喚醒沉睡的數(shù)學(xué)思維

楊育紅

【摘要】數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，其中充滿了大自然的奧秘和人類思辨的精妙.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本應(yīng)是快樂(lè)的思維過(guò)程，但許多中小學(xué)生卻對(duì)數(shù)學(xué)充滿了畏懼感，教材中一個(gè)接一個(gè)的公式和刻板的推理使一些學(xué)生望而卻步，甚至到了“談數(shù)色變”的程度.如何使青少年喜歡數(shù)學(xué)，使他們?cè)谡勑χ芯毩?xí)數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)方法， 從而激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并為新的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)增加點(diǎn)興趣，筆者通過(guò)數(shù)學(xué)益智題，來(lái)喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本位認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)思維;邏輯

益智題不同于一般教科書中的難題，不需要更多的預(yù)備知識(shí)或運(yùn)用許多公式進(jìn)行冗長(zhǎng)的計(jì)算;也不同于諸如奧林匹克一類競(jìng)賽題，只是面對(duì)少數(shù)受過(guò)專門訓(xùn)練的小天才，大多數(shù)學(xué)生無(wú)緣問(wèn)津，而是面對(duì)普通的學(xué)生，使他們都能在誘人的題境中，動(dòng)手動(dòng)腦，尋求問(wèn)題解答.在此過(guò)程中，接受邏輯分析和創(chuàng)造性思維訓(xùn)練，從而學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思維方法.

例1 有趣的數(shù)學(xué)推理

一位老師讓聰明的三名學(xué)生看了一下事先準(zhǔn)備好的2頂紅帽子和3頂白帽子，再把他們的眼睛蒙住，給1人戴上紅帽子，2人戴上白帽子，把剩下的帽子藏起來(lái)，然后拿去蒙眼的布，讓他們說(shuō)出自己戴的是什么帽子，3人愣了一會(huì)兒，一個(gè)戴白帽子的最先判斷自己戴的是白帽子，他是怎樣判斷的？

解析 這位戴白帽子的可用假設(shè)法推理.他見(jiàn)到了一頂紅帽子和一頂白帽子，假設(shè)自己戴的是紅帽子，那么他所見(jiàn)到的那位戴白帽子的人就見(jiàn)到了兩頂紅帽子，由于紅帽子一共2頂，因此這個(gè)人易于判斷自己頭上戴的是白帽子，可是他愣住了，未能迅速作出判斷，因此斷定自己頭上戴的不是紅帽子，而是白帽子.

這是個(gè)有趣的推理問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生假設(shè)判斷、邏輯推理能力，鍛煉學(xué)生思辨能力.

例2 經(jīng)典問(wèn)題：百錢買百雞

今有雞翁一、值錢五，雞母一、值錢三，雞雛三、值錢一.凡百錢買百雞，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？（《張丘建算經(jīng)》）

題意 公雞5文錢一只，母雞3文錢一只，小雞1文錢3只，現(xiàn)在，用100文錢，買100只雞，問(wèn)：在這100只雞中，公雞、母雞和小雞各是多少只？

講析 這是我國(guó)南北朝時(shí)期大數(shù)學(xué)家張丘建的《張丘建算經(jīng)》中一道十分著名的題，書中該題的解法，被人稱為“百雞術(shù)”.

《算經(jīng)》中寫道：

“術(shù)曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，既得.”“答曰：雞翁四，值錢二十;雞母十八，值錢五十四;雞雛七十八，值錢二十六.又答：雞翁八，值錢四十;雞母十一，值錢三十三;雞雛八十一，值錢二十七.又答：雞翁十二，值錢六十;雞母四，值錢十二;雞雛八十四，值錢二十八.”

上解題術(shù)，又作如下表示：

“雞翁每增四” 4 →8 →12

“雞母每減七” 18→11→4

“雞雛每益三” 78→81→84

但是，第一組答案（4、18、78），以及雞翁、雞母、雞雛的增減規(guī)律是如何得到的，《張丘建算經(jīng)》中沒(méi)做任何交代.

這里，我們用代數(shù)的方法對(duì)之進(jìn)行探實(shí)，弄清“百雞術(shù)”的來(lái)龍去脈.

首先，設(shè)雞翁為x，雞母為y，雞雛為z，于是有：

x+y+z=100

5x+3y+z3=100

依條件可列兩個(gè)方程，含有三個(gè)未知數(shù)，故不能找出方程組的確定解.考慮到各變量應(yīng)為整數(shù)（非負(fù)數(shù)），可用嘗試的方法尋解.

令x=0，方程組變?yōu)椋簓+z=100，3y+z3=100

解之得：y=25，z=75

碰巧了，我們第一次嘗試，就得到一組特殊解：{0，25，75}.

我們的想法是在此組解基礎(chǔ)上，進(jìn)行調(diào)整變化，尋求問(wèn)題解答.但變化規(guī)律是什么呢？顯然應(yīng)該滿足：

x+y+z=0

5x+3y+z3=0

這里x，y，z還表示雞翁、雞母及雞雛，值應(yīng)該是整數(shù)（允許取負(fù)值，以表示增減）.

將上式變形：x+y+z=0

15x+9y+z=0

xz+yz=-1，15xz+9yz=-1

解之得：xz=43，yz=-73

又得：x/y/z=4/-7/3

這樣我們就得到了《張丘建算經(jīng)》中給出的“百雞術(shù)”：

“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三.”

剩下的工作，就是按此規(guī)律，對(duì)我們得到的特殊解進(jìn)行增減變化了.

雞翁

雞母

雞雛

0

25

75

4

18

78

8

11

81

12

4

84

在實(shí)際生活中，雞翁、雞母、雞雛的變化也只能是這三種情況了.實(shí)際是數(shù)論中不定方程的特解問(wèn)題，但是這個(gè)背景材料，卻能引起學(xué)習(xí)者的積極思維，鼓起破解之謎的勇氣.

所以，通過(guò)益智、經(jīng)典問(wèn)題來(lái)吸引學(xué)生，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，是有益的教學(xué)方法，實(shí)踐證明是有效的.王金戰(zhàn)老師教學(xué)生如何玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)，滲透了這一思想，他用通俗的語(yǔ)言，巧妙的思維，贏得課堂上的陣陣喝彩，在他的課堂上，人人喜歡數(shù)學(xué)，并為此付出積極努力，實(shí)現(xiàn)最大收獲.在此，衷心希望每一個(gè)數(shù)學(xué)老師，就課程內(nèi)容，多思考，挖掘內(nèi)涵，編成趣味性問(wèn)題，以問(wèn)題吸引學(xué)生，激發(fā)其探究愿望，從而喜歡數(shù)學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

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[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的三個(gè)新“教條” [J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（2）：5-9.