打開一扇窗的同時 不能關(guān)上一扇門

張金鳳

【摘 要】解決問題的一種方法并無好壞優(yōu)劣之分。對一種方法的認識，我們不僅僅看它是否解決了某一個問題，還要看它是否解決了某一類問題，這種方法是否具有通性通法，有沒有推廣的價值。我們知道，求解立體幾何問題一般有兩種方法：綜合法（幾何法）與向量法。綜合法是一種定性的研究方法，表現(xiàn)為識圖與作圖（常添加輔助線與面）利用所學的定義、公理、定理去分析，推理論證。從而能培養(yǎng)我們的空間想象能力，邏輯思維能力。而向量法是一種定量的研究方法，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的計算，體現(xiàn)了幾何解題的一種通用之法，但并非一定是方便之策。[1]

【關(guān)鍵詞】向量法；立體幾何；綜合法；數(shù)學素養(yǎng)

自從新課程標準實施以來，用空間向量解決立體幾何的有關(guān)問題的方法就倍受青睞。當然，這與空間向量自身的神通廣大的作用有很大的關(guān)系。比如，可以用空間向量處理線線，線面，面面的位置關(guān)系，也可以用空間向量求解空間角度，空間距離。以及與空間有關(guān)的開放性，探索性問題。

隨著時間的推移，想必始終奮斗在教學第一線的數(shù)學老師會感覺到有一些不一樣的地方：如今的學生的空間想象能力，推理論證能力，邏輯思維能力沒有以前的學生強了。在立體幾何方面的數(shù)學素養(yǎng)也下降了。比如面面相交，找不出交線；求二面角的大小，不能快速準確的作出二面角的平面角，甚至不能估計出二面角的大小的范圍。凡此種種，不勝枚舉。所有這些，與我們一味的依賴“向量法”處理立體幾何問題有很大的關(guān)系。鑒于此，我們數(shù)學老師應該重新審視空間向量在立體幾何中的地位了。

其實，向量法對于立體幾何而言，只是處理立體幾何問題的一種工具而已。作為一種工具，是沒有好壞之分的。只是利用工具的主體，老師或?qū)W生要清楚地認識到：為什么要引入這一工具，它有什么作用，包括正面的，負面的，何時用，怎樣用，等等。諸如此類的問題需要我們“且用且反思”。向量法和綜合法在解決立體幾何問題時，哪種方法更好，要因情況而定，具體問題具體分析。下面是筆者根據(jù)自己多年教學情況，談一談對用向量法、綜合法解立體幾何的問題時的一點認識。

1 綜合法，向量法殊途同歸

在高考題中，特別是解答題中，試題一般采取綜合法和向量法的“雙軌制”，立體幾何的功能是培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想象能力，推理論證能力，運用圖形語言進行交流的能力，以及幾何直觀的能力，快速準確的運算求解能力，還要有一定的探究能力。而所有這些，有時因過多的依賴空間向量，而得不到充分的發(fā)展。所以，二法均不能偏廢。因此，在上課時老師要關(guān)注到兩種方法。

例如：（2013年 天津卷第17題）如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點。

（I）證明B1C1⊥CE；

（II）求二面角B1-CE- C1的正弦值。

學生一臉茫然，因為要正確解決這個問題，就必須判斷二面角B1 -CE-C1的平面角是銳二面角還是鈍二面角，在二面角比較接近直二面角時 或者圖形放置的位置不常規(guī)時，就必須進一步判斷法向量的方向，此時需要認真觀察，并且真正掌握平面的法向量的含義，才能把這一類向量問題搞清楚。但平面的“法向量”教材中沒有提到，所以，用向量法來解并非是最好的方法。

老師接著又問：如果用幾何法來求解呢？（此時，給學生留足夠時間和空間思考）讓學生到黑板上板演，老師以學生板演的內(nèi)容為素材，引導學生用幾何法去分析，幫助學生強化幾何法，進而培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯思維能力和數(shù)學素養(yǎng)。

本題是兩種方法都可以用，而且繁簡程度差不多，老師在教學時既要關(guān)注到向量法，又要關(guān)注到幾何法，這樣，學生的思維的靈活性才能得到培養(yǎng)。

2 幾何法，向量法各顯其能

目前，在高考題中，特別是解答中，試題雖然采取綜合法和向量法的雙規(guī)制，但是，近幾年安徽卷明顯傾向于綜合法，向量法就特別繁瑣，在考場上幾乎處理不掉。而高三的學生大都習慣于用向量法。因為向量法操作幾乎是程序化的，思維量少，學生再也不愿意花時間去審題。甚至不會用幾何法去分析問題。久而久之，立體幾何的應有的功能得不到充分的發(fā)展。學生的空間想象能力，推理論證能力得不到提升，學生的數(shù)學學科素養(yǎng)下降，這與我們的新課程改革的初衷是不相符的，也是專家們不愿意看到的結(jié)果，更是讓我們一線教師所擔心的。筆者認為：在教學時要緊緊把握能力培養(yǎng)這個大方向，特別是立體幾何教學時，對于綜合法和向量法不能有所偏廢，要走中庸之道，要因題而異靈活選擇解題方法，因此，教學中應通過典例問題給學生對比辨析，提高選法的能力，并且強化學生運用綜合法解決立體幾何問題的能力，已顯得刻不容緩，勢在必行！[2]

例如：（2013年安徽卷 第19題）如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為 22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°。

（I）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；

（II）求cos∠COD

分析：本題以倒置的圓錐為載體，主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系，直線與平面、直線與直線間所成的角的計算等基本知識和基本技能，重點考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，以及面對新問題處變不驚的心理素質(zhì)。

看到該題目，這種幾何模型，要是用建立空間直角坐標系來解答，是相當復雜的。一是不容易找三垂直關(guān)系，二是即便找到三垂直關(guān)系，點的坐標也不好計算。另外，此題也不易用基向量法處理。所以此時，綜合法（幾何法）的優(yōu)越性就體現(xiàn)出來了。

第一問的解析：設出交線L，作圖時，要使直線L//AB，然后根據(jù)公理1和線面平行的判定定理和性質(zhì)定理去證明，就可以得到所要證明的結(jié)論了。第二問、第三問的解法在這里就不贅述了。

再比如：（2013年新課標全國卷I 第18題）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（I）證明：AB⊥A1C；

（II）若平面ABC⊥平面AA1 B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1 C1C所成角的正弦值。

分析：本題以柱體為背景，重點考查了空間中的線線垂直的證明、線面角的計算。（I）通過線面垂直證明線線垂直；（II）根據(jù)線面角的定義作出所要求的角，然后利用直角三角形的知識求解即可，或者利用向量法求解。

本題的第二問用向量法是比較簡單的， 由（I）知OC⊥AB，OA1⊥AB，OC⊥OA1，所以，OC，OA，OA1兩兩互相垂直。以O為坐標原點，OA所在的直線為X軸，OA1所在的直線為Y軸，OC所在的直線為Z軸建立空間直角坐標系。然后利用向量的知識，進行求解較為方便。如果用幾何法就相當復雜了。

就這兩道題而言，第一題用幾何法比較簡單，第二題用向量法比較簡單。所以向量法在立體幾何里，作為一種解題工具，我們要用的恰當，用的靈活。切不可以因為習慣于用向量法，而使自己的學科素養(yǎng)下降。

用空間向量解決解決立體幾何相關(guān)問題，為學生學習立體幾何提供了一種全新的思維解題模式，不可否認這對學生的思維開啟了一扇窗，但同時也給學生學習立體幾何帶來一些負面影響。當我們打開一扇窗的同時，不能關(guān)上一扇門。所以我們必須真正掌握兩種方法的特點和作用，及教育價值。一般來說，我們要認真分析題目所給條件的特點，進而分析在這些條件下為什么用這種方法要比用另一種方法更快更好，如果換一下某個條件，另一種方法可能就會大顯神威了。向量法在解決立體幾何問題時只是一種工具，并不能解決所有的問題。不能過分的鐘情于向量法，而不善于使用綜合法處理，導致空間想象能力下降，分析能力削弱，更談不上公理化思想的建立，這將嚴重影響著學生的數(shù)學后續(xù)學習。所以，我們在教學時要“兩手抓”，“兩手都要硬”。切不可厚此薄彼。只有這樣，向量法的引入，才會使我們?nèi)缁⑻硪恚鞓纷杂傻陌肯柙诹Ⅲw幾何的世界里。

【參考文獻】

[1]蔣海甌.以立體幾何內(nèi)容為主的綜合問題[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2013（4）：39-41.

[2]王志剛，王峰.似曾相識燕歸來[J].安徽教育科研，2013（6）：14-16.

[3]中華人民共和國教育部制定.數(shù)學課程標準（實驗）[M].人民教育出版社：19.

[責任編輯：楊玉潔]