巧用“8”字形和“A”字形解決問(wèn)題

楊翠榮

（敦化市第三中學(xué)，吉林 敦化 133700）

問(wèn)題引入（一）：如圖（1）點(diǎn) P是⊿ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接BP、CP，試探究：∠P與∠1、∠2有什么關(guān)系？

常見(jiàn)的方法是延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，不難發(fā)現(xiàn)∠BPC=∠2+∠PDC, 而∠PDC=∠1 +∠A;由此可得∠BPC=∠2 +∠1+∠A.

構(gòu)建模型：若將線段BC去掉，得到的模型類似于“A”字形，由上面的原理可知，只要具備“A”字形的問(wèn)題，都可用其結(jié)論解決問(wèn)題。

例1.如圖（2）求∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)。

略解：由“A”字形可知∠2=∠5=∠6+∠7+∠8，而易發(fā)現(xiàn)∠6+∠4=180°①；∠1 +∠7=180°②；∠3+∠8=180°③；然后①+②+③便可知∠1+∠2+∠3+∠4=540°，由此可見(jiàn)抓住模型解決問(wèn)題非常簡(jiǎn)單。學(xué)生學(xué)習(xí)幾何不再困惑，而是感到很有趣，遇到問(wèn)題不會(huì)再束手無(wú)策。

例2.如圖（3）BE與CD相交于點(diǎn)A，CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線，

（1）試探求∠B、∠D、∠F之間存在何種數(shù)量關(guān)系？

（2）若∠B:∠D:∠F=2:4:a,求a的值

略解：（1）∵∠EAC=∠1+∠2+∠F,

（2）由（1）的結(jié)論便可求解。略解：∵∠B:∠D:∠F=2:4:a，

∠B+∠D=2∠F，∴2a=6, ∴a=3

利用此模型也可解決很多問(wèn)題，如后面的例3以及練習(xí)1都可以用此模型來(lái)解。用此模型解就是∠BOC=∠A+∠B+∠C,而∠BOC=∠EOF,所求的五個(gè)角的和就化歸到△EOF中了。而練習(xí)1用模型解就是∠DOC=∠A+∠D+∠C=∠BOE,所求的五個(gè)角的和就化歸到△BOE中了。顯而易見(jiàn)，學(xué)生掌握模型、抓住模型的特點(diǎn)對(duì)學(xué)生解題是非常有利的，這樣不僅解決了問(wèn)題，同時(shí)又拓寬了學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)了學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力。

問(wèn)題引入（二）：初一幾何中有這樣一道簡(jiǎn)單的求角的度數(shù)的問(wèn)題，如圖（4）已知∠A=40°，∠D=60°，∠C=30°求∠B的度數(shù)。

其基本解法有兩種：一種是先求出∠AOD的度數(shù)，然后利用對(duì)頂角相等這一原理求出∠BOC的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和180°便可求出∠B=70°；另一種方法是由三角形的內(nèi)角和180度，可得∠A+∠D=∠B+∠C，便可求出∠B=70°，方法很巧妙，思路很簡(jiǎn)捷。由此發(fā)現(xiàn)只要是這種模型——“8”字形就一定存在這一結(jié)論，而且在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這樣的問(wèn)題很多見(jiàn)，有的是小題，有的是在證明題中會(huì)間接應(yīng)用它，用它可以很快捷的解決很多問(wèn)題。

構(gòu)建模型：具有上述圖形特點(diǎn)的問(wèn)題都可用其原理求解，由于圖形象“8”字，就稱其為“8”字形，只要具備這一模型特征，就可以用它快捷的解決問(wèn)題，思維簡(jiǎn)單明了，學(xué)生運(yùn)用起來(lái)也靈活自如，在教學(xué)中應(yīng)用此法，學(xué)生們的思路、速度快了很多。

具體應(yīng)用如例3：如圖（5）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)。

很容易發(fā)現(xiàn)此題屬于典型的“8”字型問(wèn)題，題中蘊(yùn)含了三個(gè)“8”字形，用“8”字形的結(jié)論便可得:①∠A+∠F=∠1+∠2;②∠B+∠C=∠2+∠3; ③∠E+∠D=∠1+∠3; 將①、②、③相加便可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠1+∠2+∠3）=360°.發(fā)現(xiàn)用此種方法解題思路特別順暢。

例3.如圖（6）計(jì)算∠A+∠B+∠C+∠E+∠F的度數(shù)。

觀察中發(fā)現(xiàn)此題很象“8”字形，但還差一點(diǎn)，只要連接BC便可得到“8”字形，因此想到了作輔助線的方法——連接 BC,則有∠E+∠F=∠1+∠2，所以∠A+∠B+∠C+∠E+∠F=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°，將這 5個(gè)角化歸到同一個(gè)三角形中問(wèn)題得以解決。

以下是一組練習(xí)：1.如圖（7）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。

提示：連接圖中任意相鄰兩點(diǎn)便可構(gòu)成“8”字形，很容易的將這5個(gè)角化歸到同一個(gè)三角形中，使問(wèn)題得已解決。（如連接 CD,則∠E+∠B=∠1+∠2, ∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠F=180°）

2.如圖（8）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)。

提示：連接NQ便可得兩個(gè)“8”字形；再連接 MR又可得兩個(gè)“8”字形，便將所求的8個(gè)角全部歸到四邊形MQRN中，利用四邊形的內(nèi)角和便可求得。

3.如圖（9）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)

提示：連接CD就可構(gòu)造出模型，利用模型就很容易的將這六個(gè)角化歸到四邊形ABCD中，利用四邊形的內(nèi)角和求得；六個(gè)角的和為360°。

“8”字形也可用在證明題中。如圖（10），已知BD為∠ABC的平分線，CD為⊿ABC的外角∠ACE的平分線，CD與BD交于點(diǎn)D，試說(shuō)明∠A=2∠D.

分析：圖中很明顯有“8”字形，利用其原理可得∠A+∠1=∠D+∠3;又由內(nèi)外角關(guān)系可得∠4=∠D+∠2，而BD為∠ABC的平分線可得∠1=∠2，CD為⊿ABC的外角平分線可得∠3=∠4；所以∠A+∠1=∠2 +∠D +∠D；所以∠A=2∠D

“8”字形不僅僅在求角的計(jì)算問(wèn)題中出現(xiàn)，而且在解“相似三角形”問(wèn)題時(shí)也會(huì)用到。

引例：如圖(1-1)，正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，Q是CD上一點(diǎn)，且AQ⊥P Q,求證; △ADQ∽△QCP.

分析：由正方形和AQ⊥PQ不難證出∠DAQ=∠PQC,再加上∠D=∠C就可證出△ADQ∽△QC P.因此，只要有三個(gè)垂直就可得到兩個(gè)三角形相似。若圖形中只要兩個(gè)三角形，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形也象“8”字形如圖（1-2），而且這個(gè)模型在相似形這部分應(yīng)用非常廣泛，無(wú)論是計(jì)算還是證明或者實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題都會(huì)用到它，因此，掌握這一模型對(duì)我們今后解決問(wèn)題會(huì)有很大幫助。

比如：1.運(yùn)用這一模型可以求線段的長(zhǎng)度。如圖（1-3），在梯形 ABCD中，AB∥DC,∠B=90°，E為BC上一點(diǎn)，且AE⊥ED,BC=12，DC=7，BE:EC=1：3，求AB的長(zhǎng)。

2.實(shí)際操作問(wèn)題：如圖（1-4），A C⊥AB,BE⊥AB,AB=1 0，AC=2，用三角板進(jìn)行如下操作：將直角頂點(diǎn)P在線段AB上滑動(dòng)，直角邊始終經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，另一條直角邊與BE相交于點(diǎn)D，且BD=8，求AP的長(zhǎng)。

分析：將直角三角板的直角頂點(diǎn)P在線段AB上滑動(dòng)就會(huì)出現(xiàn)1題的情況，即與模型相似。因此解法與1題解法類似，解出之后滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)。

3.變式題——解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：如圖（1-5），已知AB⊥BC 于 B,CD⊥BC于 C,AB=4，CD=6，BC=14，P為BC上一點(diǎn)。則BP為何值時(shí)，△ABP與△PCD相似？

分析：不難發(fā)現(xiàn)，此題與前兩題類似,唯一不同的就是有兩種情況（1）△ABP∽△PCD，（2）△ABP∽△DCP.即當(dāng)∠A=∠DPC時(shí)滿足（1）的情況，此時(shí)AP⊥PD;當(dāng)∠A=∠D時(shí)滿足（2）的情況。此時(shí)AP不垂直于PD。解出后滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)。

略解：∵AB⊥BC,DC⊥BC, ∴∠B=∠C=90°,

4.實(shí)際應(yīng)用。如圖(1-6)，某同學(xué)要測(cè)量某煙囪的高度，他將一面鏡子放到地面上某一位置，然后站到與鏡面、煙囪成一直線的地方，剛好看到煙囪頂部的像。如果這名同學(xué)的眼睛到地面的距離AB=1.6m，他到鏡面的距離BO為2m，測(cè)得鏡面到煙囪的距離OD為30m，求煙囪的高度。

分析；將本題的實(shí)際問(wèn)題抽象出幾何圖形如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)本題運(yùn)用的基本原理就是模型中的原理，所不同的是由于放在地面上的是平面鏡，所以利用入射角等于反射角這一原理就可以得出∠AOB=∠DOC,再加上兩個(gè)直角，就可得到兩個(gè)三角形相似。利用對(duì)應(yīng)邊成比例就可直接求出煙囪的高度。

5.利用模型求函數(shù)的解析式。如圖（1-7）在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數(shù)），BC=8,點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連接 DE,作EF⊥DE,EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x,BF=y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若m=8,求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

從以上的問(wèn)題可以看出，只要具備這兩個(gè)特點(diǎn)——“8”字形、“A”字形的問(wèn)題，就都可以用它們的模型來(lái)解決問(wèn)題，而且抓住模型特點(diǎn)，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)思路非常快捷。