數(shù)理邏輯中一個撤消百年的悖論

忻鼎稼　周敏

羅素發(fā)布的一個邏輯矛盾不是無法解釋的悖論，igR是集合論中一個由錯誤前提導致的自相矛盾，它是數(shù)學推理中違反邏輯排中原則必然導致荒謬的典型。百年來，它在相關學科中仍在宣傳，其實這個所謂悖論百年前已經(jīng)被策梅洛撤消，這是一段值得反思的歷史。

1908年，德國數(shù)學家策梅洛（E.Zermelo）為集合論基礎研究建立一組公理系統(tǒng)，以其中的“劃分公理”解釋了當時被稱為羅素悖論的矛盾的起因，將其排除出集合論研究范疇，從而解除了它給數(shù)學和邏輯基礎帶來的威脅。但此后，對那個所謂的悖論不合事實的宣傳在一個世紀中并沒有停下來，進入21世紀以來，甚至在一些國際學術活動中被不適當?shù)匕胃吡恕１疚慕榻B策梅洛建立公理系統(tǒng)將羅素悖論排除出集合論研究范疇的基本思想，繼而說明那個所謂羅素悖論的起因能在經(jīng)典集合論中直接得到解釋，它只是從一個概念不完整的研究對象導出的自相矛盾，“無跟蹤研究的必要，無發(fā)表價值”（策梅洛語），并以科學思維必須以邏輯排中原則為導向，為羅素悖論能在它被撤消后依然紅極一時做出總結。

羅素發(fā)布了一個邏輯矛盾

任何數(shù)學分支的研究都是在特定的集合上展開的，集合的概念因而是數(shù)學研究最基本的出發(fā)點。集合論創(chuàng)始人、德國數(shù)學家康托爾（G.Cantor）將集合定義為“可以被思考的、彼此可區(qū)別的對象的全體”。而集合可分為兩大類，一類是集合本身也是它自己的一個元素，例如“所有含三個以上元素的集合的全體所組成的集合”也是它自己的一個元素，因為它顯然也含有三個以上的元素，另一類集合本身不是它自己的一個元素，這種集合更是普遍存在，例如任何有限集合就不是自己的一個元素。但1902年羅素（B.Russell）向邏輯學家弗雷格（G.Frege）通報他發(fā)現(xiàn)了一個矛盾：“自己不屬于自己的集合的總體不能存在”，不然這個總體“既屬于自己，又不能屬于自己”。第二年羅素在他的專著《數(shù)學原理》中正式發(fā)表了那個矛盾并詳加闡述，從此廣泛傳播。

由于那個矛盾在演繹過程中并沒有違反集合論中的概念、定義，也沒有違反邏輯推理規(guī)則，一些學者就將它視為悖論。由此，數(shù)學家擔心康托爾關于集合的定義“能被思考的，且彼此可區(qū)分的對象的一個全體”在“自己不屬于自己的集合”所組成的總體面前失效，哲學家和邏輯學家進而擔心作為邏輯基礎的“個體組成總體”的關系出現(xiàn)“個體真實、總體虛幻”的混亂，如此，集合論、邏輯學乃至于數(shù)學基礎一時面臨重大危機（史稱第三次數(shù)學危機）。

但不到六年，那個所謂的悖論的起因就得到了解釋：它是由錯誤的前提導致的自相矛盾，而不是無法解釋的悖論，從而消除了對數(shù)學和邏輯基礎的威脅，更推動數(shù)學基礎研究走上公理化的新時期。然而對那個被撤消的所謂悖論的推崇，一個世紀來未能消退，進入21世紀，有人甚至將它拔高為“數(shù)學哲學的發(fā)明”“數(shù)學、數(shù)學哲學和邏輯的大匯合”。筆者以為，這說明羅素悖論雖被排除100多年，仍有必要認真地給以澄清。

在數(shù)學和邏輯學中出現(xiàn)有悖于普遍認識的荒謬結論時，首要的任務是弄清它是因命題的前提不真或推導過程失誤引出的自相矛盾，還是因現(xiàn)有理論體系中的定義、概念和推導規(guī)則無法解釋的悖論。例如所謂“2=1”的荒謬是由于推導過程中誤用一個零值多項式為除式所致，只是一個謬論而不是悖論，它有警示作用而無學術內(nèi)涵；但芝諾（Zeno）提出的“阿喀琉斯追不上烏龜”的怪論則由于當時尚未建立收斂數(shù)列極限的概念，無法解釋其中錯誤所在，承認它是悖論。羅素發(fā)表他的發(fā)現(xiàn)后，雖在他的各類著作中反復闡述其解決的難度，卻并沒有將它稱為悖論。誰最早將他的發(fā)現(xiàn)視為悖論已無據(jù)可考，但在1907年，已有一些論文中出現(xiàn)“羅素悖論”的稱呼，此后進入教科書和各類專著，廣為流傳。2001年德國慕尼黑大學召開“羅素悖論百年”國際會議，發(fā)布的論文集總導言中給了它作為悖論的完整表述：“在萬有集合即所有集合的集合的環(huán)境中，邏輯基本定則（排中原則）在自己不屬于自己的集合的總體面前失效，樸素的康托爾集合論認領了這個失效的合理性，由此產(chǎn)生了羅素悖論?！惫P者認為這不符合事實?？低袪柦⒌慕?jīng)典集合論中從未接受羅素發(fā)現(xiàn)的矛盾為集合理論體系中無法解釋的悖論的論述，事實上也無法得出這樣的結論。

羅素發(fā)現(xiàn)的矛盾不是悖論

事實上，1902年前，策梅洛在格丁根大學希爾伯特（D.Hilbert）的數(shù)學基礎討論班上已經(jīng)提出類似羅素發(fā)現(xiàn)的那個矛盾，但他和希爾伯特討論班沒有稱它為悖論。策梅洛的老師、哲學家胡塞爾（E.Husserl）在他的遺稿中，更有策梅洛在幫助他糾正對施羅德（E.Schroeder）一個命題所作批注的錯誤時發(fā)現(xiàn)這個矛盾的文字記載，但策梅洛認定那只是一個用反證策略所導出的矛盾，無獨立的學術含義，無跟蹤研究和發(fā)表的價值。當他在1907年讀到將羅素發(fā)現(xiàn)的矛盾稱為“羅素悖論”的論文時，更立即以書面形式告訴文章作者納爾遜（L.Nelson）：“羅素發(fā)現(xiàn)的那個矛盾是由于前提概念的不完整所引出的自相矛盾，稱它為悖論是不準確的?！辈⑻嵴堊⒁猓骸般Ｕ摰暮x是違反常理但無任何內(nèi)在矛盾”。這是先于羅素發(fā)現(xiàn)那個矛盾的策梅洛不將它視為悖論的完整記錄。接著策梅洛在1908年的德國《數(shù)學年鑒》上，以《集合論基礎研究》為題，將康托爾意義下對集合的概念、定義和規(guī)則整理后，成為集合論一組公理系統(tǒng)。并由其中的一條公理（他稱為劃分公理）“使定義在集合上的任一命題函數(shù)為真的元素的全體組成一個子集合”導出一個定理——“任何一個集合必（至少）有一個子集合不是它的元素”，由此顯示“（羅素關心的）自己不屬于自己的集合的總體”的背景集合——“一切集合的集合”“本身就不是一個集合”（策梅洛語）。取自結構不協(xié)調(diào)系統(tǒng)的某些子系統(tǒng)表現(xiàn)出“既屬于它自己、但又不能屬于它自己”的不協(xié)調(diào)不足為怪，羅素發(fā)現(xiàn)的矛盾起因得到解釋，所謂悖論的說法從而被否定。

刊載策梅洛為集合論提出的第一個公理系統(tǒng)的論文《集合論基礎研究》的發(fā)表，掃清了邏輯和數(shù)學基礎研究的航道中的一塊暗礁，臆想中的所謂“第三次數(shù)學危機”煙消云散，此堪稱數(shù)理邏輯發(fā)展中的一個里程碑事件。希爾伯特當年是策梅洛那篇論文的主審，他坦承“從此成了策梅洛論文的崇拜者”。十多年后，他在格丁根的暑期研討班上以《數(shù)學的邏輯問題》為題發(fā)表演講時，依然熱烈贊揚道：“成功地完成集合理論，并最嚴格地體現(xiàn)集合理論精神的人，在我看來，就是策梅洛。”更將排除羅素發(fā)布的矛盾的劃分公理贊為“將數(shù)學問題歸結為邏輯問題的最優(yōu)秀的闡述”。這個評價非常中肯。策梅洛的劃分公理將人們對集合概念的注意力由（康托爾）立足于元素間個體差異的定義，轉(zhuǎn)為對集合同集合間總體差異的關心，揭示了集合概念的實質(zhì)——“一個協(xié)調(diào)的系統(tǒng)（集合）中借助邏輯關系彼此區(qū)分的全體”，這是希爾伯特公理化思想影響下對集合概念認識的飛躍。哥德爾（K.Godel）贊揚劃分公理為集合論公理系統(tǒng)中最本質(zhì)的公理。

經(jīng)典集合論能解釋羅素發(fā)現(xiàn)的矛盾

羅素也知道策梅洛對他發(fā)現(xiàn)的那個矛盾給出了解釋，并將它驅(qū)逐出集合概念的研究，也知道策梅洛早些時候在《數(shù)學年鑒》上發(fā)表的另一篇論文《關于正序定理的新證明》（1908年）中說他（策梅洛）早已發(fā)現(xiàn)那個矛盾、但不稱它為悖論的聲明，羅素沒有作任何異議。四年后，在擔任第五屆國際數(shù)學家大會（1912年，倫敦）的哲學組主席時，羅素還熱情邀請策梅洛到會作集合論公理化研究的報告，表現(xiàn)了學術上從善如流的品格?？上Т藭r的策梅洛已經(jīng)將興趣從集合論轉(zhuǎn)到了建立博弈理論的研究，雖應邀到會，卻只作了關于博弈論的報告，表明他認為已沒必要繼續(xù)為羅素悖論花時間，這是數(shù)學家們普遍存在的“重視創(chuàng)新而忽視普及”的一種表現(xiàn)。以后的發(fā)展證明，策梅洛這次忽視普及，代價是讓不少學者誤認為康托爾集合論中的概念和規(guī)則無法解釋羅素悖論的起因，只有將集合論作公理化處理后才能做到。這種認識是對數(shù)學系統(tǒng)公理化的極大誤解。

事實上，對一個已給的數(shù)學系統(tǒng)作公理化處理，只是將系統(tǒng)中原有概念和規(guī)則整理成一組相互獨立的、不矛盾的一個完備體系，以使命題的演繹做到規(guī)范化和條理化。但猶如一個賬目混亂的公司，聘到了稱職的會計師后，能將賬目理得一清二楚，卻并不改變原有的收支盈虧情況那樣，公理體系的建立絲毫不改變（擴大或縮?。┰欣碚擉w系的有效范圍。最明顯的例子是希爾伯特建立的歐氏幾何公理系統(tǒng)，它雖然完美，卻沒有擴大研究范圍，它依舊無法處理有關一般曲線等問題。策梅洛建立的集合公理體系也只是這樣，他整理康托爾集合論中的原有概念和規(guī)則，成為公理系統(tǒng)，并沒有加入新的成分，他在那篇歷史性的論文《集合論基礎研究》中就聲明：“集合論現(xiàn)有的規(guī)則似乎受到了一些矛盾的沖擊，而且似乎還沒有找到合適的辦法……我的任務就是要將康托爾和戴德金建立的整個理論歸結為少量的定義和規(guī)則?！边@不是謙虛而是事實，被劃分公理撤消的所謂羅素悖論的確可在原有概念和規(guī)則中得到解釋。

（實際上）康托爾此前建立的冪集定理（1899年）——“一個集合的元素不能同該集合的子集合建立一一對應”，就蘊涵了策梅洛以劃分公理導出的那個基本定理——“任何集合中，必（至少）有一個子集合不是這個集合的元素”，進而（在萬有集合——“一切集合的集合”的背景下）導出“自己不屬于自己的集合的總體必含有一個不是它的元素、但又必須是它的元素的子集”的怪現(xiàn)象。這就說明那個總體的結構違反邏輯排中原則，若讓它存在，任何怪象的出現(xiàn)都不奇怪。如此解釋了它“既屬于自己、又不能屬于自己”的怪誕，從而說明羅素發(fā)現(xiàn)的那個矛盾不是康托爾集合論所無法解釋的悖論。中國數(shù)學界元老陳建功院士在他的《實函數(shù)論》（科學出版社，1978年）中介紹“劃分公理”時，也采用這樣的分析步驟識別和排除羅素悖論，只是作為介紹劃分公理的教材，沒有寫出康托爾冪集定理能直接識別和排除的事實。

事實上，羅素在那個矛盾的表述中已經(jīng)隱含了矛盾的起因。他在《數(shù)學原理》中是這樣寫的：“由自己不是自己元素的集合所組成的總體將不再成為一個集合，因為無法表明它到底是不是一個集合?！边@里所說的“無法表明”的論據(jù)就是一年前他給弗雷格的信中所寫的關于那個總體是否屬于它自己的矛盾：“給出任何回答，就立即跟上它的反面（From each answer its opposition follows）?！钡_素沒有意識到關鍵的一點：他對那些“自己不屬于自己的”集合沒有再作其他限制，那它們就來自最廣泛的“一切集合的集合”。因之那個矛盾的完整表述是：“在一切集合的集合中，由自己不是自己元素的集合所組成的總體不再成為一個集合?！钡@樣的表述實際上等價于以反證策略支持真命題“一切集合的集合不能存在”成立的步驟：設命題不真，即一切集合的集合存在，此時取其中自己不屬于自己的集合組成的總體，就陷入既屬于它自己、又不能屬于它自己的違反邏輯排中原則的自相矛盾，因之命題（一切集合的集合不能存在）為真。這是任何有基本數(shù)學修養(yǎng)的人都熟悉的思維方式。

根本的道理是：一個數(shù)學系統(tǒng)若自身結構協(xié)調(diào)（例如有限集合），它的任何部分結構也必然協(xié)調(diào)。因之若一個數(shù)學系統(tǒng)的某一子系統(tǒng)結構不協(xié)調(diào)，就可斷定整個系統(tǒng)自身結構不協(xié)調(diào)，這是最基本的邏輯，也是數(shù)學推理的常識。如此，羅素發(fā)布的矛盾只能用來說明“背景集合（一切集合的集合）的自身結構不協(xié)調(diào)，就是矛盾的起因”?？上Я_素當年發(fā)現(xiàn)和發(fā)布時，沒有想到矛盾的背景集合，使得羅素悖論紅極百年。

筆者認為，在德國慕尼黑大學召開的“羅素悖論百年”國際紀念活動中也依然沒弄清這一點。會議在論文集的總導言《羅素——數(shù)學哲學的發(fā)明》中，給所謂的羅素悖論以如下表述：“在一切集合的集合中，邏輯基本定則（排中原則）在自己不屬于自己的集合的總體面前失效，樸素的康托爾集合論認領了失效的合理性，由此產(chǎn)生了羅素悖論?！北绕鹆_素當年有所進步的是“總導言”注意到了“自己不屬于自己的集合的背景集合”，接下來本來應該是用“邏輯排中原則在自己不屬于自己的集合組成的總體面前失效”的矛盾來指出背景集合的不協(xié)調(diào)，給出矛盾的起因，卻倒過來用來支持矛盾的合理性（即所謂“樸素的康托爾集合論認領了矛盾”），還說成是產(chǎn)生了羅素悖論。

與此形成對比的是：羅素當年發(fā)布他的發(fā)現(xiàn)之前，策梅洛已以反證策略證明了“以自己的子集合為元素的集合結構不相容”（注：羅素矛盾的背景集合“一切集合的集合”是“以自己子集合為元素的集合”的極端情況），因而在反證過程中才會引出了在這類集合中“由自己不屬于自己的子集合組成的總體既屬于自己，又不能屬于自己”的怪誕。但策梅洛清醒地認識到那只能說明來自前提錯誤，而不能得出“樸素的康托爾集合論認領這個矛盾，更產(chǎn)生什么策梅洛悖論”的結論。他認定這種矛盾（包括羅素發(fā)布的矛盾）“數(shù)學內(nèi)涵甚少”，因而從未以任何形式公開發(fā)布他這個發(fā)現(xiàn)，只在希爾伯特討論班上交流，以及幫助他的老師胡塞爾糾正對“以自己的子集合為元素的集合不能存在”的錯誤評論時提到了他那個發(fā)現(xiàn)，而后者在八十年后（1981年）才被人找到。

堅持邏輯排中原則

回顧排除羅素悖論的歷史，重申羅素發(fā)布的矛盾不是無法解釋的悖論，并沒有降低羅素發(fā)布他發(fā)現(xiàn)的矛盾的歷史功績。事實上它的發(fā)布讓以策梅洛為代表的數(shù)學家們認識到作為數(shù)學基礎重要分支的集合論受到了懷疑，下決心將康托爾建立的概念和規(guī)則整理為一個相互協(xié)調(diào)的公理系統(tǒng)，以規(guī)范問題的處理，使之有效地識別和驅(qū)逐某些似是而非的概念混入，這極大地推進了集合論乃至其他數(shù)學分支的公理化建設，促進數(shù)學基礎研究現(xiàn)代化的面貌，其中也應有羅素的功勞。但羅素悖論被否定后種種不合事實的高調(diào)贊譽仍延續(xù)百年，值得反思。

從根本上說，1902年羅素矛盾的提出和它六年后（1908年）被排除是數(shù)學和邏輯基礎研究隊伍接受邏輯推演排中原則的一次檢閱。邏輯排中原則——“一個命題要么它是真的，要么是它的反面”，其道理杯水見底，效應堅韌如鋼，是科學探索避免誤入歧路的指路明燈。對羅素發(fā)布的那個“既屬于自己、又不能屬于自己”的矛盾，一些學者們表現(xiàn)出的驚恐正是出于對邏輯排中原則的敬畏；策梅洛整理集合論基礎為一組公理，最后以劃分公理排除這個矛盾，表現(xiàn)了決不放過對違反排中原則現(xiàn)象追究的決心。可以說羅素發(fā)現(xiàn)那個矛盾，和最后該矛盾被排除，就是邏輯排中原則引路護航的歷史。

策梅洛為集合論完成公理化建設后就離開集合論研究，20年后（1929年）應邀為華沙的（波蘭）數(shù)學協(xié)會做了總題目為《數(shù)學和直覺》的九場講座，他將“邏輯推理三段論和排中原則（On Disjunctive Systems and the Principle of the Excluded Middle）”單列一個主題（第二講），針對那些年此起彼落地將一些概念不清的自相矛盾當作悖論發(fā)布的現(xiàn)象，指出這些都源起于對堅持邏輯排中原則的放松，他告誡道：“作為科學證明主要工具的數(shù)學，或嚴格地說建立在三段論基礎上的邏輯推理，本質(zhì)上就是基于排中的原則?！薄皵?shù)學有別于直覺，就在于它遵循邏輯排中原則。沒有排中原則，數(shù)學就不再成為數(shù)學?！苯裉旄钊藞孕牛_素悖論被宦傳百年，那只能是忽視排中原則引出的旋渦。邏輯排中原則是科學思維免于走入歧途的指路明燈。