三角代數(shù)上導(dǎo)子的兩個(gè)結(jié)論

李 霞，孫成俠，馬 晶

（吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，A，B都是R上的酉代數(shù)，M是一個(gè)非零（A，B）－酉雙模，則形式矩陣的集合

如果對(duì)任意的x，y∈A都有d（xy）＝d（x）y＋xd（y），則R－代數(shù)A 的R－線性映射d：A→A稱為A的導(dǎo)子.記［y，x］＝y(tǒng)x－xy.若特征非2的素環(huán)R上有非零導(dǎo)子d滿足［d（x），d（y）］＝0，?x，y∈R，則R是交換的［5］.本文基于文獻(xiàn)［5］討論三角代數(shù)T滿足廣義恒等式［D（X），D（Y）］＝0導(dǎo)子的結(jié)構(gòu).則T稱為三角代數(shù)［1－4］.本文記若環(huán)R的映射f在其子集S 上滿足［f（x），f（y）］＝［x，y］，?x，y∈S，則稱f在S 上是強(qiáng)保交換的［6］.若素環(huán)R的導(dǎo)子在其非零右理想上是強(qiáng)保交換的，則R是交換的［6］.若素環(huán)R的導(dǎo)子在其非零右理想U(xiǎn) 上是強(qiáng)保交換的，則U?Z（R）（Z（R）是R的中心）［7］.設(shè)Γ＝Tri（A，M，B）是三角矩陣環(huán)，Φ是Γ上的滿射，齊霄霏等［8］證明了：在適當(dāng)條件下，如果Φ在Γ上是強(qiáng)保交換的，則存在Γ到其中心Z（Γ）的映射μ及λ∈Z（Γ），使得λ2＝1Γ，并且對(duì)任意的X∈Γ有Φ（X）＝λX＋μ（X）.本文將證明三角代數(shù)T的導(dǎo)子都不是強(qiáng)保交換的.

且f滿足

證明：對(duì)任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

其中

設(shè)D 在T上滿足［D（X），D（Y）］＝0.由式（3）可知

并且對(duì)任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

式（5）中取a＝0，x＝y(tǒng)＝0，得

式（5）中取a＝1，x＝y(tǒng)＝0，得

式（7）減式（6）得udB（d）－dA（c）u＝0，c∈A，d∈B.分別取d＝1，c＝1得dA（A）u＝udB（B）＝0.取a＝aα，b＝bβ，α∈A，β∈B，得dA（A）Au＝uBdB（B）＝0，則式（4）可化簡(jiǎn)為

式（8）中取y＝0，c＝0，得

取d＝βd，β∈B，可得f（M）βdB（B）＝0.于是，式（9）中取x＝xβ，β∈B，并利用式（2）可得MdB（β）dB（d）＝0，對(duì)任意的d，β∈B 都成立.由 M 的忠實(shí)性可得dB（B）2＝0.同理，在式（8）中取y＝0，d＝0可得dA（c）f（x）＝0，c∈A，x∈M.取c＝cα，α∈A，可得dA（A）Af（x）＝0.于是在dA（c）f（x）＝0中取x＝αx，α∈A，并利用式（2）可知，對(duì)任意的a，c∈A 都有dA（c）dA（α）M＝0.又因?yàn)镸 是忠實(shí)的，所以dA（A）2＝0.

反之，當(dāng)dA（A）2＝0，dB（B）2＝0時(shí)，顯然有［dA（A），dA（A）］＝0并且［dB（B），dB（B）］＝0.由dA（A）u＝0可知，對(duì)任意的x，y∈A 有dA（xy）u＝0，從而dA（A）Au＝0.同理，由udB（B）＝0可得uBdB（B）＝0.將dA（A）Au＝0，uBdB（B）＝0和dA（A）f（M）＝f（M）dB（B）＝0代入式（4）可知Δ＝0，從而由式（3）可知D 在T上滿足［D（X），D（Y）］＝0.

證明：設(shè)D是T的導(dǎo)子并且在T上強(qiáng)保交換，則對(duì)任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

設(shè)D形如式（1），則

其中Δ形如式（4）.因此

式（10）中取a＝0，x＝0，得

式（10）中取a＝1，x＝0，得

式（12）減式（11）可得：對(duì)任意的y∈M，c∈A，d∈B 都有y＝udB（d）－dA（c）u.取c＝0，d＝0可得y＝0.由y的任意性可知M＝0，這與三角代數(shù)的定義矛盾，故三角代數(shù)T的導(dǎo)子都不是強(qiáng)保交換的.

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