對數(shù)線性化灰色預(yù)測模型

許堅 朱曉陽

基于灰色序列的一階累加生成序列的指數(shù)增長性質(zhì)，假設(shè)一階累加生成序列滿足指數(shù)模型的形式，通過指數(shù)線性化方法將其轉(zhuǎn)化為簡單的線性回歸模型，進而分析誤差項的性質(zhì)。最后，通過一個算例比較了經(jīng)典灰色系統(tǒng)預(yù)測模型與本預(yù)測模型的預(yù)測精度。實證表明，本模型具有較好的預(yù)測性。

【關(guān)鍵詞】

灰色系統(tǒng)；1-AGO；指數(shù)；線性化

1 研究方法與模型

灰色系統(tǒng)理論是由我國學者鄧聚龍創(chuàng)立，理論自誕生之日起受到國內(nèi)外廣泛關(guān)注。灰色系統(tǒng)預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的特點是數(shù)據(jù)少，貧信息，因此應(yīng)用廣泛且方便。經(jīng)過20多年的發(fā)展，灰色預(yù)測理論已在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟、科技、能源、交通等眾多領(lǐng)域得到應(yīng)用，成功解決了生產(chǎn)生活和科學研究中的大量實際問題。灰色預(yù)測模型的原理是一些數(shù)據(jù)當累加后具有指數(shù)增長的規(guī)律。因此可以利用這一信息將數(shù)據(jù)累加，根據(jù)累加數(shù)據(jù)的指數(shù)規(guī)律性建立模型，最后還原預(yù)測數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的的形式是，然后建立方程的白化方程：，實質(zhì)是一類一階常微分方程。在研究系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢時，一般應(yīng)首先建立反應(yīng)系統(tǒng)演化趨勢的數(shù)學模型，進而再對各種關(guān)系進行量化研究。本文根據(jù)一階累加生成序列具有指數(shù)增長規(guī)律，假設(shè)其滿足某指數(shù)函數(shù)形式，進而利用對數(shù)線性化方法將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)形式，最終建立模型。

2 模型建立

假設(shè)具有原始數(shù)據(jù)序列：，經(jīng)過一階累加生成序列為：。其中：

對數(shù)列進行光滑性檢驗[1]：若對有，則其滿足準光滑性條件。對數(shù)列進行準指數(shù)規(guī)律檢驗[1]：若對有，則準，通過取對數(shù)變換：使其線性化。經(jīng)過線性化后其形式變?yōu)椋?/p>

，

其中，，。一般而言，服從正態(tài)分布。將該線性模型表示成方程組的形式即為：

通過最小二乘法將，確定。設(shè)函數(shù)，則對分別關(guān)于，求偏導(dǎo)函數(shù)。

令，則解得

將所求參數(shù)帶入方程：，求得時間響應(yīng)式：。至此，模型建立完畢。通過模型求出預(yù)測值，還原預(yù)測值。誤差檢驗：1殘差，。2平均相對誤差：。重復(fù)以上計算過程便可將預(yù)測數(shù)據(jù)求出。

由通常的線性回歸模型知，誤差項一般滿足服從正態(tài)分布：，即，而原始對數(shù)的誤差的期望，這是因為：若服從正態(tài)分布 ：

此時的密度函數(shù)為[3]：

而，所以設(shè)的隨機變量分布為：，當，

兩端對求導(dǎo)數(shù)得：

即

當

所以的密度函數(shù)為：

可見服從對數(shù)正態(tài)分布。從而的數(shù)學期望：

對模型，假設(shè)散點恰好落在曲線上此時，實驗數(shù)據(jù)與模型完全吻合。若不落在曲線上，那么或著，由麥克勞林展開式：

可見，當較小時，。由以上分析知，當對數(shù)模型線性化原始對數(shù)模型的誤差應(yīng)滿足盡量接近1，對于誤差較大的應(yīng)考慮其他模型。

3 算例

本文將經(jīng)典預(yù)測模型與本文模型對同一實際案例進行預(yù)測比較，以檢驗本模型的預(yù)測有效性。設(shè)有原始數(shù)據(jù)序列[1]：

首先根據(jù)傳統(tǒng)預(yù)測模型計算（該序列經(jīng)檢驗滿足光滑性條件以及準指數(shù)規(guī)律條件）。

第[1]步，原始序列的初始化

初始化后的序列：

第[2]步，原始序列的1-AGO

1-AGO序列：

第[3]步，1-AGO的緊鄰均值生成

緊鄰均值生成序列：

第[4]步，發(fā)展系數(shù)和灰色作用量的計算

第[5]步，模擬值的計算

第[6]步，計算殘差

殘差=

本模型計算的步驟與上述模型大致相同，在此省略，現(xiàn)將模擬計算的結(jié)果直接列出：，殘差=0.2174

4 結(jié)論及改進

本模型在經(jīng)典灰色系統(tǒng)建模的思想框架內(nèi)，通過將一階累加生成的灰色序列直接假設(shè)為指數(shù)模型，然后將指數(shù)模型線性化轉(zhuǎn)化為常見的線性回歸模型。在模型的構(gòu)造方面具有直觀性、簡便性，不需要像經(jīng)典那樣，通過求出白化方程，即一個連續(xù)的微分方程的解，再帶入原差分方程。在預(yù)測方面，相對于經(jīng)典預(yù)測模型本模型在預(yù)測精度上的誤差稍高，原因可能有以下幾個方面：一、對數(shù)模型線性化時引起誤差的放大。二、本模型沒有利用如經(jīng)典模型那樣將累加數(shù)據(jù)進行賦權(quán)處理的方法。這些都是后續(xù)工作中將要完成的任務(wù)。本模型誤差也在可以接受范圍內(nèi)。因此，模型還是具有一定的預(yù)測效果的。

【參考文獻】

[1]劉思峰.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學出版社.2004.

[2]鄧聚龍.灰預(yù)測與灰決策[M].武漢：華中科技大學出版社.2002.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社.