構(gòu)造法在離散數(shù)學(xué)及數(shù)值分析解題中的應(yīng)用

王雪明 宋娜

摘 要：所謂構(gòu)造法，其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想，經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得以解決。構(gòu)造法體現(xiàn)了類(lèi)比的思想，為了找出解題途徑，要進(jìn)行聯(lián)想，通過(guò)聯(lián)想聯(lián)系已有知識(shí)中與之類(lèi)似的或與之相關(guān)的問(wèn)題，從而為構(gòu)造模型提供參照對(duì)象。構(gòu)造合適的方程圖形，函數(shù)等解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不僅可以拓展解題思路，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。此外一些特殊構(gòu)造對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題有著相當(dāng)?shù)姆至俊?/p>

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；交叉學(xué)科；應(yīng)用

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種十分重要和基礎(chǔ)的方法，它是指利用已知條件和已掌握的知識(shí)，通過(guò)觀察、聯(lián)想構(gòu)造出滿(mǎn)足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，或構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式，使問(wèn)題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題得到有效的解決.

構(gòu)造法有著意想不到的功效，不同的構(gòu)造，有著不同的效果。我們可以構(gòu)造方程，圖形，函數(shù)甚至是其他，這樣就會(huì)使學(xué)生要熟悉的幾何，代數(shù)，三角的基本技能，并多方面綜合利用，這對(duì)學(xué)生的多元思維，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，以及鉆研獨(dú)創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利，因此，在解題時(shí)若能從多方面，多渠道進(jìn)行思考，有時(shí)能得到很多巧妙，新穎獨(dú)體的解題方法還能加強(qiáng)我們對(duì)知識(shí)的理解。培養(yǎng)思維的靈活，提高分析問(wèn)題的能力。

近代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，世界已進(jìn)入信息時(shí)代，交叉學(xué)科不斷產(chǎn)生數(shù)學(xué)工具與數(shù)學(xué)思想，日益向自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)滲透?？刂普?、信息論、系統(tǒng)論的誕生正是這一發(fā)展的結(jié)果，反過(guò)來(lái)，又加速了這一發(fā)展趨勢(shì)。這些新學(xué)科的產(chǎn)生，有的是運(yùn)用已有學(xué)科的知識(shí)、方法去解決研究中的新問(wèn)題。在數(shù)學(xué)里將一個(gè)分支里的知識(shí)移植到另一個(gè)分支里以解決新問(wèn)題是屢見(jiàn)不鮮的。移植的成敗，常在于能否構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ突驍?shù)學(xué)模型（函數(shù)、方程等等），能否建立模型的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解與運(yùn)用能力，下面就對(duì)這些交叉學(xué)科中構(gòu)造法的運(yùn)用來(lái)做一下簡(jiǎn)單的介紹。

一、構(gòu)造法在數(shù)值分析中的運(yùn)用

數(shù)值分析主要介紹現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中常用的數(shù)值計(jì)算方法及其基本原理，研究并解決數(shù)值問(wèn)題的近似解，是數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)和實(shí)際問(wèn)題的有機(jī)結(jié)合。隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題，已經(jīng)得到普遍重視。例如對(duì)常見(jiàn)的微分方程、積分方程為了求解，往往需要將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型.將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型，最常用的方法就是建立差分方程。

以非負(fù)整數(shù)k表示時(shí)間，記為xk變量x在時(shí)刻k的取值，則稱(chēng)△xk=xk+1-xk為xk的一階差分，稱(chēng)△2xk=△（△xk）=xk+2-2xk+1+xk為xk的二階差分。類(lèi)似的求出xk的n階差分△nxk。由k，xk，及xk的差分給出的方程稱(chēng)為差分方程。例如在研究節(jié)食與運(yùn)動(dòng)模型時(shí)，發(fā)現(xiàn)人們往往采取節(jié)食與運(yùn)動(dòng)方式消耗體內(nèi)存儲(chǔ)的脂肪，引起體重下降，達(dá)到減肥目的。通常制定減肥計(jì)劃以周為時(shí)間單位比較方便，所以采用差分方程模型進(jìn)行討論。記第k周末體重為w（k），第k周吸收熱量為c（k），熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)α，代謝消耗系數(shù)β，在不考慮運(yùn)動(dòng)情況下，體重變化的情況為w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）=0，1，2，…，增加運(yùn)動(dòng)時(shí)只需將β改為β1+β，β1由運(yùn)動(dòng)的形式和時(shí)間決定.

二、構(gòu)造法在離散數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造件的解題方法.在《離散數(shù)學(xué)》課程的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常強(qiáng)調(diào)具有構(gòu)造性特點(diǎn)的一系列問(wèn)題解決方法，因此它非常重視“能行性”的研究：即要解決一個(gè)問(wèn)題，不光要證明該問(wèn)題解的存在性（連續(xù)數(shù)學(xué)只要做到這一步就基本上算解決問(wèn)題了），還要給出解決該問(wèn)題的解的步驟來(lái).在《離散數(shù)學(xué)》的證明題中，如果采用構(gòu)造法證明，則證明的過(guò)程往往就是對(duì)解題算法的描述.

問(wèn)題 任一有限半群一定是等冪元.

問(wèn)題解析 這是代數(shù)結(jié)構(gòu)中的存在性命題，也可采用構(gòu)造性證明方法.由于半群的性質(zhì)有限，只有結(jié)合律可用.因此證明時(shí)要充分利用元素個(gè)數(shù)的有限性和半群的運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，具體構(gòu)造出一個(gè)等冪元.

證明 設(shè)（S，×）是一個(gè)有限半群。任取α∈S，由于×滿(mǎn)足結(jié)合律，我們有{α，α2，α3，…，αn，…}■S。

因?yàn)镾是有限集合，故α，α2，α3，…，αn，…不可能兩兩不同.從而一定存在正整數(shù)k，m，1≤k

令p=n-k，則由于×滿(mǎn)足結(jié)合律，αk=αm=αp×αk.對(duì)任意正整數(shù)q>k，有

αq= αk×qα-k=（αp×αk）×αq-k=αp×αq （*）

若p=q，則元素αp就是一個(gè)等冪元。否則因?yàn)閜≥1，故存在正整數(shù)n滿(mǎn)足np≥0。故利用（*）可得

αnp=αp×αnp=αp×（αp×αnp）=α2p×αnp=α2p×（αp×αnp）

=α3p×αnp=…=αnp×αnp

故αnp就是S的一個(gè)等冪元。

運(yùn)用構(gòu)造法解題可從中欣賞數(shù)學(xué)之美，感受解題樂(lè)趣，更重要的是可開(kāi)拓思維空間，啟迪智慧，并對(duì)培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益.構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”，在解題時(shí)，我們只要有足夠的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，較強(qiáng)的觀察能力、綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)造能力，根據(jù)題目的特征，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶，就能使解題另辟蹊徑、水到渠成.但是在本文中，雖然通過(guò)一些例題來(lái)闡述了不同構(gòu)造法在數(shù)學(xué)和交叉學(xué)科中所含的數(shù)學(xué)思想中的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 候繁義.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法[M].東北師范大學(xué)出版社，1991，5（4）：76-91.