利用可視化思維工具釋放小學(xué)生數(shù)學(xué)思維

鄭煒珍

一、問題的提出

數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，一切的科學(xué)都是通過數(shù)學(xué)計算來發(fā)現(xiàn)并解決問題的。數(shù)學(xué)的發(fā)展與思維有著密切關(guān)系。在學(xué)校教學(xué)中，大多數(shù)有豐富教學(xué)經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教師都發(fā)現(xiàn)一個普遍現(xiàn)象：當(dāng)數(shù)學(xué)題目或題型發(fā)生變化，學(xué)生便無法應(yīng)對，失分率至少提高20%。為什么會這樣呢？其實“知識加工”和 “問題解決”的思考過程往往是不多見的，而且教師和學(xué)生都更多關(guān)注答案，忽視答案的生成過程。然而，學(xué)生思維的發(fā)展并不來自于 “答案的累積”，而來自于 “生成答案的思維方法和過程”。教師應(yīng)該思考怎么才能使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步獲得 “深入思考的意識，不斷追問的習(xí)慣，奇思妙想的膽略”，使他們能夠在今后的學(xué)習(xí)中有著自己個性的見解，能自由 “放牧”獨立的思想，獲得敏銳的生活視野，在解決生活中的數(shù)學(xué)問題上游刃有余。要解決這些問題，筆者認為，必須變 “強調(diào)答案”為“強調(diào)解答的過程”，變 “依靠感性經(jīng)驗答題”為 “運用理性思考解題”，而這就要求我們必須把 “看不見的”思維的過程和方法清晰地呈現(xiàn)出來，以便學(xué)生更好地理解、記憶和運用。一圖勝千字，圖是最直觀的語言，易讀、易懂、易記而且記得牢。因此，實現(xiàn) “思維可視化”的最有效方式便是用 “圖”把 “思維”呈現(xiàn)出來。

本文所提的可視化思維工具是指運用一系列圖示技術(shù)把本來不可視的思維 （思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程。被可視化的 “思維”更有利于理解和記憶，因此可以有效提高信息加工及信息傳遞的效能，主要使用韋恩圖、X-Y-W線圖、魚骨圖、思維導(dǎo)圖、金字塔圖、蝴蝶圖、包容關(guān)系圖、PMI表格等?？梢暬季S圖表將知識以圖解的方法表示出來，直接作用于學(xué)生的感官，對學(xué)習(xí)者提高理解能力和記憶能力，發(fā)展邏輯思維和創(chuàng)造性思維有著巨大作用，它在教育領(lǐng)域的應(yīng)用是學(xué)習(xí)方式的一場新的革命。本文以 《密鋪》一課為例，通過可視化思維工具實現(xiàn)思想和問題的可視化、對想法和信息進行整理，利用思維可視化工具釋放小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自由。

二、六年級 《密鋪》數(shù)學(xué)實踐課教學(xué)實例

（一）養(yǎng)成運用思維可視化工具進行知識整理、構(gòu)建知識體系的學(xué)習(xí)習(xí)慣

六年級學(xué)生抽象思維已初步形成，可以讓他們掌握常用思維可視化工具的手繪方法并形成技能。如：韋恩圖、X-Y-W線圖、魚骨圖、思維導(dǎo)圖、金字塔圖、蝴蝶圖、包容關(guān)系圖、PMI表格等。大概用了3節(jié)課，我就把常用思維可視化工具的手繪方法教完。那時剛好是六年級第二學(xué)期，新課內(nèi)容只用7周就講授完，剩下的時間都是復(fù)習(xí)課，因此我會經(jīng)常布置學(xué)生用可視化思維工具進行知識整理、構(gòu)建知識體系。學(xué)生在課間也分享交流這些可視化思維工具，很期待周五的作業(yè)。

有一位名字叫方斯蕾的學(xué)生對可視化思維工具已到非常著迷的程度。有一次我布置學(xué)生回家選一種可視化思維工具整理某一知識內(nèi)容，她卻意猶未盡地用各種可視化思維工具整理了很多不同方面的數(shù)學(xué)知識。又過2周她告訴我她自己在家運用可視化思維工具整理了自己這段時間的數(shù)學(xué)錯題?？梢?，學(xué)生們在不知不覺中養(yǎng)成了運用思維可視化工具進行知識整理、構(gòu)建知識體系、分析錯題的學(xué)習(xí)習(xí)慣。圖1、圖2是學(xué)生的兩張作品。

圖1

圖2

（二）創(chuàng)造性地使用教材，把缺乏思維挑戰(zhàn)性的教材變?yōu)橛欣谒季S發(fā)展的資源

我發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)課堂缺乏起碼的吸引力，主要原因是學(xué)習(xí)內(nèi)容對學(xué)生沒有一定難度，缺乏思維挑戰(zhàn)性。這樣的課堂教學(xué)很容易導(dǎo)致學(xué)生處于 “淺思考”甚至 “不思考”狀態(tài)，妨礙學(xué)生思維能力的發(fā)展。學(xué)生思維能力發(fā)展不起來，后期的學(xué)習(xí)必然會越來越吃力，這樣便導(dǎo)致一種不斷加深的惡性循環(huán)。

下面談?wù)勎覟槭裁催x擇用六年級的學(xué)生上五年級上冊教材中的 《密鋪》。

五年級上冊的教學(xué)目標是知道哪些圖形可以密鋪就行了，請看這頁電子課本 （見圖3）。而到了初中二級，教學(xué)目標則要求是要掌握圖形能否密鋪的理由。對比兩者的目標，掌握平面圖形能否密鋪的理由更需要學(xué)生具備一定的思維能力。六年級的學(xué)生本應(yīng)做好中小銜接的準備，因此我大膽地進行教學(xué)內(nèi)容的重組；讓學(xué)生不僅知道哪些圖形可以密鋪，還讓學(xué)生掌握圖形能否密鋪的理由，讓學(xué)生在實踐活動中建模：圖形拼接點的幾個角能圍成360度的就可以密鋪。

圖3

（三）開展基于問題的協(xié)作建模學(xué)習(xí)活動，釋放學(xué)生的思維自由，培養(yǎng)學(xué)生多種數(shù)學(xué)思維能力

1.問題情境的創(chuàng)設(shè)要有開放性

問題情境的創(chuàng)設(shè)要求教師在上課時要善于把備課時的陳述句轉(zhuǎn)變成疑問句。如這節(jié)課的問題情境不應(yīng)該是教師提供生活中密鋪的圖片，然后告訴學(xué)生這就是密鋪。這樣的課就沒提供學(xué)生思考的空間，學(xué)生是被老師牽著鼻子走的。應(yīng)該怎樣創(chuàng)設(shè)問題情境？我們可以先出示生活中一些能密鋪的圖形，一些不能密鋪的圖形 （如圖4），讓學(xué)生自己產(chǎn)生疑問：為什么有的圖形能密鋪，有的圖形卻不能密鋪呢？帶著這樣的疑問和好奇心，就會產(chǎn)生強烈的任務(wù)驅(qū)動，開啟學(xué)生個人思維。

2.在開放的獨立學(xué)習(xí)任務(wù)中培養(yǎng)學(xué)生個體的思維能力

圖4

我在很多公開課上發(fā)現(xiàn)存在一些問題：在小組交流時學(xué)生并不是全都在積極思考；有時經(jīng)過討論，只有個別學(xué)生愿意匯報；在交流時有個別學(xué)生在忙別的事情；課堂上教師要求討論時，學(xué)生都在講，但沒有聽眾；討論看似熱鬧而沒有效果。沒有獨立思考的合作交流，只是形式上的合作。沒有獨立思考的交流，只是信息的單項傳遞，不會產(chǎn)生共鳴和驚奇，合作交流必然流于形式。鑒于這種情況，我在課堂教學(xué)中采取的方法是，讓每個學(xué)生先完成獨立任務(wù)單再小組完成協(xié)作學(xué)習(xí)任務(wù)單，實現(xiàn)人人思考，個個動手，發(fā)展個人思維能力。

為了更大程度地釋放學(xué)生思維的自由，這節(jié)課的小組協(xié)作任務(wù)定為每組研究任務(wù)不同，組內(nèi)再進行分工，這樣的研究也會更有思維價值。小組的任務(wù)分別有研究三角形、梯形、長方形、正方形、平行四邊形等。在一個小組內(nèi)，再細分研究任務(wù)，如研究三角形的小組，不同的同學(xué)分別研究等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形等。有的小組更將學(xué)習(xí)內(nèi)容深化，如有一個組每個組員分別研究圓形、梯形、等邊三角形、正五邊形、正六邊形等；有個小組研究不規(guī)則的圖形能否密鋪。不同的任務(wù)驅(qū)動學(xué)生每個個體的思維在數(shù)學(xué)的知識海洋自由翱翔，自主學(xué)習(xí)，真正落實培養(yǎng)學(xué)生每個個體的思維能力。

我設(shè)計的本節(jié)課的獨立學(xué)習(xí)任務(wù)單如下：

根據(jù)小組課前分工，請你把圖形用膠水鋪在彩色折紙上，看能否密鋪，再完成以下內(nèi)容：

?

3.利用可視化思維工具開展基于問題的小組協(xié)作建模學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生保持高密度和高強度的思維狀態(tài)

研究表明：人類的思維特征是呈放射性的，進入大腦的每一條信息、每一種感覺、記憶或思想 （包括每一個詞匯、數(shù)字、代碼、食物、香味、線條、色彩、圖像、節(jié)拍、音符和紋路），都可作為一個思維分支表現(xiàn)出來，它呈現(xiàn)出來的就是放射性立體結(jié)構(gòu) （見圖5）。每一張思維導(dǎo)圖總是從一個中心主題開始，形成一種從中心向四周發(fā)射的無窮無盡的分支鏈的形式。導(dǎo)圖利用本身所具備的邏輯歸納的特點，可以幫助我們從材料中找出重點，選擇并提煉關(guān)鍵詞，進行全面的邏輯梳理與歸納。

圖5

在這節(jié)課中，我讓每個小組開展小組協(xié)作學(xué)習(xí)，把全組學(xué)生的獨立學(xué)習(xí)任務(wù)單排成一列，討論找出能否密鋪的原因，討論全組準備利用的思維可視化工具，每組根據(jù)能否密鋪畫出一個思維圖，在思維圖中分析出每種圖形能否單獨密鋪的理由，并把剛才每人貼在彩色折紙上的圖貼在思維圖相應(yīng)的位置中，實現(xiàn)思維可視化 （例見圖6、圖7）。在本節(jié)課中基于任務(wù)驅(qū)動獨立學(xué)習(xí)后的小組成員有共同的目標或愿景、表現(xiàn)出高度團隊的凝聚力、實行權(quán)力共享和責(zé)任分擔(dān)、成員彼此鼓勵支持、成員相互關(guān)懷照顧、充分重視每位成員的閃光點和光明面、最大限度地挖掘或發(fā)揮每位成員的潛力、他們利用思維圖一起思考，進行頭腦風(fēng)暴，從 “個別優(yōu)秀”到 “人人優(yōu)秀”。

圖6

圖7

小組協(xié)作學(xué)習(xí)活動后開展組間觀摩 （如圖8），再相互比較。各組組長講解答問，其他組員到各組評價反思可視，最后歸納互補，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。整個活動培養(yǎng)了學(xué)生語言表述能力、觀察能力、想象能力、概括能力、比較能力、構(gòu)造能力、綜合能力、轉(zhuǎn)化能力、模型化能力等思維能力。

這樣，通過特定的圖示來顯現(xiàn)特定的組織類型和結(jié)構(gòu)關(guān)系，為教學(xué)者和學(xué)習(xí)者提供了一種使用信息和認知加工的思維支持框架。

圖8

（四）在填寫PMI反思表格的過程中促學(xué)生高級思維的形成

數(shù)學(xué)反思能力的發(fā)展與數(shù)學(xué)思維水平有關(guān)，抽象邏輯思維本身就是一種反思的思維。數(shù)學(xué)反思能力的發(fā)展，有助于提高認知效率，縮短認知時間。在這節(jié)課準備下課前我讓學(xué)生在填寫PMI反思表格的過程中提升高級思維水平，促進學(xué)生思維的可持續(xù)發(fā)展。PMI反思表格見圖9。

圖9

在學(xué)習(xí)收獲那欄，學(xué)生們分別寫到： “我學(xué)到用導(dǎo)圖分析問題”； “我學(xué)會了什么是密鋪和能否密鋪的理由”；“我收獲了用魚骨圖分析圖形能否密鋪的理由”； “這次我學(xué)會如果圖形密鋪，圍成拼接點幾個角的度數(shù)之和必須360度”； “用思維圖分析問題更直接清晰”； “我體驗了同學(xué)間合作完成一件事的配合”； “我收獲到團隊精神的重要性”； “我收獲了用思維導(dǎo)圖可以解決新學(xué)的知識，探究感興趣的問題”； “我知道蜂窩是一種密鋪圖形”。

在不足之處那一欄，學(xué)生分別寫到： “小組配合得不太好，做得太慢”； “希望課程時間能夠延長”； “組長未能有效分工，導(dǎo)致思維導(dǎo)圖未完成，真的很遺憾”； “同學(xué)間合作的默契不夠”； “要提升用思維導(dǎo)圖分析問題的能力”； “我沒有把研究結(jié)論寫得更完美，拼圖形不太美觀”；“自己所在組的思維導(dǎo)圖畫得有點簡單了，不如別組的美觀、豐富”。

在還感興趣的內(nèi)容那一欄，學(xué)生分別寫到： “1/4圓形能否密鋪？”； “密鋪圖形除了出現(xiàn)在地板的應(yīng)用，還應(yīng)用在什么方面？”； “我還想再多了解一些有關(guān)密鋪的知識，能夠了解更多因為密鋪而組成的美麗圖案”； “希望能運用更多的可視化思維工具分析其他數(shù)學(xué)問題”； “還有哪些這節(jié)課沒提到的圖形能密鋪？”； “希望將來自己當(dāng)一名設(shè)計師，能利用密鋪的知識設(shè)計美麗的建筑圖案”； “密鋪和圖形的邊有什么關(guān)系嗎？” “我想了解更多的密鋪圖形作品”……

看到學(xué)生這些反思，我真的覺得他們都在認真思考。通過反思，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了在協(xié)作知識建構(gòu)過程中的收獲、不足之處、還感興趣的問題。

總之，開展本實驗一年，我認為思維可視化工具以直觀形象的方式表達知識結(jié)構(gòu)，有利于引導(dǎo)學(xué)生進行意義建構(gòu)，有助于在新授課和活動課中建模，在復(fù)習(xí)課中建構(gòu)知識體系；作為教學(xué)評價的工具能有效地評價學(xué)生創(chuàng)造性思維水平；能有效呈現(xiàn)思考過程及知識的關(guān)聯(lián)，有助于培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的高級思維技能和知識建構(gòu)能力。

①林建才，董艷，郭巧云.思維導(dǎo)圖在新加坡小學(xué)華文教學(xué)中的實驗研究 〔J〕.中國電化教育，2007（10）.

②唐軍.技術(shù)支持的思維工具在教學(xué)中應(yīng)用的實踐研究 〔D〕.華東師范大學(xué)，2008.

③趙國慶.概念圖、思維導(dǎo)圖教學(xué)應(yīng)用若干重要問題的探討〔J〕 .電化教育研究， 2012 （05） .