在高數(shù)教學(xué)中有效融入數(shù)學(xué)建模思維方法

李霞

【摘要】本文通過實(shí)例講解了如何在高數(shù)教學(xué)中有效融入數(shù)學(xué)建模思維方法的培養(yǎng)，并有針對(duì)性地提出了在高數(shù)課堂上融入數(shù)學(xué)建模思維方法的建議.

【關(guān)鍵詞】高數(shù)教學(xué);融入;數(shù)學(xué)建模思維方法

一、引 言

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想方法，其目的是還原數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的本來面貌，以數(shù)學(xué)課程為載體，培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的意識(shí)與創(chuàng)新能力.因此，數(shù)學(xué)教師有責(zé)任對(duì)數(shù)學(xué)教材加以挖掘整理， 進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)研究，從全新的角度重新組織數(shù)學(xué)課堂教學(xué)體系.數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程，實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的形成過程.在教學(xué)中， 注重結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，從它們的實(shí)際“原型”（源頭活水）和學(xué)生熟悉的日常生活中的自然例子， 設(shè)置適宜的問題情境， 提供觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、驗(yàn)證等方面豐富直觀的背景材料， 讓學(xué)生充分地意識(shí)到他們所學(xué)的概念、定理和公式，不是硬性規(guī)定的，并非無(wú)本之木，無(wú)源之水，也不是科學(xué)家頭腦中憑空想出來的，而是有其現(xiàn)實(shí)的來源與背景，與實(shí)際生活有密切聯(lián)系的.學(xué)生沿著數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，就能自然地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的合理性，了解其中的數(shù)學(xué)原理，這樣既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生求真務(wù)實(shí)理性思維的意識(shí).

二、高數(shù)教學(xué)中具體滲透數(shù)學(xué)建模思維方法

下面具體以講解二元常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式為例穿插數(shù)學(xué)建模思維方法的過程，對(duì)于這部分內(nèi)容是微分方程這一章節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，有些同學(xué)對(duì)于如何設(shè)特解的形式一籌莫展.教材書上歸納總結(jié)了幾種情況下特解的設(shè)立，一般根據(jù)方程右邊f(xié)（x）的形式來設(shè)取，歸納表格如下：

f（x）的形式

特解的形式

f（x）=pn（x）

當(dāng)q≠0時(shí)，y=Qn（x）

當(dāng)q=0而p≠0時(shí)，y=Qn+1（x）

當(dāng)p=q=0時(shí)，y=Qn+2（x）

f（x）=pn（x）·eλx

y=xkQn（x）eλx

當(dāng)λ不是特征根時(shí)，k=0

當(dāng)λ是特征根，且為單根時(shí)，k=1

當(dāng)λ是特征根，且為重根時(shí)，k=2

f（x）=acosωx+bsinωx

y=xk（Acosωx+Bsinωx）

當(dāng)±ωi不是特征根時(shí)，k=0

當(dāng)±ωi是特征根時(shí)，k=1

數(shù)學(xué)建模思維方法的步驟是：提供觀察——?dú)w納——提出假設(shè)——實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，那么在講解這部分內(nèi)容的過程中提醒學(xué)生仔細(xì)觀察這個(gè)表格，看看這幾種情況間有沒有內(nèi)在聯(lián)系，可否歸納總結(jié).同學(xué)們通過認(rèn)真觀察發(fā)現(xiàn)f（x）的第一種形式和第二種形式可以歸納在一起，f（x）=pn（x）形式可以轉(zhuǎn)化為f（x）=pn（x）·e0x，此時(shí)的λ=0，那么表格右邊特解的形式是否也可統(tǒng)一在一起呢？針對(duì)問題大膽提出假設(shè)，針對(duì)f（x）=pn（x）形式，二元常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解可以設(shè)為y=xkQn（x）e0x，即為y=xkQn（x），根據(jù)λ是否為特征根確定k的取值：當(dāng)λ不是特征根時(shí)，k=0;當(dāng)λ是特征單根時(shí)，k=1;當(dāng)λ是特征重根時(shí)，k=2，這樣特解的形式也是與第二種情況吻合的，如果假設(shè)成立，兩者可以歸納在一起，這樣也可以方便學(xué)生理解記憶.作出假設(shè)之后，就是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)小心驗(yàn)證，結(jié)果得到證實(shí)就可以加以總結(jié)并進(jìn)行引用，具體通過例題進(jìn)行驗(yàn)證.

案例1：求微分方程y″+2y=4x2+6的一個(gè)特解.

這是教材書本上的一道例題，很明顯該題中的f（x）形式屬于表格中的第一種情況，書本上就是按照上面表格來進(jìn)行求解的，我們不妨一起來看看.

該題中p=0，q≠0，故設(shè)y=ax2+bx+c，特解設(shè)的過程是比較簡(jiǎn)單的，但是要記住結(jié)論有點(diǎn)麻煩.將設(shè)立的特解代入原微分方程中，得：

2a+2（ax2+bx+c）=4x2+6，

解得： a=2，b=0，c=1.

于是原方程的特解為：y=2x2+1.

下面來驗(yàn)證一下是否可以統(tǒng)一為假設(shè)的特解的設(shè)立的結(jié)論，該微分方程中λ=0，

其所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為：y″+2y=0，

特征方程為：r2+2=0，

特征根為：r1，2=±2i，

λ=0不是特征根，故設(shè)y=ax2+bx+c.

兩種方法設(shè)立的特解形式相同，至此可以說明假設(shè)的特解形式得以驗(yàn)證，即兩種情況可以統(tǒng)一在一起，這樣便于學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶，而不用考慮p，q是否等于0的情況，這種方法的優(yōu)點(diǎn)主要在于與f（x）的第二種形式完美統(tǒng)一在一起，它們之間有著一定的內(nèi)在聯(lián)系性.重新整理一下，二元常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式的設(shè)立可以歸納如下：

f（x）的形式

特解的形式

f（x）=pn（x）·eλx

f（x）=pn（x）·e0x

y=xkQn（x）eλx

當(dāng)λ不是特征根時(shí)，k=0

當(dāng)λ是特征根，且為單根時(shí)，k=1

當(dāng)λ是特征根，且為重根時(shí)，k=2

注：λ=0時(shí)同樣成立

f（x）=acosωx+bsinωx

y=xk（Acosωx+Bsinωx）

當(dāng)±ωi不是特征根時(shí)，k=0

當(dāng)±ωi是特征根時(shí)，k=1

這樣在講解過程中就培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、邏輯思維、歸納總結(jié)能力，并激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，他們會(huì)覺得原來學(xué)數(shù)學(xué)這樣有趣，這是一個(gè)發(fā)現(xiàn)、探索的過程，而數(shù)學(xué)的發(fā)展就是在數(shù)學(xué)家通過類似的這樣一個(gè)發(fā)現(xiàn)、探索的過程不斷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、定理的，通過學(xué)習(xí)學(xué)生能感覺出數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)，以及數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的艱辛，那么自己在不斷探索的過程中就有了動(dòng)力與激情，無(wú)意中就培養(yǎng)了學(xué)生不畏艱難的奮斗精神，而這對(duì)于鍛煉學(xué)生的毅力等品質(zhì)有很大的幫助.

三、高數(shù)課堂融入數(shù)學(xué)建模思維方法的建議

1.增強(qiáng)融入意識(shí)，明確主旨

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的任務(wù)不僅僅是完成知識(shí)的傳授， 更重要的是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題的能力，這是數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展方向，“學(xué)數(shù)學(xué)”是為了“用數(shù)學(xué)”.數(shù)學(xué)建模思想方法融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，與現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)秩序并不矛盾， 關(guān)鍵是教師要轉(zhuǎn)變觀念， 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模思想方法融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要性， 以實(shí)際行動(dòng)為課堂教學(xué)帶來新的改革氣息.在平時(shí)的教學(xué)中， 要把數(shù)學(xué)教學(xué)和滲透數(shù)學(xué)建模思想方法有機(jī)地結(jié)合起來.同時(shí)，應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)應(yīng)用是需要基礎(chǔ)（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法）的，缺乏基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)應(yīng)用是脆弱的， 數(shù)學(xué)建模思想方法融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，并不是削弱數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)地位，也不等同于上“數(shù)學(xué)模型”或“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課，應(yīng)將教學(xué)目標(biāo)和精力投入到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的核心概念和內(nèi)容， 數(shù)學(xué)建模思想方法融入過程只充當(dāng)配角作用， 所用的實(shí)際背景或應(yīng)用案例應(yīng)自然、樸實(shí)、簡(jiǎn)明、扼要.

2.化整為零，適時(shí)融入

在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中適時(shí)融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，根據(jù)章節(jié)內(nèi)容盡量選取與課程相適應(yīng)的案例，改革“只傳授知識(shí)”的單一教學(xué)模式為 “傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力、融入思想方法”并重的教學(xué)模式，結(jié)合正常的課堂教學(xué)內(nèi)容或教材，在適當(dāng)環(huán)節(jié)上插入數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的案例，通過“化整為零、適時(shí)融入、細(xì)水長(zhǎng)流”，達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的教學(xué)效果.

3.化隱為顯，循序漸進(jìn)

數(shù)學(xué)建模思想方法常常是以隱蔽的形式蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系之中，這不僅是產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)，而且是串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的主線，在知識(shí)體系背后起著“導(dǎo)演”的作用.因此，在教學(xué)過程中應(yīng)適時(shí)把蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的思想方法明白地揭示出來，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈.在新知識(shí)、新概念的引入，難點(diǎn)、重點(diǎn)的突破，重要定理或公式的應(yīng)用，學(xué)科知識(shí)的交匯處等，采用循序漸進(jìn)的方式，力爭(zhēng)和原有教學(xué)內(nèi)容有機(jī)銜接，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想方法的引領(lǐng)作用.同時(shí)，注意到數(shù)學(xué)建模思想方法融入是一個(gè)循序漸進(jìn)的長(zhǎng)期過程， 融入應(yīng)建立在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)，必須在基礎(chǔ)課程教學(xué)時(shí)間內(nèi)可以完成，又不增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容側(cè)重突出建模思想方法的某一個(gè)環(huán)節(jié)，不必拘泥于體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的全過程， 即“精心提煉、有意滲透、化隱為顯、循序漸進(jìn)”.

4.激發(fā)情趣，適度拓展

數(shù)學(xué)建模思想方法融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目的是提高學(xué)生“學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.因此，教師應(yīng)結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，親自動(dòng)手進(jìn)行建模示范，在學(xué)生生活的視野范圍內(nèi)，針對(duì)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)水平、專業(yè)特點(diǎn)，收集、編制、改造一些貼近學(xué)生生活實(shí)際的數(shù)學(xué)建模問題，注意問題的開放性與適度拓展性，盡可能地創(chuàng)設(shè)一些合理、新穎、有趣的問題情境來激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使學(xué)生體驗(yàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的成功感.

總之，作為新時(shí)期的數(shù)學(xué)教育工作者， 我們的教學(xué)必須適應(yīng)學(xué)生發(fā)展的需要，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中， 既要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的傳授，更要重視能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，只有三者和諧同步發(fā)展，才能使我們的教學(xué)充滿活力，為學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提高做一些有效而實(shí)際的工作.

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