“變教為學(xué)”的文化性

一、數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性

這里所說(shuō)的“文化性”是相對(duì)于“工具性”而言的。長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)，是把數(shù)學(xué)知識(shí)和方法視為數(shù)學(xué)家制作完成，留待后人學(xué)習(xí)使用的工具。對(duì)于“工具”的使用追求的是正確和熟練。為了讓學(xué)生能夠正確并且熟練地掌握“工具”的使用，課程內(nèi)容力圖做到“模式化”和“程序化”。因此使得數(shù)學(xué)課程內(nèi)容缺少了知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的“過(guò)程性”、可以這樣還可以那樣的“多樣性”以及前人創(chuàng)造知識(shí)和方法的“人文性”。

依據(jù)這種模式化和程序化的課程內(nèi)容，教師的教法往往是要求學(xué)生“認(rèn)真聽講”，追求自身的“講解清晰”，把“講”等同于“教”，失去了知其然還要知其所以然的“啟發(fā)性”、教無(wú)定法的“多元性”以及因材施教的“針對(duì)性”。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的學(xué)法成為了單一的傾聽、模仿與練習(xí)，追求的學(xué)習(xí)效果是“又對(duì)又快”。缺失了體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的思考過(guò)程，缺失了自然、自由、自主的思考與交流。[1]凡此也就使得數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程缺失了“文化性（Cultural）”，進(jìn)而使得數(shù)學(xué)教學(xué)的“育人”功能打了折扣。

數(shù)學(xué)教育中引入“數(shù)學(xué)文化”這一說(shuō)法，實(shí)質(zhì)上就是試圖改變對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)單一的“工具性”認(rèn)識(shí)，讓數(shù)學(xué)課程與教學(xué)呈現(xiàn)出“文化性”?！皵?shù)學(xué)文化”是一個(gè)異常寬泛的概念，對(duì)它的理解多種多樣。在我國(guó)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域通常是把歷史上的數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想作為區(qū)別于工具性知識(shí)的數(shù)學(xué)文化。[2]

事實(shí)上，“文化”的本質(zhì)是“人化”，是人或者人與人之間、人與自然之間關(guān)系的產(chǎn)物。凡是呈現(xiàn)出與人的情感、思維、行為、習(xí)慣等因素有關(guān)的事物或事件，都可以認(rèn)為是具有文化性的。位于我國(guó)山東省泰安市的泰山號(hào)稱“五岳”之首，其實(shí)論高度泰山并不算很高，論風(fēng)景也并非最具特色的，之所以成為五岳之首，其原因就在于人的因素，古時(shí)皇帝祭天之所，使得泰山具有了獨(dú)特、高尚的文化，正是這樣的文化使得泰山具有了無(wú)與倫比的聲譽(yù)。

數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程是由學(xué)生、教師和數(shù)學(xué)知識(shí)三個(gè)基本要素構(gòu)成的，表現(xiàn)為教師與學(xué)生的“雙邊活動(dòng)”。在“以教為主”[3]的課堂教學(xué)中，教師是學(xué)生與知識(shí)之間的媒介，教師通過(guò)備課把知識(shí)搞明白，而后通過(guò)講解傳授給學(xué)生。（見圖1）

“變教為學(xué)”期望數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程成為學(xué)生、教師以及創(chuàng)造知識(shí)的前人的“三邊互動(dòng)”。學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程不單純是傾聽教師的講解，更多的是與知識(shí)發(fā)明者之間的直接互動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程，經(jīng)歷知識(shí)創(chuàng)造者的思考過(guò)程，體驗(yàn)創(chuàng)造知識(shí)的成功與失敗，經(jīng)歷創(chuàng)造知識(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的過(guò)程，經(jīng)歷通過(guò)反思修正錯(cuò)誤的過(guò)程。學(xué)習(xí)的過(guò)程不僅有吸收，而且伴隨著主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的過(guò)程。教師不單純是知識(shí)的傳授者，更多的作用是啟發(fā)、鼓勵(lì)、組織和幫助學(xué)生的學(xué)習(xí)。（見圖2）

這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)不是將數(shù)學(xué)看作是現(xiàn)成的工具，教學(xué)的目的也不單純是正確、熟練地使用這樣的工具，而是將數(shù)學(xué)知識(shí)（包括方法）視為人類社會(huì)活動(dòng)的產(chǎn)物，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是經(jīng)歷這樣的社會(huì)活動(dòng)的過(guò)程，在這樣的過(guò)程中獲得多方面的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)習(xí)得相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。正是由于學(xué)生、教師和知識(shí)創(chuàng)造者在教學(xué)活動(dòng)中各得其所，也就使得數(shù)學(xué)教學(xué)具有了所謂的文化性。

二、數(shù)學(xué)知識(shí)與人的活動(dòng)

概括地說(shuō)，“變教為學(xué)”的文化性主要體現(xiàn)于三個(gè)方面。從課程的角度說(shuō)，是把數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)于人的社會(huì)活動(dòng)中；從教師教的角度說(shuō)，是通過(guò)布置學(xué)習(xí)任務(wù)使得學(xué)生自主或合作地經(jīng)歷這樣的活動(dòng)；[4]從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度說(shuō)，是通過(guò)活動(dòng)提取、總結(jié)并評(píng)價(jià)相關(guān)的知識(shí)。這一切的核心是建立數(shù)學(xué)知識(shí)與人和人類活動(dòng)的關(guān)系。

比如小學(xué)五年級(jí)課程內(nèi)容中“因數(shù)”與“倍數(shù)”的概念。從數(shù)學(xué)的角度看，當(dāng)數(shù)a被數(shù)b整除時(shí)，數(shù)b叫作數(shù)a的因數(shù)，同時(shí)數(shù)a叫作數(shù)b的倍數(shù)。舉例說(shuō)，因?yàn)?0能被12整除，所以12是60的因數(shù)，同時(shí)60是12的倍數(shù)。如果對(duì)于因數(shù)與倍數(shù)的學(xué)習(xí)僅限于此，只能說(shuō)是多知道了一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)，而“多知道一點(diǎn)”或者“少知道一點(diǎn)”對(duì)一個(gè)人的發(fā)展來(lái)說(shuō)并不是最重要的。重要的應(yīng)當(dāng)是體驗(yàn)到因數(shù)與倍數(shù)這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)與人的關(guān)系。

數(shù)學(xué)概念是人發(fā)明（Invention）出來(lái)的知識(shí)，人的任何發(fā)明活動(dòng)一定是依據(jù)人的需要而進(jìn)行的。學(xué)生如果僅僅從定義或?qū)嵗兄朗裁词且驍?shù)和倍數(shù)，并沒(méi)有體驗(yàn)到人是依據(jù)什么樣的需要發(fā)明出這個(gè)概念。因此依據(jù)“變教為學(xué)”的文化性，首先應(yīng)當(dāng)把這樣的概念融入到人的社會(huì)活動(dòng)中。

比如在人類歷史中，“12”可以說(shuō)是極其特殊的數(shù)?？梢噪S意列舉出12在人類活動(dòng)中的廣泛應(yīng)用，比如：

一年劃分為12個(gè)月；

中國(guó)古時(shí)將一個(gè)晝夜劃分為12個(gè)時(shí)辰；

中國(guó)傳統(tǒng)文化中的12地支（子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）；

與12地支相對(duì)應(yīng)的12生肖（鼠，牛，虎，兔，龍，蛇，馬，羊，猴，雞，狗，豬）；

英國(guó)1971年之前使用的錢幣的換算關(guān)系為，1鎊（Pound）等于12先令（Shilling）；

語(yǔ)言中“一打（英文為Dozen）”代表12個(gè)；

音樂(lè)中的12平均律，等等。

一個(gè)自然的問(wèn)題是，12這個(gè)數(shù)為什么如此受人青睞？無(wú)獨(dú)有偶，還可以發(fā)現(xiàn)許多12的倍數(shù)也有著廣泛應(yīng)用，比如：

一晝夜分為24個(gè)小時(shí)；

中國(guó)傳統(tǒng)中一年有24個(gè)節(jié)氣；

一個(gè)小時(shí)等于60分鐘；

歷史名著《西游記》中孫悟空能夠72變；

《水滸傳》中有一百單八（108）將；

圓周角劃分為360度，等等。

其中24是12的2倍，60是12的5倍，72是12的6倍，108是12的9倍，360是12的30倍。凡此都說(shuō)明12這個(gè)數(shù)一定有其特殊之處。

考查一下能夠整除12的幾個(gè)數(shù)（不包括12本身）的和，也就是12的全部真因數(shù)之和，可以發(fā)現(xiàn)：

1+2+3+4+6=16

這個(gè)和16比12本身要大。選擇其他數(shù)看看，比如能夠整除8的全部真因數(shù)之和為（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因數(shù)之和為（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12這樣的數(shù)之所以應(yīng)用廣泛，一個(gè)可能的原因就在于其自身因數(shù)個(gè)數(shù)多，并且因數(shù)之和相對(duì)于自身來(lái)說(shuō)比較大。古希臘時(shí)期人們把像12這樣的數(shù)稱為“富裕數(shù)（Abundant Number）”。在此基礎(chǔ)上，人們還發(fā)現(xiàn)“富裕數(shù)”的倍數(shù)仍然是富裕數(shù)，這也就說(shuō)明了為什么12的倍數(shù)也有廣泛的應(yīng)用。比如在100以內(nèi)60是因數(shù)個(gè)數(shù)最多的數(shù)中最小的一個(gè)，一共有12個(gè)因數(shù)，分別是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此規(guī)定1小時(shí)等于60分鐘，就可以使得把1小時(shí)平均分后所對(duì)應(yīng)的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況最多。（見圖3）

對(duì)比兩種情況就可以發(fā)現(xiàn)，規(guī)定1小時(shí)等于60分鐘的優(yōu)勢(shì)就是將1小時(shí)平分后，所得到的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況在100以內(nèi)是最多的。其原因就在于60的因數(shù)個(gè)數(shù)在100以內(nèi)是最多的。

三、數(shù)學(xué)知識(shí)與人的情感

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，一些數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展并不是依賴于其實(shí)際應(yīng)用，而是與人的情感因素密切相關(guān)的。在兩千多年前的古希臘時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoreans）學(xué)派把像6這樣的所有真因數(shù)之和等于自身的數(shù)叫作“完美數(shù)（英譯為Perfect Number）”，之后的尼克瑪楚斯（希臘：Nicomachus，約公元60-120年）把像12這樣的數(shù)，也就是所有真因數(shù)之和大于自身的數(shù)，叫作“富裕數(shù)”，像8這樣的全部真因數(shù)之和小于自身的數(shù)，叫作“貧窮數(shù)（英譯為Deficient Number）”。[5]根據(jù)這三種數(shù)的特點(diǎn)，把“數(shù)”與神話中的“神”作類比。像6這樣的完美數(shù)類比為愛與美的女神維納斯（英譯為Venus）；像12這樣的富裕數(shù)類比為百手巨人布里亞柔斯（英譯為Briareus或Aegaeon）；像8這樣的貧窮數(shù)類比為獨(dú)眼巨人庫(kù)克洛普斯（英譯為Cyclops）。

人們還發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)的倍數(shù)一定是富裕數(shù)，比如完美數(shù)6的2倍12是富裕數(shù)，6的3倍18也是富裕數(shù)。另外一個(gè)發(fā)現(xiàn)是，完美數(shù)的真因數(shù)一定是貧窮數(shù)，比如完美數(shù)6的真因數(shù)分別是1、2、3，這三個(gè)數(shù)都是貧窮數(shù)。100以內(nèi)另外一個(gè)完美數(shù)是28，它的2倍是56，是一個(gè)富裕數(shù)。28的真因數(shù)分別為1、2、4、7、14，這些數(shù)都是貧窮數(shù)。

古希臘人把這樣的關(guān)系與人類社會(huì)中的人或事物作類比，如果把“富?！焙汀柏毟F”都看作不好的，視為“壞（Evil）”，把“完美”視為“好（Good）”的，把因數(shù)與倍數(shù)視為“對(duì)立（Opposed）”的關(guān)系。那么就可以發(fā)現(xiàn)，“好”與“好”永遠(yuǎn)不會(huì)對(duì)立；“好”與“壞”必然對(duì)立；“壞”與“壞”可能對(duì)立?！昂谩笔菢O少的，就像100以內(nèi)只有兩個(gè)完美數(shù)（6和28），而“壞”是大量存在并且形式多樣的?！昂谩庇肋h(yuǎn)是“過(guò)分（Excess）”與“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

舉例來(lái)說(shuō)，“謹(jǐn)小慎微（Timidity）”是一種勇氣缺失的表現(xiàn)，而“膽大妄為（Audacity）”又顯過(guò)分魯莽，二者平均后如果是“智勇雙全（Fortitude）”就認(rèn)為是一種完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化與智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是過(guò)分聰明，二者平均成為做事“審慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，數(shù)學(xué)中因數(shù)與倍數(shù)的概念蘊(yùn)含著豐富的人文因素?！白兘虨閷W(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)并不是期望教師在課堂上講解這樣的內(nèi)容，而是期望通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷此類問(wèn)題的思考過(guò)程，在這樣的過(guò)程中經(jīng)歷、體驗(yàn)并生成更多的與自身思維、情感和經(jīng)驗(yàn)有關(guān)的內(nèi)容。這樣的過(guò)程就彰顯出數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性了。

參考文獻(xiàn)

[1]郜舒竹. “變教為學(xué)”需要“自然、自由、自主”的課堂氛圍[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（6）.

[2]徐乃楠，王憲昌. 數(shù)學(xué)文化熱與數(shù)學(xué)文化史研究[J]. 自然辯證法通訊， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “變教為學(xué)”說(shuō)備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）

這個(gè)和16比12本身要大。選擇其他數(shù)看看，比如能夠整除8的全部真因數(shù)之和為（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因數(shù)之和為（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12這樣的數(shù)之所以應(yīng)用廣泛，一個(gè)可能的原因就在于其自身因數(shù)個(gè)數(shù)多，并且因數(shù)之和相對(duì)于自身來(lái)說(shuō)比較大。古希臘時(shí)期人們把像12這樣的數(shù)稱為“富裕數(shù)（Abundant Number）”。在此基礎(chǔ)上，人們還發(fā)現(xiàn)“富裕數(shù)”的倍數(shù)仍然是富裕數(shù)，這也就說(shuō)明了為什么12的倍數(shù)也有廣泛的應(yīng)用。比如在100以內(nèi)60是因數(shù)個(gè)數(shù)最多的數(shù)中最小的一個(gè)，一共有12個(gè)因數(shù)，分別是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此規(guī)定1小時(shí)等于60分鐘，就可以使得把1小時(shí)平均分后所對(duì)應(yīng)的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況最多。（見圖3）

對(duì)比兩種情況就可以發(fā)現(xiàn)，規(guī)定1小時(shí)等于60分鐘的優(yōu)勢(shì)就是將1小時(shí)平分后，所得到的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況在100以內(nèi)是最多的。其原因就在于60的因數(shù)個(gè)數(shù)在100以內(nèi)是最多的。

三、數(shù)學(xué)知識(shí)與人的情感

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，一些數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展并不是依賴于其實(shí)際應(yīng)用，而是與人的情感因素密切相關(guān)的。在兩千多年前的古希臘時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoreans）學(xué)派把像6這樣的所有真因數(shù)之和等于自身的數(shù)叫作“完美數(shù)（英譯為Perfect Number）”，之后的尼克瑪楚斯（希臘：Nicomachus，約公元60-120年）把像12這樣的數(shù)，也就是所有真因數(shù)之和大于自身的數(shù)，叫作“富裕數(shù)”，像8這樣的全部真因數(shù)之和小于自身的數(shù)，叫作“貧窮數(shù)（英譯為Deficient Number）”。[5]根據(jù)這三種數(shù)的特點(diǎn)，把“數(shù)”與神話中的“神”作類比。像6這樣的完美數(shù)類比為愛與美的女神維納斯（英譯為Venus）；像12這樣的富裕數(shù)類比為百手巨人布里亞柔斯（英譯為Briareus或Aegaeon）；像8這樣的貧窮數(shù)類比為獨(dú)眼巨人庫(kù)克洛普斯（英譯為Cyclops）。

人們還發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)的倍數(shù)一定是富裕數(shù)，比如完美數(shù)6的2倍12是富裕數(shù)，6的3倍18也是富裕數(shù)。另外一個(gè)發(fā)現(xiàn)是，完美數(shù)的真因數(shù)一定是貧窮數(shù)，比如完美數(shù)6的真因數(shù)分別是1、2、3，這三個(gè)數(shù)都是貧窮數(shù)。100以內(nèi)另外一個(gè)完美數(shù)是28，它的2倍是56，是一個(gè)富裕數(shù)。28的真因數(shù)分別為1、2、4、7、14，這些數(shù)都是貧窮數(shù)。

古希臘人把這樣的關(guān)系與人類社會(huì)中的人或事物作類比，如果把“富?！焙汀柏毟F”都看作不好的，視為“壞（Evil）”，把“完美”視為“好（Good）”的，把因數(shù)與倍數(shù)視為“對(duì)立（Opposed）”的關(guān)系。那么就可以發(fā)現(xiàn)，“好”與“好”永遠(yuǎn)不會(huì)對(duì)立；“好”與“壞”必然對(duì)立；“壞”與“壞”可能對(duì)立?！昂谩笔菢O少的，就像100以內(nèi)只有兩個(gè)完美數(shù)（6和28），而“壞”是大量存在并且形式多樣的?！昂谩庇肋h(yuǎn)是“過(guò)分（Excess）”與“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

舉例來(lái)說(shuō)，“謹(jǐn)小慎微（Timidity）”是一種勇氣缺失的表現(xiàn)，而“膽大妄為（Audacity）”又顯過(guò)分魯莽，二者平均后如果是“智勇雙全（Fortitude）”就認(rèn)為是一種完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化與智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是過(guò)分聰明，二者平均成為做事“審慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，數(shù)學(xué)中因數(shù)與倍數(shù)的概念蘊(yùn)含著豐富的人文因素?！白兘虨閷W(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)并不是期望教師在課堂上講解這樣的內(nèi)容，而是期望通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷此類問(wèn)題的思考過(guò)程，在這樣的過(guò)程中經(jīng)歷、體驗(yàn)并生成更多的與自身思維、情感和經(jīng)驗(yàn)有關(guān)的內(nèi)容。這樣的過(guò)程就彰顯出數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性了。

參考文獻(xiàn)

[1]郜舒竹. “變教為學(xué)”需要“自然、自由、自主”的課堂氛圍[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（6）.

[2]徐乃楠，王憲昌. 數(shù)學(xué)文化熱與數(shù)學(xué)文化史研究[J]. 自然辯證法通訊， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “變教為學(xué)”說(shuō)備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）

這個(gè)和16比12本身要大。選擇其他數(shù)看看，比如能夠整除8的全部真因數(shù)之和為（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因數(shù)之和為（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12這樣的數(shù)之所以應(yīng)用廣泛，一個(gè)可能的原因就在于其自身因數(shù)個(gè)數(shù)多，并且因數(shù)之和相對(duì)于自身來(lái)說(shuō)比較大。古希臘時(shí)期人們把像12這樣的數(shù)稱為“富裕數(shù)（Abundant Number）”。在此基礎(chǔ)上，人們還發(fā)現(xiàn)“富裕數(shù)”的倍數(shù)仍然是富裕數(shù)，這也就說(shuō)明了為什么12的倍數(shù)也有廣泛的應(yīng)用。比如在100以內(nèi)60是因數(shù)個(gè)數(shù)最多的數(shù)中最小的一個(gè)，一共有12個(gè)因數(shù)，分別是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此規(guī)定1小時(shí)等于60分鐘，就可以使得把1小時(shí)平均分后所對(duì)應(yīng)的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況最多。（見圖3）

對(duì)比兩種情況就可以發(fā)現(xiàn)，規(guī)定1小時(shí)等于60分鐘的優(yōu)勢(shì)就是將1小時(shí)平分后，所得到的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況在100以內(nèi)是最多的。其原因就在于60的因數(shù)個(gè)數(shù)在100以內(nèi)是最多的。

三、數(shù)學(xué)知識(shí)與人的情感

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，一些數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展并不是依賴于其實(shí)際應(yīng)用，而是與人的情感因素密切相關(guān)的。在兩千多年前的古希臘時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoreans）學(xué)派把像6這樣的所有真因數(shù)之和等于自身的數(shù)叫作“完美數(shù)（英譯為Perfect Number）”，之后的尼克瑪楚斯（希臘：Nicomachus，約公元60-120年）把像12這樣的數(shù)，也就是所有真因數(shù)之和大于自身的數(shù)，叫作“富裕數(shù)”，像8這樣的全部真因數(shù)之和小于自身的數(shù)，叫作“貧窮數(shù)（英譯為Deficient Number）”。[5]根據(jù)這三種數(shù)的特點(diǎn)，把“數(shù)”與神話中的“神”作類比。像6這樣的完美數(shù)類比為愛與美的女神維納斯（英譯為Venus）；像12這樣的富裕數(shù)類比為百手巨人布里亞柔斯（英譯為Briareus或Aegaeon）；像8這樣的貧窮數(shù)類比為獨(dú)眼巨人庫(kù)克洛普斯（英譯為Cyclops）。

人們還發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)的倍數(shù)一定是富裕數(shù)，比如完美數(shù)6的2倍12是富裕數(shù)，6的3倍18也是富裕數(shù)。另外一個(gè)發(fā)現(xiàn)是，完美數(shù)的真因數(shù)一定是貧窮數(shù)，比如完美數(shù)6的真因數(shù)分別是1、2、3，這三個(gè)數(shù)都是貧窮數(shù)。100以內(nèi)另外一個(gè)完美數(shù)是28，它的2倍是56，是一個(gè)富裕數(shù)。28的真因數(shù)分別為1、2、4、7、14，這些數(shù)都是貧窮數(shù)。

古希臘人把這樣的關(guān)系與人類社會(huì)中的人或事物作類比，如果把“富?！焙汀柏毟F”都看作不好的，視為“壞（Evil）”，把“完美”視為“好（Good）”的，把因數(shù)與倍數(shù)視為“對(duì)立（Opposed）”的關(guān)系。那么就可以發(fā)現(xiàn)，“好”與“好”永遠(yuǎn)不會(huì)對(duì)立；“好”與“壞”必然對(duì)立；“壞”與“壞”可能對(duì)立?！昂谩笔菢O少的，就像100以內(nèi)只有兩個(gè)完美數(shù)（6和28），而“壞”是大量存在并且形式多樣的。“好”永遠(yuǎn)是“過(guò)分（Excess）”與“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

舉例來(lái)說(shuō)，“謹(jǐn)小慎微（Timidity）”是一種勇氣缺失的表現(xiàn)，而“膽大妄為（Audacity）”又顯過(guò)分魯莽，二者平均后如果是“智勇雙全（Fortitude）”就認(rèn)為是一種完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化與智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是過(guò)分聰明，二者平均成為做事“審慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，數(shù)學(xué)中因數(shù)與倍數(shù)的概念蘊(yùn)含著豐富的人文因素。“變教為學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)并不是期望教師在課堂上講解這樣的內(nèi)容，而是期望通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷此類問(wèn)題的思考過(guò)程，在這樣的過(guò)程中經(jīng)歷、體驗(yàn)并生成更多的與自身思維、情感和經(jīng)驗(yàn)有關(guān)的內(nèi)容。這樣的過(guò)程就彰顯出數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性了。

參考文獻(xiàn)

[1]郜舒竹. “變教為學(xué)”需要“自然、自由、自主”的課堂氛圍[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（6）.

[2]徐乃楠，王憲昌. 數(shù)學(xué)文化熱與數(shù)學(xué)文化史研究[J]. 自然辯證法通訊， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “變教為學(xué)”說(shuō)備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）