有共同的地方呢？兒子想了之后，基本上說出了加減消元法的核心. 兒子很高興，說爸爸真厲害，父親說，我什么厲害哦，我又沒給你講什么. 兒子說，你就是給我講了我才做出來的. 父親說，你說我講了些什么？兒子想了想，好像又沒有講什么，然后又高興地去玩了.

第四天，父親寫了兩個系數(shù)與前一個二元一次方程組不同的方程組，兒子解第一個的時候還有些慢，解第二個時就已經(jīng)很熟練了，而且還找到了解二元一次方程組的另一方法——代入消元法.

又隔了幾天，孩子遇到一個應(yīng)用題，在他想到用x，y設(shè)未知數(shù)建立二元一次方程組之后，很熟練地得到了問題的求解.

啟示

這是一個非常經(jīng)典的教學(xué)案例，案例中的父親是我的同事，也是一名數(shù)學(xué)老師，但這個案例中父親的做法并不全是非要數(shù)學(xué)工作者才能完成，作為家長、作為教育工作者，都可以參考和學(xué)習(xí).

啟示一：啟發(fā)式教育永遠(yuǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的不二法寶. 兒子第一個思維難點(diǎn)是如何想到將二元問題轉(zhuǎn)化成一元問題，父親設(shè)置了一個很好的提問“你會解什么方程”，孩子回答之后，父親又給了一個極具提示作用的問題“能不能把這個二元的問題弄成你會的呢”，這一下孩子基本上就會朝著將未知的沒有見過的問題轉(zhuǎn)化成自己會的、熟悉的模型. 這個環(huán)節(jié)能很好地讓孩子體會到轉(zhuǎn)化的思想. 兒子的第二個思維難點(diǎn)，是關(guān)于“不夠減”的處理. 父親用了生活中孩子每天都會看見的模型“負(fù)樓層”來提示. 小學(xué)生對于負(fù)數(shù)是沒有概念的，用這樣一個貼近生活的實(shí)例來提示，對于負(fù)數(shù)的概念理解就比較順利了，這就是類比的推理方式. 而類比推理是我們生活或數(shù)學(xué)中最常用的推理方式之一. 第三個啟發(fā)在兒子用兩種方式解出方程后，“觀察一下，這兩種方法有沒有共同的地方呢”，引導(dǎo)兒子完成歸納總結(jié). 數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，如果不學(xué)會歸納總結(jié)，找到同類問題的共性，永遠(yuǎn)都是“見子打子”，那就太笨了，不僅耗費(fèi)時間，思維也不會得到升華.

啟示二：尊重學(xué)生的思維方式. 大多數(shù)教師在初次講二元一次方程組時，一般都會先講解代入消元法（這也是教材的編寫順序），案例中的方程組較簡單的方式也是將第二個方程變形為x=12-2y，然后代入第一個式子得到求解，但孩子并沒有想到這種方式. 我分析是孩子更習(xí)慣解用x表示未知數(shù)的方程，所以先想到消去變量y，進(jìn)而想到了加減消元法解方程組. 父親并沒有刻意地將兒子的思維往代入消元法上引，而是因勢利導(dǎo)，讓孩子先學(xué)會用加減消元法解二元一次方程組（其實(shí)熟練了之后兩種方法的運(yùn)算量差不多）. 這里最重要的是明白消元的思想. 接著，在第四天的時候通過習(xí)題讓孩子找到代入消元法. 這樣的處理方式，尊重了孩子的思維方式，讓孩子在思維的過程中始終有主動感、成就感，在思維的過程中體會到了不斷深入，以及被肯定感，而這種體驗(yàn)會積極地影響到他今后遇到問題的自信程度. 試想，如果當(dāng)孩子把草稿本拿給父親看，父親立馬給他講了代入消元法，那么孩子得到的心理反饋會是什么？啊，我想了這么久，竟然全白費(fèi)了，還沒有爸爸的這種方法簡單，我真笨. 由此帶來的挫敗感，可能會讓他在下一次遇到問題時產(chǎn)生懷疑和不自信，還容易產(chǎn)生依賴思想，因?yàn)榘职种栏唵蔚姆椒?，自己不用想，可以直接去問? 失去獨(dú)立思考的想法，養(yǎng)成依賴別人的習(xí)慣，這是最可怕的事情.

啟示三：為搞清楚原理多花時間，遠(yuǎn)比為熟練操作多花時間更重要. 讀者可以看到，孩子思維的核心工作是在第三天完成的，據(jù)其父親說，第三天把原理搞清楚差不多花了兩個多小時，而第四天的練習(xí)大概在半個小時內(nèi)就完成了，最后應(yīng)用題中的解方程組僅僅只用了兩三分鐘. 在學(xué)校教育中，同樣的內(nèi)容可能是這樣安排的，一節(jié)課四十分鐘，可能花15到20分鐘講清楚代入消元法的原理，然后開始大量練習(xí)，系數(shù)同為正數(shù)的，有正有負(fù)的，系數(shù)有分?jǐn)?shù)的，解是整數(shù)的，解為分?jǐn)?shù)的等，有的在課堂上，有的出現(xiàn)在作業(yè)中，有的在習(xí)題評講中. 練習(xí)鞏固的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)比探尋原理所花的時間多. 這種方式與案例中的教學(xué)方式最大的不同在哪里呢？遇到二元一次方程組不會解——將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題——找到二元一次方程組的一般解法，這是有創(chuàng)造性的思維過程，而練習(xí)不同類型的二元一次方程組解法，是熟練操作的過程，創(chuàng)造性的活動相對減少. 其實(shí)，道理很簡單，真正搞清楚原理后，熟練過程會水到渠成，可以減少很多不必要的重復(fù)機(jī)械工作. 數(shù)學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生什么？是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會理性地思考，學(xué)會理性地分析，而不單是簡單的計(jì)算. 當(dāng)然，學(xué)校的集體教育不能和這種單個對象的教育完全一樣. 課堂集體教育有教學(xué)任務(wù)，有教學(xué)進(jìn)度的安排，不可能像單獨(dú)對象教育這樣隨意，更不用說還有考試壓力. 實(shí)際教學(xué)中，用前面談到的課堂教育方式，在階段性考試中可能效果會好一些，但在教學(xué)設(shè)計(jì)上我們可以考慮讓創(chuàng)造性思維多一些的環(huán)節(jié)，多留一些時間. 從長遠(yuǎn)來看，讓學(xué)生體驗(yàn)更多的創(chuàng)造性思維過程，會更有利于他們的學(xué)習(xí).

啟示四：培養(yǎng)學(xué)生遇到問題相信自己可以獨(dú)立處理的自信心，這是教育者應(yīng)該一直堅(jiān)持的工作. 讀者可以看到，案例中的孩子第一天就碰到問題，并向他父親求助了，但是他的父親沒有馬上回答他. 第二天，父親仍然沒有回答他，而是讓他思考，直到第三天才和他展開討論. 我們有些家長在輔導(dǎo)孩子時，內(nèi)心比較焦慮，恨不得馬上告訴孩子所有的內(nèi)容，然后立馬收到很好的效果，但這并不是一件好事. 人的認(rèn)知有一個時間過程，同樣的東西認(rèn)知時，需要從陌生到熟悉，從不同的角度去觀察，是一個循序漸進(jìn)的過程. 陳重穆教授提倡的螺旋式教學(xué)法就尊重了人的這一認(rèn)知特點(diǎn). 一個知識點(diǎn)，第一次教學(xué)過程中可能只能掌握一部分內(nèi)容，隨著時間的推移、新知識的增加，他會對這個知識點(diǎn)有更深的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上會有新的認(rèn)識和升華. 經(jīng)常聽到有的老師抱怨學(xué)生，才講了的都不會，其實(shí)這種現(xiàn)象很正常，有可能是學(xué)生當(dāng)時的認(rèn)知還沒有到位，隨著時間的推移，我們在合適的時候安排復(fù)習(xí)鞏固，從另外的角度去講解，說不定學(xué)生就能掌握了. 你可能覺得案例中的第一天、第二天是浪費(fèi)了，其實(shí)第一天就可以做第三天的工作，但是，第一天和第二天的工作不是白費(fèi)的，前兩天，父親的做法很明顯，讓兒子知道遇到問題要自己思考，思考是自己的事情，也沒有強(qiáng)求他一定要思考出來，但一定要去思考，且深入地思考. 在思考中，孩子會對問題更熟悉，盡管沒有進(jìn)行到最核心的地方，但對于問題本身更熟悉了，這有利于今后對同類問題模型的提煉. 而第三天，父親也沒有代替他思考，只是拋出了幾個富有啟發(fā)性的問題，孩子通過思考和演算，找到了將二元問題轉(zhuǎn)化成一元問題，通過思考找到克服負(fù)數(shù)的辦法，通過觀察和思考，歸納并總結(jié)加減消元法的一般步驟，整個思維過程孩子都是主體. 尤為有趣的是，找到方法后父子的那段對話——“兒子很高興，說爸爸真厲害，父親說，我什么厲害哦，我又沒給你講什么. 兒子說，你就是給我講了我才做出來的. 父親說，你說我講了些什么？兒子想了想，好像又沒有講什么”. 這段對話，充分顯示了這位父親的睿智. 他讓兒子真實(shí)地感受到，問題是通過自己的思考解決的. 當(dāng)然，兒子對于父親的引導(dǎo)肯定是知道的，但他清晰地看到了自己的思考在解決問題中的重要作用，這是極其珍貴的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，它可以很好地培養(yǎng)孩子的自信心，讓他有勇氣去面對新的數(shù)學(xué)難題，相信自己通過努力可以找到解決問題的辦法，而不是遇到問題就想著依賴別人，這才是我們希望孩子們具備的優(yōu)良學(xué)習(xí)品質(zhì). 當(dāng)然，一次這樣的體驗(yàn)還不能形成這種品質(zhì)，需要我們隨時注意，直至他養(yǎng)成這種優(yōu)秀的品質(zhì). 其實(shí)，這個過程能培養(yǎng)孩子的學(xué)習(xí)動機(jī)，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)目的內(nèi)驅(qū)力，讓他覺得自己在成長，且從學(xué)習(xí)中獲得知識與能力是很愉快的事情，從而幫助孩子形成健康的人格.

案例是經(jīng)同事本人口述后，筆者記錄整理的，有不妥之處，敬請指正.