收斂常數(shù)項級數(shù)和的求法

鄒莉

【摘要】本文歸納總結(jié)了利用收斂定義，已知函數(shù)的展開式及級數(shù)的運算，冪級數(shù)的和函數(shù)，函數(shù)的傅里葉展式等幾種方法求常數(shù)項級數(shù)和的方法.

【關(guān)鍵詞】常數(shù)項級數(shù);收斂;冪級數(shù);和函數(shù);傅里葉展開式

一、利用收斂定義求和

當常數(shù)項級數(shù)的一般項為或可化為相鄰兩項代數(shù)和的表示式時，可用收斂定義求其和.

例1 ∑∞n=1lnn2-1n2.

解 Un=∑∞n=1lnn2-1n2= [ln（n-1）-lnn]+[ln（n+1）-lnn].

Sn=∑∞n=2[ln（n-1）-lnn]+[ln（n+1）-lnn]= [ln1-ln2]+[ln3-ln2]+ [ln2-ln3]+[ln4-ln3]+…+[ln（n+1）-lnn]=（ln1-lnn）+ln（n+1）-ln2=lnn+1n-ln2，

limn→∞Sn=limn→∞lnn+1n-ln2=-ln2，則S=-ln2.

二、利用已知函數(shù)的展開式及級數(shù)的運算

利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式或已知和的常數(shù)項級數(shù)，通過運算，將所求級數(shù)化為已知其和的級數(shù)的代數(shù)和，熟記ex，cosx，sinx，ln（1+x），（1+x）m的展開式，∑∞n=0xn=11-x （x<1）， ∑∞n=0（-1）nxn=11+x （x<1），∑∞n=1xnn=-ln（1-x）（-1≤x<1）.

例2 ∑∞n=1n2n！.

解 利用已知函數(shù)ex展開式：ex=∑∞n=1xnn！，兩端對x求導(dǎo)ex=∑∞n=1nxn-1n！…（1）.

（1）式兩邊同時乘以x，xex=∑∞n=1nxnn！…（2）.

（2）式兩端對x求導(dǎo)：

ex+xex=∑∞n=1n2xn-1n！，令x=1，則e+e=∑∞n=1n2n！，

∴S=∑∞n=1n2n！=2e.

三、利用冪級數(shù)的和函數(shù)

根據(jù)所給數(shù)項級數(shù)一般特點，找一冪級數(shù)使給定的數(shù)項級數(shù)可看作是該冪級數(shù)在x=x0處所得到的數(shù)項級數(shù)，求出該冪級數(shù)的收斂區(qū)域和S（x），代入x0得到數(shù)項級數(shù)的和S（x0）.

例3 求數(shù)項級數(shù)的和.

解 構(gòu)造冪級數(shù)∑∞n=1（n+1）2n！xn，當x=1時即為所求數(shù)項級數(shù)的和.∑∞n=1（n+1）2n！xn的收斂半徑R=limn→∞（n+1）2n?。╪+2）2（n+1）！=∞，則收斂域（-∞，+∞）.

S（x）=∑∞n=1（n+1）2n！xn 兩端積分：

∫x0S（x）dx=∑∞n=1∫x0（n+1）2n！xndx=∑∞n=1（n+1）n！xn+1=x2∑∞n=1xn-1（n-1）！+x∑∞n=1xnn！=x2ex+xex.

對等式兩邊求導(dǎo)S（x）=（x2+3x+1）ex，令x=1，則S（1）=5e.∴∑∞n=1（n+1）2n！=5e.

四、利用函數(shù)的傅里葉展開式

選定函數(shù)f（x），求f（x）的傅里葉級數(shù)，根據(jù)此級數(shù)的系數(shù)特性，選取適當?shù)膞值代入，確定所求和的數(shù)項級數(shù).

例4 設(shè)周期函數(shù)f（x）在-π，π上的表達式為f（x）=e2x，試把它展開成傅里葉級數(shù)，并求∑∞n=1（-1）n-1n2+4的和.

解 a0=1π∫π-πe2xdx=e2π-e-2π2π，

an=1π∫π-πe2xcosnxdx=12π∫π-πcosnxdex=

12πe2xcosnxπ-π+n2π∫π-πe2xsinnxdx=（-1）n（e2π-e-2π）2π+n4πe2xsinnxπ-π-

n24π∫π-πe2xcosnxdx=-n24π∫π-πe2xcosnxdx+（-1）n（e2π-e-2π）2π，

移項得an=2（-1）nn2+4·e2π-e-2ππ.同理bn=1π∫π-πe2xsinnxdx=n（-1）n+1n2+4·e2π-e-2ππ.

f（x）=e2x在（-π，π）內(nèi)連續(xù)，但f（-π+0）=e-2π≠f（π+0）=e2π.

e2x=e2π-e-2ππ14+∑∞n=1（-1）nn2+4（2cosnx-nsinnx），

x≠（2n+1）π，n=0，±1，±2，…，在上述間斷點中，其級數(shù)收斂于e2π+e-2π2π.

在上述展示中取x=0得∑∞n=1（-1）n-1n2+4=18-π4sh（2π）.

【參考文獻】

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