小學(xué)數(shù)學(xué)典型錯(cuò)例分析

孫臨美

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，習(xí)題是個(gè)重要的載體，它承載著數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，學(xué)生通過(guò)習(xí)題可以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握與理解，教師也可以利用習(xí)題開(kāi)展教學(xué)工作和檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。因此，筆者以自己任教的兩個(gè)班的學(xué)生為研究對(duì)象，其中五（3）班有35人，五（4）班有36人，共計(jì)71人。同時(shí)，以五年級(jí)上的一次綜合練習(xí)為例，分析班級(jí)學(xué)生的集中錯(cuò)誤點(diǎn)，管窺當(dāng)前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況，探究由于錯(cuò)誤所折射出的問(wèn)題，為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性而努力。

一、生活知識(shí)匱乏，關(guān)鍵信息抓不準(zhǔn)

“讓數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，回到生活中去”是新課程改革以來(lái)非常重要的一個(gè)理念，明確了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)認(rèn)真貫徹這一理念。但是，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生生活知識(shí)的匱乏，往往不能理解相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能抓準(zhǔn)關(guān)鍵信息，許多簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是困難重重。

例1：電子秤顯示0.725kg，單價(jià)是25元/kg，張師傅實(shí)付多少元？

正確解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）

錯(cuò)例分析：兩個(gè)班共有46位學(xué)生將結(jié)果寫(xiě)成了18.125，占總?cè)藬?shù)的64.7%，只有11位學(xué)生正確寫(xiě)成18.13，占總?cè)藬?shù)的15.5%，另有14位學(xué)生完全算錯(cuò)。考查的知識(shí)點(diǎn)是結(jié)合生活實(shí)際“元、角、分”保留兩位小數(shù)，題目中“實(shí)付”兩字也提醒學(xué)生需要結(jié)合實(shí)際。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：一是平時(shí)教學(xué)中雖然強(qiáng)調(diào)過(guò)保留小數(shù)位數(shù)的方法，即“四舍五入”的方法，但是日常的練習(xí)題中多已明確告知學(xué)生需要保留的位數(shù)，不需學(xué)生自己判斷，而此題保留位數(shù)是隱含的信息，需要學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和分析；二是生活知識(shí)缺乏，實(shí)際問(wèn)題的分析能力偏弱，沒(méi)有抓住題目中的“實(shí)付”這一關(guān)鍵信息解決問(wèn)題。

二、思考不深入，數(shù)學(xué)思維周密性不夠

數(shù)學(xué)思維是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維，它具有深刻性、廣闊性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、敏捷性、批判性。由于小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，并且主觀意識(shí)較強(qiáng)，所以，在數(shù)學(xué)思維上會(huì)出現(xiàn)思考不夠深入，思維不夠周密的問(wèn)題。

例2：一個(gè)平行四邊形的高是10厘米，它的兩條邊長(zhǎng)分別是8厘米和12厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是多少？

錯(cuò)例分析：兩個(gè)班共有38人發(fā)生錯(cuò)誤，占總?cè)藬?shù)的53.5%。發(fā)生錯(cuò)誤的學(xué)生大多認(rèn)為面積有兩種可能性，即為80平方厘米或者120平方厘米，原因在于認(rèn)為題目中的高沒(méi)有說(shuō)明具體對(duì)應(yīng)的底，那么兩條邊都可能作為平行四邊形的底。但是，若以12厘米這條邊為底，高為10厘米，斜邊為8厘米，這樣就不可能組成直角三角形，也就是說(shuō)，上圖中左邊的所謂平行四邊形是不存在的。因此，這個(gè)平行四邊形的底只能選擇8厘米這條邊，面積為8×10=80平方厘米。這一錯(cuò)誤的產(chǎn)生說(shuō)明學(xué)生思維的周密性仍然不足，雖然考慮到了可能存在的兩種情況，但沒(méi)有進(jìn)一步去推敲這兩種可能性是否一定存在。

三、數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與代換能力不足

隨著新課程改革的深入開(kāi)展，新的教育理念、教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生了巨大的影響，也對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高提出了新的要求。其中數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與代換能力尤為重要，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不但要抓住題目中的關(guān)鍵信息，還要學(xué)會(huì)分析題干之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)綜合考慮問(wèn)題，找到“中間量”，通過(guò)等量代換或轉(zhuǎn)化的形式將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。但顯然，從習(xí)題的錯(cuò)例中不難看出學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與代換的能力仍顯不足。

例3：

上圖中ABCD是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形， 三角形DOC的面積比三角形AOE的面積小8平方厘米，求陰影部分的面積。

正確解法：三角形ACD的面積為10×10÷2=50（平方厘米），根據(jù)等底等高的性質(zhì)，三角形ACD和三角形CDE面積相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面積相等，陰影部分的面積是50+8=58（平方厘米）。

錯(cuò)例分析：該題兩個(gè)班錯(cuò)誤的共有16人，占總?cè)藬?shù)的22.5%。大多錯(cuò)誤在于學(xué)生沒(méi)有找到三角形ACD和三角形CDE面積相等這一隱含信息，所以不會(huì)做。此題考查學(xué)生等積變形和面積轉(zhuǎn)化的思想，其實(shí)在平時(shí)練習(xí)中也有過(guò)類似的題目，因此，學(xué)生對(duì)于圖形面積之間多幾與少幾的轉(zhuǎn)化方法并不陌生，只是這題需要先利用等積變換知道三角形ACD的面積等于三角形CDE的面積，再通過(guò)轉(zhuǎn)化和代換來(lái)求出陰影面積，比平時(shí)的練習(xí)多了一步等積變形，特別考驗(yàn)學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)思維中的轉(zhuǎn)化與代換能力。

四、審題不清，易上干擾信息的當(dāng)

“審題”是解題的前提，是正確解題的關(guān)鍵之一，不認(rèn)真審題就無(wú)法進(jìn)行分析推理。所謂“審題”，就是弄清題目?jī)?nèi)容，弄清已經(jīng)知道什么，要求（求證）什么。所以審題能力的高低，直接影響到學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平。小學(xué)生的注意力不夠穩(wěn)定，并且處于學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成時(shí)期，特別容易犯審題不清的錯(cuò)誤，也容易受題目中無(wú)關(guān)信息的干擾。

例4：一瓶可樂(lè)售價(jià)2.50元，M老師買了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的數(shù)中，K可能是（ ）。

選項(xiàng)：①任何數(shù) ②15 ③25

正確解法：找回（50-2.5K）元，K的范圍是0

錯(cuò)例分析：這題兩個(gè)班中錯(cuò)誤的有17人，占總?cè)藬?shù)的24.0%。集中錯(cuò)誤發(fā)生在學(xué)生將M老師當(dāng)成M個(gè)老師去計(jì)算了，即（50-2.5KM）元，屬于審題不夠清晰，不能分辨信息的有效性。這題考查的知識(shí)點(diǎn)是用字母表示數(shù)，因?yàn)樵撝R(shí)點(diǎn)上新課時(shí)已經(jīng)接觸過(guò)類似題型，變化的只是M老師這一干擾項(xiàng)； 而K的可能性范圍在課堂上的類似題型中也有過(guò)辨析，而本題中考查學(xué)生不僅要知道范圍，還得知道這個(gè)數(shù)只能是整數(shù)，其實(shí)是考慮了“生活中的數(shù)學(xué)元素”。因此，看學(xué)生錯(cuò)誤的高發(fā)點(diǎn)，作為教師也需反思，我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中，尤其是在例題教學(xué)中，要特別重視培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，開(kāi)闊審題思路，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的審題步驟和方法，這樣才能提高學(xué)生的解題水平和解題技巧。

眾多的典型錯(cuò)誤，折射出當(dāng)前小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中的許多問(wèn)題。產(chǎn)生的原因也有很多，其中包括學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、數(shù)學(xué)思維方法方面的原因，也包括課堂教學(xué)方面存在的不足。因此，筆者認(rèn)為，應(yīng)從學(xué)生的主體性著手，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素養(yǎng)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，在日常教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維方法的滲透，分層展開(kāi)練習(xí)，分層差異評(píng)價(jià)，通過(guò)多方面的措施來(lái)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到“輕負(fù)高質(zhì)”的目標(biāo)，最終促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高。

（浙江省杭州濮家小學(xué)教育集團(tuán) 310000）

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，習(xí)題是個(gè)重要的載體，它承載著數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，學(xué)生通過(guò)習(xí)題可以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握與理解，教師也可以利用習(xí)題開(kāi)展教學(xué)工作和檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。因此，筆者以自己任教的兩個(gè)班的學(xué)生為研究對(duì)象，其中五（3）班有35人，五（4）班有36人，共計(jì)71人。同時(shí)，以五年級(jí)上的一次綜合練習(xí)為例，分析班級(jí)學(xué)生的集中錯(cuò)誤點(diǎn)，管窺當(dāng)前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況，探究由于錯(cuò)誤所折射出的問(wèn)題，為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性而努力。

一、生活知識(shí)匱乏，關(guān)鍵信息抓不準(zhǔn)

“讓數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，回到生活中去”是新課程改革以來(lái)非常重要的一個(gè)理念，明確了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)認(rèn)真貫徹這一理念。但是，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生生活知識(shí)的匱乏，往往不能理解相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能抓準(zhǔn)關(guān)鍵信息，許多簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是困難重重。

例1：電子秤顯示0.725kg，單價(jià)是25元/kg，張師傅實(shí)付多少元？

正確解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）

錯(cuò)例分析：兩個(gè)班共有46位學(xué)生將結(jié)果寫(xiě)成了18.125，占總?cè)藬?shù)的64.7%，只有11位學(xué)生正確寫(xiě)成18.13，占總?cè)藬?shù)的15.5%，另有14位學(xué)生完全算錯(cuò)。考查的知識(shí)點(diǎn)是結(jié)合生活實(shí)際“元、角、分”保留兩位小數(shù)，題目中“實(shí)付”兩字也提醒學(xué)生需要結(jié)合實(shí)際。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：一是平時(shí)教學(xué)中雖然強(qiáng)調(diào)過(guò)保留小數(shù)位數(shù)的方法，即“四舍五入”的方法，但是日常的練習(xí)題中多已明確告知學(xué)生需要保留的位數(shù)，不需學(xué)生自己判斷，而此題保留位數(shù)是隱含的信息，需要學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和分析；二是生活知識(shí)缺乏，實(shí)際問(wèn)題的分析能力偏弱，沒(méi)有抓住題目中的“實(shí)付”這一關(guān)鍵信息解決問(wèn)題。

二、思考不深入，數(shù)學(xué)思維周密性不夠

數(shù)學(xué)思維是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維，它具有深刻性、廣闊性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、敏捷性、批判性。由于小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，并且主觀意識(shí)較強(qiáng)，所以，在數(shù)學(xué)思維上會(huì)出現(xiàn)思考不夠深入，思維不夠周密的問(wèn)題。

例2：一個(gè)平行四邊形的高是10厘米，它的兩條邊長(zhǎng)分別是8厘米和12厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是多少？

錯(cuò)例分析：兩個(gè)班共有38人發(fā)生錯(cuò)誤，占總?cè)藬?shù)的53.5%。發(fā)生錯(cuò)誤的學(xué)生大多認(rèn)為面積有兩種可能性，即為80平方厘米或者120平方厘米，原因在于認(rèn)為題目中的高沒(méi)有說(shuō)明具體對(duì)應(yīng)的底，那么兩條邊都可能作為平行四邊形的底。但是，若以12厘米這條邊為底，高為10厘米，斜邊為8厘米，這樣就不可能組成直角三角形，也就是說(shuō)，上圖中左邊的所謂平行四邊形是不存在的。因此，這個(gè)平行四邊形的底只能選擇8厘米這條邊，面積為8×10=80平方厘米。這一錯(cuò)誤的產(chǎn)生說(shuō)明學(xué)生思維的周密性仍然不足，雖然考慮到了可能存在的兩種情況，但沒(méi)有進(jìn)一步去推敲這兩種可能性是否一定存在。

三、數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與代換能力不足

隨著新課程改革的深入開(kāi)展，新的教育理念、教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生了巨大的影響，也對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高提出了新的要求。其中數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與代換能力尤為重要，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不但要抓住題目中的關(guān)鍵信息，還要學(xué)會(huì)分析題干之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)綜合考慮問(wèn)題，找到“中間量”，通過(guò)等量代換或轉(zhuǎn)化的形式將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。但顯然，從習(xí)題的錯(cuò)例中不難看出學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與代換的能力仍顯不足。

例3：

上圖中ABCD是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形， 三角形DOC的面積比三角形AOE的面積小8平方厘米，求陰影部分的面積。

正確解法：三角形ACD的面積為10×10÷2=50（平方厘米），根據(jù)等底等高的性質(zhì)，三角形ACD和三角形CDE面積相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面積相等，陰影部分的面積是50+8=58（平方厘米）。

錯(cuò)例分析：該題兩個(gè)班錯(cuò)誤的共有16人，占總?cè)藬?shù)的22.5%。大多錯(cuò)誤在于學(xué)生沒(méi)有找到三角形ACD和三角形CDE面積相等這一隱含信息，所以不會(huì)做。此題考查學(xué)生等積變形和面積轉(zhuǎn)化的思想，其實(shí)在平時(shí)練習(xí)中也有過(guò)類似的題目，因此，學(xué)生對(duì)于圖形面積之間多幾與少幾的轉(zhuǎn)化方法并不陌生，只是這題需要先利用等積變換知道三角形ACD的面積等于三角形CDE的面積，再通過(guò)轉(zhuǎn)化和代換來(lái)求出陰影面積，比平時(shí)的練習(xí)多了一步等積變形，特別考驗(yàn)學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)思維中的轉(zhuǎn)化與代換能力。

四、審題不清，易上干擾信息的當(dāng)

“審題”是解題的前提，是正確解題的關(guān)鍵之一，不認(rèn)真審題就無(wú)法進(jìn)行分析推理。所謂“審題”，就是弄清題目?jī)?nèi)容，弄清已經(jīng)知道什么，要求（求證）什么。所以審題能力的高低，直接影響到學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平。小學(xué)生的注意力不夠穩(wěn)定，并且處于學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成時(shí)期，特別容易犯審題不清的錯(cuò)誤，也容易受題目中無(wú)關(guān)信息的干擾。

例4：一瓶可樂(lè)售價(jià)2.50元，M老師買了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的數(shù)中，K可能是（ ）。

選項(xiàng)：①任何數(shù) ②15 ③25

正確解法：找回（50-2.5K）元，K的范圍是0

錯(cuò)例分析：這題兩個(gè)班中錯(cuò)誤的有17人，占總?cè)藬?shù)的24.0%。集中錯(cuò)誤發(fā)生在學(xué)生將M老師當(dāng)成M個(gè)老師去計(jì)算了，即（50-2.5KM）元，屬于審題不夠清晰，不能分辨信息的有效性。這題考查的知識(shí)點(diǎn)是用字母表示數(shù)，因?yàn)樵撝R(shí)點(diǎn)上新課時(shí)已經(jīng)接觸過(guò)類似題型，變化的只是M老師這一干擾項(xiàng)； 而K的可能性范圍在課堂上的類似題型中也有過(guò)辨析，而本題中考查學(xué)生不僅要知道范圍，還得知道這個(gè)數(shù)只能是整數(shù)，其實(shí)是考慮了“生活中的數(shù)學(xué)元素”。因此，看學(xué)生錯(cuò)誤的高發(fā)點(diǎn)，作為教師也需反思，我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中，尤其是在例題教學(xué)中，要特別重視培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，開(kāi)闊審題思路，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的審題步驟和方法，這樣才能提高學(xué)生的解題水平和解題技巧。

眾多的典型錯(cuò)誤，折射出當(dāng)前小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中的許多問(wèn)題。產(chǎn)生的原因也有很多，其中包括學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、數(shù)學(xué)思維方法方面的原因，也包括課堂教學(xué)方面存在的不足。因此，筆者認(rèn)為，應(yīng)從學(xué)生的主體性著手，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素養(yǎng)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，在日常教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維方法的滲透，分層展開(kāi)練習(xí)，分層差異評(píng)價(jià)，通過(guò)多方面的措施來(lái)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到“輕負(fù)高質(zhì)”的目標(biāo)，最終促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高。

（浙江省杭州濮家小學(xué)教育集團(tuán) 310000）

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，習(xí)題是個(gè)重要的載體，它承載著數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，學(xué)生通過(guò)習(xí)題可以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握與理解，教師也可以利用習(xí)題開(kāi)展教學(xué)工作和檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。因此，筆者以自己任教的兩個(gè)班的學(xué)生為研究對(duì)象，其中五（3）班有35人，五（4）班有36人，共計(jì)71人。同時(shí)，以五年級(jí)上的一次綜合練習(xí)為例，分析班級(jí)學(xué)生的集中錯(cuò)誤點(diǎn)，管窺當(dāng)前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況，探究由于錯(cuò)誤所折射出的問(wèn)題，為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性而努力。

一、生活知識(shí)匱乏，關(guān)鍵信息抓不準(zhǔn)

“讓數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，回到生活中去”是新課程改革以來(lái)非常重要的一個(gè)理念，明確了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)認(rèn)真貫徹這一理念。但是，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生生活知識(shí)的匱乏，往往不能理解相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能抓準(zhǔn)關(guān)鍵信息，許多簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是困難重重。

例1：電子秤顯示0.725kg，單價(jià)是25元/kg，張師傅實(shí)付多少元？

正確解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）

錯(cuò)例分析：兩個(gè)班共有46位學(xué)生將結(jié)果寫(xiě)成了18.125，占總?cè)藬?shù)的64.7%，只有11位學(xué)生正確寫(xiě)成18.13，占總?cè)藬?shù)的15.5%，另有14位學(xué)生完全算錯(cuò)?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)是結(jié)合生活實(shí)際“元、角、分”保留兩位小數(shù)，題目中“實(shí)付”兩字也提醒學(xué)生需要結(jié)合實(shí)際。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：一是平時(shí)教學(xué)中雖然強(qiáng)調(diào)過(guò)保留小數(shù)位數(shù)的方法，即“四舍五入”的方法，但是日常的練習(xí)題中多已明確告知學(xué)生需要保留的位數(shù)，不需學(xué)生自己判斷，而此題保留位數(shù)是隱含的信息，需要學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和分析；二是生活知識(shí)缺乏，實(shí)際問(wèn)題的分析能力偏弱，沒(méi)有抓住題目中的“實(shí)付”這一關(guān)鍵信息解決問(wèn)題。

二、思考不深入，數(shù)學(xué)思維周密性不夠

數(shù)學(xué)思維是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維，它具有深刻性、廣闊性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、敏捷性、批判性。由于小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，并且主觀意識(shí)較強(qiáng)，所以，在數(shù)學(xué)思維上會(huì)出現(xiàn)思考不夠深入，思維不夠周密的問(wèn)題。

例2：一個(gè)平行四邊形的高是10厘米，它的兩條邊長(zhǎng)分別是8厘米和12厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是多少？

錯(cuò)例分析：兩個(gè)班共有38人發(fā)生錯(cuò)誤，占總?cè)藬?shù)的53.5%。發(fā)生錯(cuò)誤的學(xué)生大多認(rèn)為面積有兩種可能性，即為80平方厘米或者120平方厘米，原因在于認(rèn)為題目中的高沒(méi)有說(shuō)明具體對(duì)應(yīng)的底，那么兩條邊都可能作為平行四邊形的底。但是，若以12厘米這條邊為底，高為10厘米，斜邊為8厘米，這樣就不可能組成直角三角形，也就是說(shuō)，上圖中左邊的所謂平行四邊形是不存在的。因此，這個(gè)平行四邊形的底只能選擇8厘米這條邊，面積為8×10=80平方厘米。這一錯(cuò)誤的產(chǎn)生說(shuō)明學(xué)生思維的周密性仍然不足，雖然考慮到了可能存在的兩種情況，但沒(méi)有進(jìn)一步去推敲這兩種可能性是否一定存在。

三、數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與代換能力不足

隨著新課程改革的深入開(kāi)展，新的教育理念、教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生了巨大的影響，也對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高提出了新的要求。其中數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與代換能力尤為重要，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不但要抓住題目中的關(guān)鍵信息，還要學(xué)會(huì)分析題干之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)綜合考慮問(wèn)題，找到“中間量”，通過(guò)等量代換或轉(zhuǎn)化的形式將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。但顯然，從習(xí)題的錯(cuò)例中不難看出學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與代換的能力仍顯不足。

例3：

上圖中ABCD是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形， 三角形DOC的面積比三角形AOE的面積小8平方厘米，求陰影部分的面積。

正確解法：三角形ACD的面積為10×10÷2=50（平方厘米），根據(jù)等底等高的性質(zhì)，三角形ACD和三角形CDE面積相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面積相等，陰影部分的面積是50+8=58（平方厘米）。

錯(cuò)例分析：該題兩個(gè)班錯(cuò)誤的共有16人，占總?cè)藬?shù)的22.5%。大多錯(cuò)誤在于學(xué)生沒(méi)有找到三角形ACD和三角形CDE面積相等這一隱含信息，所以不會(huì)做。此題考查學(xué)生等積變形和面積轉(zhuǎn)化的思想，其實(shí)在平時(shí)練習(xí)中也有過(guò)類似的題目，因此，學(xué)生對(duì)于圖形面積之間多幾與少幾的轉(zhuǎn)化方法并不陌生，只是這題需要先利用等積變換知道三角形ACD的面積等于三角形CDE的面積，再通過(guò)轉(zhuǎn)化和代換來(lái)求出陰影面積，比平時(shí)的練習(xí)多了一步等積變形，特別考驗(yàn)學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)思維中的轉(zhuǎn)化與代換能力。

四、審題不清，易上干擾信息的當(dāng)

“審題”是解題的前提，是正確解題的關(guān)鍵之一，不認(rèn)真審題就無(wú)法進(jìn)行分析推理。所謂“審題”，就是弄清題目?jī)?nèi)容，弄清已經(jīng)知道什么，要求（求證）什么。所以審題能力的高低，直接影響到學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平。小學(xué)生的注意力不夠穩(wěn)定，并且處于學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成時(shí)期，特別容易犯審題不清的錯(cuò)誤，也容易受題目中無(wú)關(guān)信息的干擾。

例4：一瓶可樂(lè)售價(jià)2.50元，M老師買了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的數(shù)中，K可能是（ ）。

選項(xiàng)：①任何數(shù) ②15 ③25

正確解法：找回（50-2.5K）元，K的范圍是0

錯(cuò)例分析：這題兩個(gè)班中錯(cuò)誤的有17人，占總?cè)藬?shù)的24.0%。集中錯(cuò)誤發(fā)生在學(xué)生將M老師當(dāng)成M個(gè)老師去計(jì)算了，即（50-2.5KM）元，屬于審題不夠清晰，不能分辨信息的有效性。這題考查的知識(shí)點(diǎn)是用字母表示數(shù)，因?yàn)樵撝R(shí)點(diǎn)上新課時(shí)已經(jīng)接觸過(guò)類似題型，變化的只是M老師這一干擾項(xiàng)； 而K的可能性范圍在課堂上的類似題型中也有過(guò)辨析，而本題中考查學(xué)生不僅要知道范圍，還得知道這個(gè)數(shù)只能是整數(shù)，其實(shí)是考慮了“生活中的數(shù)學(xué)元素”。因此，看學(xué)生錯(cuò)誤的高發(fā)點(diǎn)，作為教師也需反思，我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中，尤其是在例題教學(xué)中，要特別重視培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，開(kāi)闊審題思路，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的審題步驟和方法，這樣才能提高學(xué)生的解題水平和解題技巧。

眾多的典型錯(cuò)誤，折射出當(dāng)前小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中的許多問(wèn)題。產(chǎn)生的原因也有很多，其中包括學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、數(shù)學(xué)思維方法方面的原因，也包括課堂教學(xué)方面存在的不足。因此，筆者認(rèn)為，應(yīng)從學(xué)生的主體性著手，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素養(yǎng)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，在日常教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維方法的滲透，分層展開(kāi)練習(xí)，分層差異評(píng)價(jià)，通過(guò)多方面的措施來(lái)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到“輕負(fù)高質(zhì)”的目標(biāo)，最終促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高。

（浙江省杭州濮家小學(xué)教育集團(tuán) 310000）