對“分數(shù)除法計算要轉化為乘法計算”的思考

葛敏輝 張瑤

摘 要：分數(shù)除法的計算教學通常會變成計算法則的傳遞和應用，對于“為什么要轉化為乘以除數(shù)的倒數(shù)”這一問題師生大多模糊不清，甚至難以理解。本文就“為什么要把分數(shù)除法轉化為乘法計算”這一上位知識進行分析闡述，把分數(shù)除法轉化為乘法計算主要是為了提高運算效率，是一種數(shù)學的選擇，也是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的需要；同時還提出了可以從乘除法的運算性質(zhì)、分數(shù)的基本性質(zhì)、分數(shù)的意義、分數(shù)除法的意義、商不變的規(guī)律等維度來理解這個法則，這有助于大家在教學這一內(nèi)容時能更準確地把握實質(zhì)，科學施教。

關鍵詞：分數(shù)除法；乘法；轉化；理解；學生

分數(shù)除法的計算教學中有一個重要的問題會讓很多教師感到困惑，那就是“為什么要把分數(shù)除法轉化為乘法計算”，學生對此也很不理解。為什么到第三次學習除法時（前面已經(jīng)學過了整數(shù)除法、小數(shù)除法），要把除法轉化為乘法來計算？為什么把分數(shù)除法轉化成“顛倒相乘”（即除以一個不是零的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)）？本文試圖闡述我們的一點思考，與大家分享交流。

一、把分數(shù)除法轉化為乘法計算是為了提高運算效率

其實“顛倒相乘”并不是計算分數(shù)除法的唯一方法。浙江省新思維教育科學研究院的姜榮富老師在《定義確定法則、轉化產(chǎn)生價值》一文中提出，把分數(shù)除法轉化為分數(shù)乘法計算主要是為了提高運算效率。怎么理解呢？我們可以從兩個方面來解釋：一是分數(shù)乘法的計算法則比較簡單，分子相乘的積作分子、分母相乘的積作分母，能約分的要先約分。通過約分，又可以把參與運算的數(shù)變小來提高運算效率。顯而易見，把分數(shù)除法轉化為乘法來運算是比較簡單的。二是轉化之后乘法的運算律都可以派上用場了。我們經(jīng)常會遇到學生問“除法有沒有運算定律”之類的問題，可見學生心中也希望除法能像乘法那樣，可以使用運算律來提高運算效率。因此，當我們把除法的計算轉化為乘法計算時，除法與乘法就合二為一了，運用運算定律可以更好地提高運算效率。

在高等數(shù)學的教材中可以發(fā)現(xiàn)，通常對于一個數(shù)學問題的解決往往只需在加法、乘法的運算演繹中完成。這是因為引進了負數(shù)和倒數(shù)后，就能將減法和除法的計算分別轉化為加法和乘法來處理。而實現(xiàn)這種運算方法之間的第一次轉化就出現(xiàn)在小學數(shù)學教學分數(shù)除法時?？梢?，分數(shù)除法的計算教學對于學生以后的數(shù)學學習將產(chǎn)生很大的影響。因此，我們完全有理由抓住這一教學契機，結合計算法則的教學，采用小學生能接受的方式，幫助他們初步地感知這種轉化思想及其作用與價值。

二、把分數(shù)除法轉化為乘法計算是一種數(shù)學的選擇

正是因為大多數(shù)教師不容易解釋為什么是“顛倒相乘”，缺乏關注學生的已有經(jīng)驗和思維發(fā)展，所以在教學中為什么“顛倒相乘”這一內(nèi)容就成了一個吞得下卻消化不了的“桃核”。其實有理數(shù)四則運算的法則，是在大家實踐的過程中歸納提煉出來的，分數(shù)除法的運算法則也是如此。張奠宙教授指出：“這些運算法則其實是經(jīng)過人為的選擇。分數(shù)除法的顛倒相乘，也是一種數(shù)學的選擇?！?/p>

看來，計算分數(shù)除法的方法不是唯一的，亦有很多研究者就提出了其他的一些方法，比如“通分法”“分子分母相除法”等。事實上，在中國古代還有在古埃及、古巴比倫都出現(xiàn)過別的計算方法，但隨著歷史的發(fā)展，最終還是“顛倒相乘法”成了人們的選擇！讓“顛倒相乘法”成為“贏家”的主要原因是因為它的簡捷易行，它具有概括性和通適性。你想，如果用別的方法來解決分數(shù)除法計算，在算法上會不會出現(xiàn)很多麻煩和復雜的情況呢？特別是在連除或混合運算時，會給學生帶來很大的難處和挑戰(zhàn)。那么，作為一種運算技能，必然是要往方便操作的方向發(fā)展的，因此其他方法就自然被淘汰了。

三、把分數(shù)除法轉化為乘法計算是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的需要

因為“顛倒相乘法”的算理解釋過于抽象，很難理解，所以出現(xiàn)了“教師不愿上、學生學不會”的尷尬現(xiàn)象。教材編委在編制分數(shù)除法和教師在呈現(xiàn)計算教學時，都是希望通過直觀的模型來幫助學生理解算理的。但事實證明，大多數(shù)學生并沒有因此而學得輕松和明白。作為已經(jīng)學習了整數(shù)乘除法、小數(shù)乘除法、分數(shù)乘法的五年級學生來說，可以通過形式推理和抽象概括的方式來理解算理，這對于他們的數(shù)學后續(xù)學習和個性思維展現(xiàn)都具有十分積極的作用。浙江省特級教師顧志能老師在《教學，多站在教育的角度》一文中曾指出：“學會抽象化、形式化是學生成長的重要路徑，也是數(shù)學教育的重要目標。”事實上，不是所有的數(shù)學問題都適合通過直觀、形象的方式來解釋，很多數(shù)學知識其實都是數(shù)學內(nèi)部抽象與演繹的結果。因此，逐步從具體直觀走向形式抽象，完成數(shù)學知識的形式化、結構化理解，這是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的需要。同時需要指出的是，小學五年級也是發(fā)展學生抽象思維和形式推理的關鍵時段，這就需要我們在課堂上有意識地提供有助于學生抽象思維能力培養(yǎng)的平臺。“顛倒相乘法”正是一座能夠承載這種使命、影響后續(xù)數(shù)學學習的橋梁。

那么，怎樣可以幫助大家理清這個“轉化”呢？可以從哪些維度來通過形式推理和抽象概括理解算理呢？我們覺得至少可以從以下五個維度來理解：

第一，從乘除法的運算性質(zhì)來理解。

根據(jù)分數(shù)和除法的關系可以知道：分子相當于除法的被除數(shù)，分母相當于除法的除數(shù)，即a÷b=■（b≠0），因此我們可以得出如下轉化過程。

■÷■

=■÷（4÷5）

=■÷4×5

=■×（5÷4）

=■×■

即■÷■=■×■

第二，從分數(shù)的基本性質(zhì)來理解。

我們知道，分數(shù)乘法的計算方法是分子乘以分子，分母乘以分母。那么，分數(shù)除法是否也應該是分子除以分子，分母除以分母呢？我們一起來驗證。

分數(shù)的除法：■÷■

=（8÷9）÷（2÷3）

=8÷9÷2×3

=8÷2÷9×3

=（8÷2）÷（9÷3）

=■

通過再次運用乘除法的運算性質(zhì)，我們驗證發(fā)現(xiàn)這種方法是可行的。那么分數(shù)除法為什么不選擇這種方法呢？如果用這樣的算法會常有除不盡的時候，這就給計算帶來了麻煩。因此，利用分數(shù)的基本性質(zhì)來理解也是一種變通的方式。

轉化（1）：我們在被除數(shù)的分子和分母同時擴大相同的倍數(shù)時，可以選擇除數(shù)中分子和分母相乘的積作乘數(shù)，這樣便于在做除法時分子和分母都能除盡。例如：

■÷■

=■÷■

=■÷■

=■

=■

=■

=■

=■×■

轉化（2）：我們還可以使被除數(shù)和除數(shù)的分子和分母各自同時擴大相同的倍數(shù)，這樣使得被除數(shù)與除數(shù)的分母相同（有人稱為“通分除”）。例如：

■÷■

=■÷■

=■÷■

=■

=（4×3）÷（5×5）

=■

=■×■

即■÷■=■×■

第三，從分數(shù)的意義上來理解。

分數(shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。例如■÷3，就是把■平均分成3份，每份是多少，也就是求■的■是多少。算式是■×■，所以■÷3=■×■。

一個分數(shù)的分母擴大到原來的幾倍和分子縮小到原來的幾分之一，其結果是一樣的。相反，分母縮小到原來的幾分之一和分子擴大到原來的幾倍，其結果也是一樣的。例如：

■=1和■=1

■=■和■=■

因此，分數(shù)除法的分子部分除以一個數(shù)（0除外），也可以變?yōu)榉帜覆糠殖艘赃@個數(shù)；分母部分除以一個數(shù)（0除外），也可以是分子部分乘以這個數(shù)。例如：

■÷■=■=■=■=■×■

即■÷■=■×■

第四，從分數(shù)除法的意義上理解。

一個數(shù)的■是6，求這個數(shù)。在解答時，我們可以根據(jù)分數(shù)除法的意義列式為6÷■。就是說，把一個數(shù)平均分成3份，取其中的2份是6，求這個數(shù)是多少。也可以先求出1份是多少，再求出3份是多少。1份是6÷2=3，3份是3×3=9，所以6÷■=6÷2×3=■×3=6×■。

第五，從商不變的規(guī)律來理解。

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變。根據(jù)商不變的規(guī)律，我們在計算■÷■時，可以把■擴大成1，除數(shù)必須乘■。除數(shù)乘■，要使商不變，被除數(shù)也必須乘■，即■÷■=■×■÷■×■=■×■÷1=■×■。

綜上所述，能得出“顛倒相乘法”的路徑有很多，用單一的思路框住學生的思維進行模仿操作是不太可取的。正如弗賴登塔爾所言：“理解算法的最好途徑是發(fā)現(xiàn)它，沒有什么比依靠自己的發(fā)現(xiàn)更令人信服的?！币虼?，在深化課程改革的今天，深入分析數(shù)學與學生的聯(lián)系，探討學生的數(shù)學思維發(fā)展，嘗試進行教學改變就顯得很有必要。