如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力

于寧莉 敬斌 王靜 張輝

[摘要]培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力是現(xiàn)代教育的一個持久的、長期的目標(biāo)。數(shù)學(xué)高階思維能力更能充分體現(xiàn)了高階思維能力的各個方面。本文結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，從創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法、融入數(shù)學(xué)建模思想與合理使用互聯(lián)網(wǎng)四個方面闡述如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

[關(guān)鍵詞]高階思維能力 ?數(shù)學(xué)高階思維能力 ?數(shù)學(xué)建模

一、 高階思維能力及數(shù)學(xué)高階思維能力

1.關(guān)于高階思維能力

知識時代的發(fā)展對人才素質(zhì)的要求偏重于以下九大能力：創(chuàng)新、決策、批判性思維、信息素養(yǎng)、團(tuán)隊協(xié)作、兼容、獲取隱性知識、自我管理和可持續(xù)發(fā)展能力。這九大能力我們稱之為高階能力。所謂高階能力，是以高階思維為核心。所謂高階思維，是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動或較高層次的認(rèn)知能力。比如它在教學(xué)目標(biāo)分類中表現(xiàn)為較高認(rèn)知水平層次的能力，如分析、綜合、評價。這些能力在處理未來信息社會中的各類需求是十分必要的。擁有這些技能的人們將會成為信息時代的首領(lǐng)。因此，現(xiàn)代教育的一個持久的、長期的目標(biāo)就是幫助學(xué)生超越目前較低的思維能力，獲得較高水平的思維能力。

哈佛大學(xué)心理學(xué)教授D.Perkins（1992）認(rèn)為，日常思維就像我們普通的行走能力一樣是每個人與生俱來的。但是良好的思維能力就像百米賽跑一樣，是一種技術(shù)與技巧上的訓(xùn)練結(jié)果。賽跑選手需要訓(xùn)練才能掌握百米沖刺技巧。同樣，良好的思維能力需要相應(yīng)的教學(xué)支持，包括一系列有針對性的練習(xí)。所以，只要方法得當(dāng)，學(xué)生的高階思維能力是可以培養(yǎng)和訓(xùn)練的。問題的關(guān)鍵就是，如何培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的高階思維，運(yùn)用什么工具來培養(yǎng)。因此，探討促進(jìn)學(xué)習(xí)者高階思維發(fā)展的教學(xué)設(shè)計假設(shè)，是當(dāng)代教學(xué)設(shè)計研究最為重要的課題之一。

2.關(guān)于數(shù)學(xué)高階思維能力

結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)來看，所謂數(shù)學(xué)高階思維即是指發(fā)生在數(shù)學(xué)思維活動中的較高認(rèn)知水平層次上的心智活動或認(rèn)知能力，在教學(xué)目標(biāo)分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評價和創(chuàng)造，它具有嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、定量性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性、靈活性等特點(diǎn)：

（1）深刻性。對數(shù)學(xué)概念理解透徹，對數(shù)學(xué)定理有較好的掌握;可以自如地將其他語言等價地翻譯為數(shù)學(xué)語言;能運(yùn)用分析、比較、概括等思維操作，發(fā)現(xiàn)形式不同而本質(zhì)相同的數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在聯(lián)系;即使解決問題的條件不是明確給定的，也能不受表面現(xiàn)象的困擾，從表象中挖掘出隱含條件為解決題目尋找適當(dāng)?shù)臈l件;

（2）靈活性。思維的起點(diǎn)靈活，能從與題目相關(guān)的各種角度和方向去考慮問題;心理轉(zhuǎn)向比較容易，從正向思維轉(zhuǎn)為反向思維，解題時分析法與綜合法的交替使用表現(xiàn)自如;思維轉(zhuǎn)換較為迅速，可以不受先前解題方法的影響克服思維定勢的消極作用及自我心理限制，從而可以有的放矢地解決問題;思維的過程中善于轉(zhuǎn)化，可以很容易地化生為熟、化零為整、化整為零。

（3）獨(dú)創(chuàng)性。能對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行自己獨(dú)立的思考、分析;能從與眾不同的“新”角度觀察問題，能在貌似平常的信息中發(fā)現(xiàn)不尋常之所在，從而發(fā)現(xiàn)隱含的特殊聯(lián)系，產(chǎn)生與他人不同的解題方法和結(jié)果;不受常規(guī)的限制與束縛，富于聯(lián)想，在解題時主動聯(lián)系數(shù)學(xué)的不同分支、其他學(xué)科以及生活實(shí)際以至思維跳躍，經(jīng)常產(chǎn)生創(chuàng)造性的想法。

（4）批判性。平時帶著懷疑的態(tài)度去學(xué)習(xí)，不會不經(jīng)思考地附和他人的意見，能堅持自己的合理看法但也愿意糾正并接受其中的教訓(xùn);能夠比較不同對象之間的差異和相似性，辨析一些容易混淆的概念、形式;能評估信息資源的可靠性，判斷從一個結(jié)論導(dǎo)出另一個結(jié)論的充分性，因而可以發(fā)現(xiàn)其他人的解題過程或結(jié)論中的錯誤;

（5）敏捷性。能夠較快而且正確地完成對題目的文字理解;能夠自覺地運(yùn)用簡便運(yùn)算方法對數(shù)字進(jìn)行較快的運(yùn)算;能夠迅速地判別出題目的模式;能對最近做過的題目有清晰的記憶;能夠迅速判斷，在時間緊迫的情況下做出是否放棄解決此題的決策。

數(shù)學(xué)高層次思維的這五個方面不是完全分離、互相獨(dú)立的，它們是相互聯(lián)系、相互滲透的統(tǒng)一體。其中深刻性是數(shù)學(xué)高層次思維的基礎(chǔ);靈活性和獨(dú)創(chuàng)性在深刻性的基礎(chǔ)上發(fā)展;批判性也以深刻性為基礎(chǔ);批判性又直接制約著獨(dú)創(chuàng)性;敏捷性則以其他四個因素為前提。

二、 大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)特點(diǎn)與高階思維能力的發(fā)展

羅姆伯格（Romberg，1990）認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的并不是數(shù)學(xué)知識的掌握，而是培養(yǎng)學(xué)生透過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識來發(fā)展高層次的思維能力。發(fā)展學(xué)習(xí)者高階思維能力的最有效方式，是與課程內(nèi)容和教學(xué)方式整合，讓學(xué)習(xí)者投入到需要運(yùn)用高階思維能力的學(xué)習(xí)活動之中，這種學(xué)習(xí)活動一般稱之為高階學(xué)習(xí)。在大學(xué)數(shù)學(xué)課教學(xué)過程中，如何從教和學(xué)的兩方面很好的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，充分運(yùn)用好現(xiàn)代的信息化教育手段，開發(fā)一系列適合課程特點(diǎn)的思維教學(xué)活動，是培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的有效途徑。結(jié)合數(shù)學(xué)高階思維的特點(diǎn)以及大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，可以從以下幾個方面培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力：

1.創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容為培養(yǎng)高階思維提供平臺

首先，內(nèi)容上實(shí)施現(xiàn)代化。改變過去重經(jīng)典、 輕現(xiàn)代的傾向，引入必要的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識。一是內(nèi)容上相互滲透和有機(jī)結(jié)合。代數(shù)與幾何結(jié)合， 將原高等數(shù)學(xué)中的空間解析幾何插入線性代數(shù)中，形成一個整體;線性代數(shù)安排在一元函數(shù)微積分與多元函數(shù)微積分之間講，便于使用線性代數(shù)知識;數(shù)值計算與數(shù)學(xué)建模安排在最后，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模能力; 二是注重滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。在內(nèi)容的闡述上盡量用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言與觀點(diǎn)來闡釋經(jīng)典的數(shù)學(xué)內(nèi)容并介紹部分現(xiàn)代數(shù)學(xué)重大成果，使學(xué)生具有一定的現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。如滲透、逼近、迭近、線性化、離散化及最優(yōu)化等現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，加強(qiáng)應(yīng)用性。

其次，應(yīng)用上實(shí)施強(qiáng)化。改變過去重理論、輕應(yīng)用的作法。開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，以實(shí)驗(yàn)課為基礎(chǔ)、以問題為主線、以學(xué)生為中心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。這門課程的目的是把數(shù)學(xué)與計算機(jī)結(jié)合起來，經(jīng)過教師指點(diǎn)，由學(xué)生自己動手，應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和合適的軟件平臺， 主動進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、仿真、 設(shè)計算法以及結(jié)果分析，然后寫出報告。通過開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識 分析和解決實(shí)際問題的能力及利用計算機(jī)求解數(shù)學(xué)模型的能力大大提高。

2.通過創(chuàng)新教學(xué)方法培養(yǎng)高階思維能力

要真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)方法的創(chuàng)新就必須完成三個轉(zhuǎn)變：一是從講堂到學(xué)堂的空間轉(zhuǎn)變;二是從先教到先學(xué)的時間轉(zhuǎn)變;三是從“教授” ?到“教練” 的角色轉(zhuǎn)換。關(guān)鍵是老師不能把課堂變成“一言堂”，應(yīng)充分把握講的量和度。教師善于充分揭示知識的發(fā)生過程，不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)知識形成的必要前提和準(zhǔn)備，更有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和解決實(shí)際問題的能力，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新性思維的能力正如布魯納所說：學(xué)生不是被動消極的知識接受者，而是積極的主動的知識的探究者，教師的主導(dǎo)作用是要形成一種使學(xué)生能夠獨(dú)立探索的情境，而不是提供現(xiàn)成的知識。

注重問題意識，使學(xué)生逐步形成善于發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的創(chuàng)新思維能力。縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展歷史可知，新的數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生總是要經(jīng)過一定的時期或者漫長的求索過程。一個人的創(chuàng)造性思維也不是一朝一夕就可以形成的，而是要經(jīng)過長期的磨煉。數(shù)學(xué)課程中要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，首先要在教學(xué)過程中慢慢培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，只有引導(dǎo)學(xué)生主動地去觀察，去思考，去發(fā)問，才能不斷地積累問題、提出問題，才會有動力有目的并堅持不懈地去用心探究，這樣才會不斷有新的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)教師的課堂提問是一種教學(xué)手段，又是一門教學(xué)藝術(shù)，精心設(shè)計的問題不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)其求知欲望，而且能啟迪學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，從而提高教學(xué)效率。

3.融入數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)高階思維能力

數(shù)學(xué)建模有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)普遍存在內(nèi)容多學(xué) 時少的情況，教師在內(nèi)容處理上偏重理論與習(xí)題的講解而忽略應(yīng)用問題的處理 與展開，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)的重要性及其應(yīng)用認(rèn)識不夠，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)學(xué)建模教學(xué)強(qiáng)調(diào)如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識及其應(yīng)用能力的最佳結(jié)合方式。

數(shù)學(xué)建模有助于培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力。一是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識及方法進(jìn)行分析推理計算的能力;二是相互交流和文字語言數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力;三是創(chuàng)造 力、聯(lián)想力與洞察力;四是對已有科技理論及成果的應(yīng)用能力;五是團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力;

4.合理使用互聯(lián)網(wǎng)可以促進(jìn)高階思維能力的發(fā)展

互聯(lián)網(wǎng)具有促進(jìn)高階思維發(fā)展的如下特性：（1）資源的豐富性。學(xué)生接觸的互聯(lián)網(wǎng)上的信息是每分鐘都在變化的。也正是因?yàn)槿绱?，使用者的分析信息的能力、評估信息的能力以及批判性思維顯得極為重要，而互聯(lián)網(wǎng)就為發(fā)展這些能力提供了一個優(yōu)良的環(huán)境。（2）全球范圍的交流。需要分析并綜合使用自己掌握的知識來思考和辨別人的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而理解和尊重這些不同點(diǎn)，這就給使用高階思維提供了機(jī)會。（3）相互合作。無論大家相隔多遠(yuǎn)，是否認(rèn)識，是否能夠見面等等，都不會太大地影響到大家的合作?；ヂ?lián)網(wǎng)能促進(jìn)學(xué)生相互協(xié)作能力的發(fā)展。（4）超文本環(huán)境。學(xué)生通過超鏈接獲得信息后，需要使用高階思維（分析、綜合、評價信息）來進(jìn)行選擇，否則，面對互聯(lián)網(wǎng)浩瀚的信息，將不知所措，甚至迷失方向。

總之，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程。在知識快速膨脹的今天，教師要教給學(xué)生的不僅是知識，更重要的是要讓學(xué)生學(xué)會思考，讓他們學(xué)會如何公正、客觀、理性地學(xué)習(xí)、鑒別和反思知識。做為一名大學(xué)數(shù)學(xué)教師要盡可能地利用現(xiàn)有條件為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個廣闊的、無限的思維空間使學(xué)生的高階思維能力得到快速發(fā)展。

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（作者單位：第二炮兵工程大學(xué) 陜西省西安市）