積分變換中Fourier變換概念引入的教學(xué)探討

張通

摘 要 Fourier變換是積分變換中最重要的概念之一。由于Fourier變換概念自身的抽象性和學(xué)生對高等數(shù)學(xué)課程的懼怕心理，給積分變換的學(xué)習(xí)帶來了很大的挑戰(zhàn)。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)，探討了關(guān)于引入Fourier變換概念的幾點(diǎn)教學(xué)心得。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 積分變換 極限

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Exploration on Teaching Method of the Introduction on the

Fourier Transform in the Course of Integral Transform

ZHANG Tong

（School of Mathematics & information Science， He'nan Polytechnic University， JiaoZuo， He'nan 454000）

Abstract Fourier transform is one of the most important concepts in the course of integral transform. Due to the abstraction of the concept of Fourier transform and the Psychological fear for the courses of advanced mathematics， there exist a lot of difficulties. In this work， combining with advanced mathematics， we share some teaching experiences on the introduction of Fourier transform.

Key words advanced mathematics； integral transform； limit

隨著大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程數(shù)目的增加，以及高等數(shù)學(xué)知識體系的深入，很多學(xué)生對高等數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生了抵觸心理。 因此，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)掌握的知識，引入新的概念，對于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和緩解畏懼抵觸心理具有很大的作用。下面筆者僅從Fourier變換概念的引入出發(fā)，談一下自己在教學(xué)過程中的幾點(diǎn)體會。

1 克服畏懼心理建立學(xué)習(xí)的信心

和高中不同，大學(xué)數(shù)學(xué)課程更強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、推理性以及知識前后的聯(lián)系性。 這使得很多在高中時習(xí)慣于題海戰(zhàn)術(shù)的同學(xué)學(xué)習(xí)起來比較吃力，久而久之產(chǎn)生了畏懼心理，形成了高等數(shù)學(xué)課程不好學(xué)，也學(xué)不好的錯誤認(rèn)識，這種錯誤的認(rèn)識也會影響大學(xué)階段其他課程的學(xué)習(xí)。 大部分學(xué)生都很重視后期專業(yè)課的學(xué)習(xí)，但由于前期高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)太差，專業(yè)課老師對出現(xiàn)的高等數(shù)學(xué)知識點(diǎn)也僅是點(diǎn)到為止，這就使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為無根之木，難以持久。因此我們首先從思想上轉(zhuǎn)變學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的錯誤認(rèn)識，樹立積極向上的學(xué)習(xí)態(tài)度。

縱觀高等數(shù)學(xué)課程的教材，雖然版本五花八門，但內(nèi)容大同小異。 考慮到不同專業(yè)及后期專業(yè)課對高等數(shù)學(xué)知識需求量的不同，很多教材在選取內(nèi)容和難易程度視不同的對象而有所取舍和簡化。如高等教育出版社出版，祝同江主編的積分變換中函數(shù)只給出了它的一個描述性定義，這與它的數(shù)學(xué)定義相比簡單直觀得多。 但考慮到學(xué)生的專業(yè)需求和實(shí)際應(yīng)用背景，這樣的描述性定義已經(jīng)足夠了。所以學(xué)生只要認(rèn)真去聽、去理解，還是很容易理解和接受新的內(nèi)容的。

2 深入淺出，從已知學(xué)習(xí)未知

積分變換課程主要講述兩種變換：Fourier變換和Laplace變換。對于變換的思想，大多數(shù)學(xué)生在高中階段就已經(jīng)接觸過。 如坐標(biāo)變換：（）→（）即從直角坐標(biāo)系變換為極坐標(biāo)系，又如平移變換：考察 + = 1的性質(zhì)可以將其看成在（1，1）點(diǎn)的單位元。 在復(fù)變函數(shù)課程的學(xué)習(xí)時，學(xué)生也接觸過變換的思想：從（）坐標(biāo)面變換為（）坐標(biāo)面。 從而我們可用圖1來表示變換的思想。

圖1

從圖1可以看出，無論哪種變換，都是將一個函數(shù)變?yōu)榱硪粋€函數(shù)，然后又通過相應(yīng)的逆變換得到原來函數(shù)的形式。所以變換是我們考察或化簡問題的核心。 那么積分變換是什么呢？無非就是通過一個積分的形式使之發(fā)生改變。

3 Fourier變換概念的引入

在高等數(shù)學(xué)中學(xué)生學(xué)過任意的以為周期的函數(shù) （）都可以展成Fourier級數(shù)，即：

（）= + （ + ）

其中系數(shù)：

= （）， = （）

由Euler公式可知

= ， = 。

從而 （）的Fourier級數(shù)可以由三角形式轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式

（）= + （ + ）

記 = 那么我們有下式成立

從而

從上述等式可以看到，具有周期為的函數(shù) （）先乘以在（）積分后，再乘以，關(guān)于從到求和即可得到函數(shù) （）。對于非周期函數(shù)如何考察呢？

首先我們將非周期函數(shù)看作整個數(shù)軸為一個周期的函數(shù)，即周期 = ！由前面 = 可知 = 。即 = 從而

由上述推導(dǎo)可以看出對于任意的可積函數(shù) （）先乘以在（，）上積分然后再乘以在（，）上積分，最后除以2即可得到原函數(shù) （），這樣我們就得到了一般函數(shù)的Fourier變換。實(shí)踐證明，由上述方式引入Fourier積分變換和逆變換的定義，學(xué)生容易理解和接受，并且可以使同學(xué)們回顧高等數(shù)學(xué)的三角級數(shù)內(nèi)容，達(dá)到一箭雙雕的效果。

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