高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)有效性探究

秦泗偉

（延邊第二中學(xué)， 吉林 延吉 133000）

導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和解決函數(shù)問題的主要工具，在高考中占有重要的地位，一般命制一道小題和一道壓軸題，而壓軸題是高分生的必爭之地，考查點集中在導(dǎo)數(shù)的計算、幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，以及與其它數(shù)學(xué)知識如二次函數(shù)、方程、不等式等結(jié)合的含參綜合題。教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)確把握核心概念本質(zhì)、了解學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑、善于總結(jié)解題規(guī)律、認(rèn)真鉆研高考真題能夠使導(dǎo)數(shù)的教學(xué)更加有效。

一、把握概念本質(zhì)，讓教學(xué)更有效

導(dǎo)數(shù)和定積分是微積分的核心概念，具有豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用。它們的定義都是形式化的極限，就高中生得認(rèn)知水平而言，很難理解極限的形式化定義，這種困難也影響了對概念本質(zhì)的理解。教學(xué)中為了避免學(xué)生的認(rèn)知水平和知識間的矛盾，為了更好地把握概念的本質(zhì)，不必追求理論上的嚴(yán)密和過多的形式化技巧。而一些資料上出現(xiàn)的形式化極限的練習(xí)題，教師應(yīng)及時刪減，避免加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

筆者認(rèn)為，教學(xué)中注意從學(xué)生熟悉的事例引入，循序漸進(jìn)，有利于學(xué)生的接受。關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，通過兩個實例氣球膨脹率問題和高臺跳水問題，讓學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，從而理解導(dǎo)數(shù)的概念的本質(zhì)---瞬時變化率。教師要借助曲線在某點切線的斜率和物理中運動物體的瞬時速度從幾何和物理兩個角度去幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念。關(guān)于定積分的概念教學(xué)，借助教科書中兩個典型問題——求曲邊梯形的面積、汽車行駛的路程，著重揭示出“以直代曲”“以不變代變”和“逼近”的思想方法，從而引出定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。

二、把握學(xué)生困惑，讓教學(xué)更有效

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題，首先要注意“定義域優(yōu)先”原則，其次是準(zhǔn)確求導(dǎo)，特別指出的是關(guān)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，教學(xué)中一定要控制好習(xí)題的難度。教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在某些知識點上的錯誤反復(fù)出現(xiàn)，教師如果把握好學(xué)生的困惑點，及時解惑，教學(xué)效果會更好。

問題：(1)求函數(shù) f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為_____。

（2）若函數(shù) f (x)=ax3-x在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_____。

筆者發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中，學(xué)生對已知函數(shù)求單調(diào)區(qū)間和已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍問題容易混淆，關(guān)鍵在等號的取舍上，教學(xué)中可以指導(dǎo)學(xué)生檢驗“=”的取舍。另外對“函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 D”的區(qū)別理解不到位導(dǎo)致解題容易出現(xiàn)失誤。其中第2題學(xué)生易丟掉等號，第3題又不能帶等號，這都需要學(xué)生十分細(xì)心。教學(xué)中除借助冪函數(shù)y=x3的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系進(jìn)行解釋外，還可以進(jìn)一步說明：曲線在該點的切線為與y軸重合的直線；點（0,0）是函數(shù)y=x3的一個拐點，它是凹凸性的分界點，并引導(dǎo)學(xué)生對二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、圖象的凹凸性進(jìn)行探索，為自主學(xué)習(xí)提供素材。

三、把握解題規(guī)律，讓教學(xué)更有效

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的強(qiáng)有力工具，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值、不等式恒成立、有解問題、零點問題等，都需要分析函數(shù)的單調(diào)性。

例如下面兩個問題：

（1）設(shè)a為常數(shù)，求函數(shù) f(x)=-x3+3ax（0≤x≦1）的最大值。

（解答過程略）

含參問題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，往往又是握住兩個問題：為什么討論？如何討論？教學(xué)中筆者引導(dǎo)學(xué)生歸納出導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題的一般套路：（1）先求函數(shù)定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)（能通分或因式分解的要變形徹底）；（3）分析方程f′(x)=0是否有根？什么條件下有根？若方程沒有根，則函數(shù)在定義域上必單調(diào)，取等號時方程有根一般也單調(diào)。（4）方程f′(x)=0若有根，還得討論根是否在函數(shù)的定義域內(nèi)？若根不在定義域內(nèi)則函數(shù)依舊在定義域上單調(diào)，否則函數(shù)就不單調(diào)。這樣，學(xué)生在遇到含參數(shù)問題時就不會無從下手了。

四、把握高考真題，讓教學(xué)更有效

許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點考查的題型，這類題目學(xué)生容易想到用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，有些題目可以求出最值，還有些題用高中知識不易順利解決，只有進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻摵图僭O(shè)反證等綜合方法，這對大多數(shù)學(xué)生來說無疑是很困難的。

問題：（2010年全國新課標(biāo)理科）設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2，

（1）若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍。

原解：（1）a=0 時，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1，

當(dāng) x∈(-∞,0)時，f′(x)<0；當(dāng) x∈(0,+∞ )時，f′(x)>0，

故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少，在(0,+∞)單調(diào)增加，

（II）f′(x)=ex-1-2ax 由（I）知 ex≥ 1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，故f′(x)≥x-21ax=（1-2a）x，從而當(dāng)（1-2a）x≥0，即 a ≤2 時，f′(x)≥0(x≥0)，而 f(0)=0，

原解在處理第（II）時較難想到，學(xué)生比較容易想到的方法是----參數(shù)分離，將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。

但由于g(x)在x=0處沒有意義，學(xué)生都束手無策。而利用洛必達(dá)法則可以較好的處理分離出來的函數(shù)式的最值。