一類四階奇異非線性積分邊值問題正解的存在性

王全義，鄒黃輝

（華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州362021）

1 預備知識

兩端簡單支撐的彎曲彈性梁的平行狀態(tài)可用四階兩點邊值問題

來描述［1］，關于這類邊值問題的正解存在性已受到廣泛的研究［2－5］，微分方程的積分邊值問題在熱傳導、等離子物理、化學工程、流體力學等方面具有廣泛的應用背景.因此，微分方程的積分邊值問題受到許多學者的廣泛關注［6－10］.本文將研究四階奇異非線性積分邊值問題

的正解的存在性.式（2）中：f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×［0，＋∞），（－∞，＋∞））；h，k∈C（［0，1］×［0，＋∞），［0，＋∞））；w∈C（（0，1），［0，＋∞））；ξ（s）和η（s）在［0，1］上是非減的；在邊值條件（2）中的積分是Riemann－Stieljes積分.

顯然，非線性項f（t，u，p）是可變號的，且w（t）在t＝0，1可能是奇異的.此外，當ξ（s）≡0，η（s）≡0，w（t）≡1時，邊值問題（2）退化為問題（1）.對于具非線性積分邊界條件的四階非線性微分方程的邊值問題（2）的正解存在性問題很少有人研究過.

假設下面的條件成立：

H′1）設f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×（0，＋∞］，（－∞，＋∞）），且當［0，1］時，f（t，u，p）≥0.

2 一些引理

設X是Banach空間，K?X非空，且滿足

1）對任意u，v≥0，任意x，y∈K，有ux＋vy∈K；

2）若x∈K，－x∈K，則x＝0，那么稱K為X中的一個錐.

記空間E＝C2［0，1］，在E中定義范數(shù)，則E在范數(shù)‖x‖下成為一個Banach空間.在E中定義一個錐K，記Kr＝｛x∈K∶‖x‖≤r｝，?Kr＝｛x∈K∶‖x‖＝r｝，＝｛x∈K∶r≤‖x‖≤R｝，其中：0＜r＜R.

引理1［11］設X是Banach空間，P是X中的一個錐，Ω1和Ω2是X中的開集，0∈Ω1，?Ω2，T∶P∩／Ω1→P是全連續(xù)算子，如果下列條件之一滿足，即

1）若x∈P∩?Ω1，則‖Tx‖≤‖x‖；若x∈P∩?Ω2，則‖Tx‖≥‖x‖；

2）若x∈P∩?Ω1，則‖Tx‖≥‖x‖；若x∈P∩?Ω2，則‖Tx‖≤‖x‖.那么算子T在P∩（ˉΩ2／Ω1）中有不動點.

引理2函數(shù)G（t，s）定義為

那么，當t，s∈［0，1］時，有

引理3假設條件H1），H2）成立，若如下的邊值問題

有一個正解x（t），x（t）≥min｛t，1－t｝‖x‖，t∈［0，1］，G（t，s）由式（3）定義，那么積分邊值問題（2）至少有一個正解u（t），且

引理4假設條件H1），H2）成立，如果的積分方程

有一個正解x＝x（t），G（t，s）由式（3）定義，那么x＝x（t）是邊值問題（5）的一個正解.

為了應用引理1，錐定義為

m（t）由式（4）給出.算子T∶K→C［0，1］定義為

引理5假設條件H1），H2）成立，那么T（K）?K，而且T∶K→K是全連續(xù)的.

3 正解的存在性

G（t，s）和m（t）分別由式（3），式（4）給出.

如果條件H2）成立，顯然I5是有界的，且0＜I5≤M＋M0，其中

定理1假設條件H1），H2）成立，如果f∞≥0，I1＜1＜I2，則邊值問題（2）至少有一個正解.

證明 考慮式（8）定義的算子T∶K→C［0，1］，由引理5可知T∶K→K是全連續(xù)的.又因為I1＜1，0＜I5≤M＋M0，因此存在ε1＞0，使得I1＋ε1I5＜1.對此ε1＞0，存在r1＞0，使得當t∈［0，1］，0＜p≤r1，2u≤p時，就有

那么由式（6）～式（9），當t∈［0，1］，t∈?Kr1時，可得

故有

因為I2＞1，m（0）＝m（1）＝0，故存在ε2＞0，0＜δ＜1／2，使得

對ε2＞0，存在r22＞0，使得當t∈［0，1］，0≤2u≤p，p≥r22時，有

取r2＝max｛r1＋1，δ－1r22｝，所以當t∈［δ，1－δ］，x∈?Kr2時，有

于是當x∈?Kr2，t∈［0，1］時，由式（7），（11），（12）可得

故有

由引理4，式（10），（13）知算子T∶K∩（／Kr1）→K滿足引理1中的所有條件.因此由引理1知有一個不動點x0∈ˉKr1，r2，r1≤‖x0‖≤r2，且x0（t）≥min｛t，1－t｝‖x0‖，t∈［0，1］.由式（8），引理3，4知邊值問題（2）至少有一個正解u0，且，u0（t）≥min｛t，1－t｝‖u0‖，t∈［0，1］.定理1證畢.

在定理1的證明中，假設1＜I2＜＋∞.但是對于I2＝＋∞，容易證明定理1也是成立的.

定理2假設條件H1），H2）成立，如果f∞，f0≥0，I4＜1＜I3，則邊值問題（2）至少有一個正解.

在定理2中假設1＜I3＜＋∞，但是當I3＝＋∞時，容易證明定理2的證明也是成立的.

假設以下條件成立：

由引理2得，條件H2），H′2）是等價的.

定理3設條件H1），H′2）成立，而且假設存在4個常數(shù)ρ1，ρ2，δ，λ，且ρ1＞0，ρ2＞0，ρ1≠ρ2，0＜δ＜1／2，0≤λ＜1使得條件H3）為

條件H4）為

那么積分邊值問題（2）至少有一個正解u，使得在ρ2和ρ2之間.

因為當h（t，p）≡0，k（t，p）≡0，ξ（s）≡0，η（s）≡0，w（t）≡1，邊值問題（2）退化為邊值問題（1）.這時在定理3中，，并且如果取λ＝0，δ＝1／4，那么立即可得

推論1假設H′1）成立，又存在兩個正數(shù)ρ1，ρ2且ρ1≠ρ2使得

那么邊值問題（1）至少有一個正解u，使得在ρ2和ρ2之間.

顯然，推論1中的f（t，u，－p）是可以變號的，并且也不要求maxf0，minf0，maxf∞，minf∞?｛0，＋∞｝，而且推論1中的條件H′3），H′4）也大大弱于文獻［5］的定理中的條件H5），H6），因此推論1大大優(yōu)于文獻［5］的定理3.1.從而定理3推廣和改進了文獻［5］的定理3.1.

定理4假設條件H1），H2）成立，如果f∞，f0≥0，I2＞1，I3＞1，且存在b＞0，使得，其中

那么邊值問題（2）至少有兩個正解.

在定理4中，假設1＜I2，I3＜＋∞，但是當I2＝＋∞或I3＝＋∞時，定理4仍然成立.

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