用函數(shù)思想指導高中數(shù)學解題

張百香

摘 要： 函數(shù)思想即以函數(shù)性質、函數(shù)理念作為基本出發(fā)點分析、轉化和解決數(shù)學問題.函數(shù)思想本質上屬于數(shù)學思想中的一種常見類型，在數(shù)學教學實踐活動中起著橫向聯(lián)系之功效，有助于分析與解決高中數(shù)學難題.文章強調以函數(shù)思想為指導思想，指導高中數(shù)學方程式、不等式，以及數(shù)列等知識內容的解題程序，以期能夠成為高中數(shù)學解題教學的參考標準.

關鍵詞： 函數(shù)思想 高中數(shù)學解題 方程式 不等式 數(shù)列

函數(shù)思想本身屬于數(shù)學中較重要的一種思想，在高中數(shù)學解題教學中起著舉足輕重的作用.函數(shù)貫穿高中數(shù)學的始終，近幾年各地高考均加大了函數(shù)知識的考查范圍與比例，因此建議教師把函數(shù)思想視作高中數(shù)學解題教學的主線.

1.函數(shù)思想指導高中數(shù)學方程式解題程序

方程式即包含未知數(shù)的一個等式，且含有一個或多個未知數(shù)，是對未知量及已知量之間實際數(shù)量關系的直接表述.盡管方程式與函數(shù)的基本概念存在著差異，但同時也具有必然聯(lián)系.若能用解析式直接表示函數(shù)，則可將其視作方程式.以函數(shù)思想指導方程式解題，可將函數(shù)視作一個已知量，且該已知的函數(shù)值為零，即可轉化成一個方程式，或者是把一個方程式視作兩個相同的函數(shù)，實現(xiàn)以函數(shù)問題代替方程問題的目標，那么所求方程的解即為函數(shù)圖像中的交點[1].對于高中數(shù)學方程式，在解方程環(huán)節(jié)，針對方程式較復雜的題目，以常規(guī)方式解題通常需要花費較多時間，難度也相對較大，不僅學生難以掌握，經常會在同樣的環(huán)節(jié)出錯，而且給教師開展教學活動帶來一定的難度.鑒于此，若借由函數(shù)思想，以函數(shù)性質、函數(shù)圖像作為參考標準解題，則能夠在短時間內達到解題目的，同時其準確性也相對較高.

比如，在方程式中，已知lgx+x=2的根為x■，10■+x=2的根為x■，需要求解x■+x■.那么在求解x■+x■時，若單純分割方程和函數(shù)，則無法直接達到解題目標.主要由于該方程式由指數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)和對數(shù)函數(shù)構成，因此借由函數(shù)思想畫出函數(shù)圖像之后，其圖像交點即為方程的解.由此可見，把方程式轉換為lgx=2-x，10■=2-x之后，建立直角坐標系，即可發(fā)現(xiàn)方程的解即為三個函數(shù)相交的兩個點.

2.函數(shù)思想指導高中數(shù)學不等式解題程序

函數(shù)思想指導高中數(shù)學解題時，必須創(chuàng)建數(shù)學模型，且該數(shù)學模型應當表明兩個變量之間的關系，將其用作指導高中數(shù)學不等式解題，具有較高可行性[2].函數(shù)區(qū)間中的正負和不等式具有直接關系，若把不等式右面部分視作零，將其左面以函數(shù)形式表現(xiàn)出來，則可直接通過函數(shù)性質、函數(shù)圖像解題.

比如，若實數(shù)p滿足4≥p≥0的要求，且x■+3+px>p+4x，在求解x的取值范圍時，可以將x視作自變量，并構造出函數(shù)-x2-3+p+（4-p）x=y.由于4≥p≥0，因此y>0，再求解x的取值范圍時，即可選擇一元二次方程的實根分布解決問題，但是該解題程序十分復雜，并不建議使用.如果假設（4x-x■-3）+（1-x）p=f（p）>0，4≥p≥0，那么針對函數(shù)f（p）而言，只需要f（0）>0，f（4）>0，即可達到解題目標，x的取值范圍為x<-1，x>3.

3.函數(shù)思想指導高中數(shù)學數(shù)列解題程序

數(shù)列即指根據(jù)一定順序、規(guī)律所排列起來的數(shù)字，每一數(shù)字代表著數(shù)列中的一個項，所以對于數(shù)列問題，在解題環(huán)節(jié)可把數(shù)列視作項數(shù)函數(shù)，函數(shù)公式則為數(shù)列通項公式.高中數(shù)學數(shù)列的解題環(huán)節(jié)，把數(shù)列視作一個函數(shù)值，以函數(shù)性質、函數(shù)圖像進行解題，即可簡化數(shù)列解題程序.這是由于數(shù)列和函數(shù)中具有明顯的相同點與不同點，借由類比法，有效把握數(shù)學變量的規(guī)律及特征，使函數(shù)思想和數(shù)列得以有機融合，從而實現(xiàn)數(shù)列的解題目標[3].

比如，在數(shù)列f（m）中，m為自然數(shù)，而f（m）=1+■+■+■+…+■，求f（m+1）-f（m）的值.在該數(shù)列中，若將分子與分母分開，可發(fā)現(xiàn)分母為正整數(shù)列，即1，2，3，4，…，3m-1.那么=f（m+1）-f（m）=（1+■+■+■+…+■+■+■+■）-（1+■+■+■+…+■）=■+■+■.必須強調的是，高中數(shù)列解題環(huán)節(jié)，必須把握函數(shù)和數(shù)列之間的聯(lián)系.數(shù)列本身是函數(shù)的一種特殊形式，數(shù)列項為函數(shù)值，數(shù)列序號則為自變量，數(shù)列的圖像為點組成，函數(shù)圖像則為曲線組成.因此在具體應用過程中，應當合理把握兩者之間的共同特性，并在此基礎上結合各自特征，最終達到解題目的.

綜上所述，基于函數(shù)思想指導高中數(shù)學解題具有一定的可行性，但是在建立函數(shù)思想時，需要加強實踐教學，通過不斷練習與深入研究，培養(yǎng)學生形成函數(shù)思想與函數(shù)意識，并形成以函數(shù)知識解決高中數(shù)學難題的自覺性和主動性，從而達到高中數(shù)學教學的整體目標，努力為社會培養(yǎng)出更多的創(chuàng)新型、實用型、綜合型人才.

參考文獻：

[1]陳瑩.立足函數(shù)觀點 觀察數(shù)列問題——例談用函數(shù)圖像性質解決數(shù)列問題[J].中學教研（數(shù)學），2013，09（05）：15-17.

[2]劉見樂，羅敏娜.用函數(shù)思想指導高中數(shù)學解題[J].中國數(shù)學教育，2011，05（05）：45-46.

[3]周維貞.高中數(shù)學解題中常見的數(shù)學思想方法探析[J].解題技巧與方法，2014，11（11）：74-75.