“命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件”考點(diǎn)復(fù)習(xí)及解題指導(dǎo)

洪其強(qiáng)

一、考點(diǎn)歸納

1. 命題

（1）用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題.判斷為真的為真命題，判斷為假的為假命題.

（2）把一個(gè)命題表達(dá)為“若p，則q”的形式，則p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.

2. 四種命題

（1）如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)叫做原命題的逆命題.

（2）如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的否命題.

（3）如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.把其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)叫做原命題的逆否命題.

一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用劭p和劭q分別表示p和q的否定.于是四種命題的形式及關(guān)系為：

互為逆否的命題等價(jià)（同真同假），互逆（或互否）的兩個(gè)命題的真假性沒有關(guān)系.

“若p，則q”形式的命題為真命題時(shí)，記作“p圯q”.

3. 若p圯q，則p叫做q的充分條件；q叫做p的必要條件；如果p圳q，則p叫做q的充要條件.

4. 判斷充要條件的方法：（1）定義法；（2）逆否法；（3）集合法.

逆否法：若劭A圯劭B，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；若劭A圳劭B，則A與B互為充要條件.

集合法：從集合觀點(diǎn)看，建立與命題p、q相應(yīng)的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}，那么：若A哿B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.

二、題型解析

題型1. 四種命題及其關(guān)系

例1. 判斷命題“若a≥0，則x2+x-a=0有實(shí)根”的逆否命題的真假.

分析：先寫出逆否命題，再判斷真假或利用原命題與其逆否命題同真假的關(guān)系等方法解決.

解析：解法1：寫出逆否命題，再判斷其真假.

原命題：若a≥0，則x2+x-a=0有實(shí)根，

逆否命題：若x2+x-a=0無實(shí)根，則a<0，

判斷如下：

∵ x2+x-a=0無實(shí)根，

∴ △=1+4a<0，∴ a<-<0，

∴“若x2+x-a=0無實(shí)根，則a<0”為真命題.

解法2：利用命題之間的關(guān)系：原命題與逆否命題同真同假（即等價(jià)關(guān)系）證明.

∵ a≥0，∴ 4a≥0，∴ 4a+1>0，

∴方程x2+x-a=0的判別式△=4a+1>0，

∴方程x2+x-a=0有實(shí)根，

故原命題“若a≥0，則x2+x-a=0有實(shí)根”為真.

又因原命題與其逆否命題等價(jià)，

所以“若a≥0，則x2+x-a=0有實(shí)根”的逆否命題為真.

例2. 下列四個(gè)說法：①一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；②“a>b”與“a+c>b+c”不等價(jià)；③“a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2+b2≠0”；④一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真. 其中說法不正確的序號(hào)是 .

分析：①逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關(guān)系，故①錯(cuò)誤；

②由不等式的性質(zhì)可知“a>b”與“a+c>b+c”等價(jià)，故②錯(cuò)誤；

③“a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0，則a2+b2≠0”，故③錯(cuò)誤；

④否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性一致，故④正確.

答案：①②③.

點(diǎn)評(píng)：（1）對(duì)于命題真假的判定，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，只有將條件與結(jié)論分清，再結(jié)合所涉及的知識(shí)才能正確地判斷命題的真假.（2）掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價(jià)性，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷真假性不容易進(jìn)行時(shí)，可以轉(zhuǎn)而判斷其逆否命題的真假.

例3. 命題“若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）是奇函數(shù)”的否命題是 .

分析：原命題的否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論，故“若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）是奇函數(shù)”的否命題是“若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù)”.

答案：若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：1. 命題真假的判定：對(duì)于命題真假的判定，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，只有將條件與結(jié)論分清，再結(jié)合所涉及的知識(shí)才能正確地判斷命題的真假.

2. 掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價(jià)性，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷真假性不容易進(jìn)行時(shí)，可以轉(zhuǎn)而判斷其逆否命題的真假.

題型2. 充分條件與必要條件的判斷

例4. “a=b”是“直線y=x+2與圓（x+a）2+（y+b）2=2相切”的（ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件

分析：若a=b則=，故相切；若=，則a=b或a-b-4=0，故選A.

答案：A

點(diǎn)評(píng)：要注意區(qū)分“A是B的充分條件”和“A是B的充分非必要條件”，若A圯B，則A是B的充分條件，若A圯B且BA，則A是B的充分非必要條件.

例5. 命題甲：“a、b、c成等差數(shù)列”， 命題乙：“+=2”，則甲是乙的（ ）

A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件endprint

解析：∵ a=b=c=0，則a、b、c也成等差數(shù)列，但推不出+=2；反過來由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差數(shù)列.

綜上所述，“a、b、c成等差數(shù)列”是“+=2”的必要不充分條件，故選A.

答案：A

點(diǎn)評(píng)：①若A是B的充要條件，則既有A圯B，又有B圯A.②充要條件判斷中要特別注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，對(duì)數(shù)的底數(shù)、真數(shù)，直線方程中的斜率存在與不存在，等比數(shù)列中q=1與q≠1等等，注意各個(gè)定義、定理公式的限制條件.

例5. （1）設(shè)x∈R，則“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 則⊥的充要條件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集為{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故選A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

點(diǎn)評(píng)：充分條件、必要條件、充要條件的判定：

（1）定義法：①分清條件和結(jié)論：分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論；②找推式：判斷“p圯q”及“q圯p”的真假；③下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論.

（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷.

題型3. 充分條件與必要條件的應(yīng)用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要條件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

點(diǎn)評(píng)：（1）解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.

（2）注意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）條件，則p是q的必要不充分（充分不必要、充要）條件.

題型4. 反證法

例7. 已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，對(duì)命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論.

（2）寫出其逆否命題，并證明你的結(jié)論.

分析：

解析：（1）逆命題是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0.它是成立的. 可用反證法證明它.

假設(shè)a+b<0，則a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命題為真.

（2）逆否命題是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，則a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上遞增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，則a=-b， b=-a，由函數(shù)的定義知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

綜上所述，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

點(diǎn)評(píng)：在本題（2）的證明過程中，既用到了函數(shù)的單調(diào)性，又用到了函數(shù)的定義.

例8. 求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均為常數(shù)）至多有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等詞語(yǔ)的數(shù)學(xué)命題，常用反證法.

證明：假設(shè)方程ax2+bx+c=0至少有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根分別為x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假設(shè)不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)：1. 四種命題的真假判斷：寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.

2. 用集合的觀點(diǎn)來看充要條件：

設(shè)集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，則有：

（1）若A哿B，則p是q的充分條件，若A芫B，則p是q的充分不必要條件；

（2）若B哿A，則p是q的必要條件，若B芫A，則p是q的必要不充分條件；

（3）若A=B，則p是q的充要條件；

（4）若A芫B，且B芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

三、注意事項(xiàng)

1. 否命題與命題的否定是兩個(gè)易混的問題，要注意其區(qū)別，另外要掌握一些常見詞的否定詞.

2. 原命題圯它的逆否命題，（原命題的否命題圳原命題的逆命題）因此，判斷四種命題的真假時(shí)，可只判斷其中的兩個(gè)；當(dāng)一個(gè)問題的真假不易判斷時(shí)，可通過判斷此命題的逆否命題解決問題.

3. 若p圳q，則p是q的充分條件，同時(shí)q也是p的必要條件；若p圳q，則p與q互為充要條件，應(yīng)理解充分條件、必要條件、充要條件的形式化定義，整理出命題的“條件”與“結(jié)論”，畫出“圯”圖是解決“充分條件與必要條件”問題的一種好的方法，注意運(yùn)用.對(duì)論證充要條件題要分清“充分性”與“必要性”，然后分別作出相應(yīng)的證明.但要判斷兩個(gè)涉及具體內(nèi)容的命題p與q之間的關(guān)系，掌握涉及的具體數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵.

（作者單位：貴州省龍里中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

解析：∵ a=b=c=0，則a、b、c也成等差數(shù)列，但推不出+=2；反過來由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差數(shù)列.

綜上所述，“a、b、c成等差數(shù)列”是“+=2”的必要不充分條件，故選A.

答案：A

點(diǎn)評(píng)：①若A是B的充要條件，則既有A圯B，又有B圯A.②充要條件判斷中要特別注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，對(duì)數(shù)的底數(shù)、真數(shù)，直線方程中的斜率存在與不存在，等比數(shù)列中q=1與q≠1等等，注意各個(gè)定義、定理公式的限制條件.

例5. （1）設(shè)x∈R，則“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 則⊥的充要條件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集為{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故選A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

點(diǎn)評(píng)：充分條件、必要條件、充要條件的判定：

（1）定義法：①分清條件和結(jié)論：分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論；②找推式：判斷“p圯q”及“q圯p”的真假；③下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論.

（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷.

題型3. 充分條件與必要條件的應(yīng)用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要條件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

點(diǎn)評(píng)：（1）解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.

（2）注意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）條件，則p是q的必要不充分（充分不必要、充要）條件.

題型4. 反證法

例7. 已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，對(duì)命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論.

（2）寫出其逆否命題，并證明你的結(jié)論.

分析：

解析：（1）逆命題是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0.它是成立的. 可用反證法證明它.

假設(shè)a+b<0，則a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命題為真.

（2）逆否命題是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，則a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上遞增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，則a=-b， b=-a，由函數(shù)的定義知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

綜上所述，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

點(diǎn)評(píng)：在本題（2）的證明過程中，既用到了函數(shù)的單調(diào)性，又用到了函數(shù)的定義.

例8. 求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均為常數(shù)）至多有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等詞語(yǔ)的數(shù)學(xué)命題，常用反證法.

證明：假設(shè)方程ax2+bx+c=0至少有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根分別為x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假設(shè)不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)：1. 四種命題的真假判斷：寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.

2. 用集合的觀點(diǎn)來看充要條件：

設(shè)集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，則有：

（1）若A哿B，則p是q的充分條件，若A芫B，則p是q的充分不必要條件；

（2）若B哿A，則p是q的必要條件，若B芫A，則p是q的必要不充分條件；

（3）若A=B，則p是q的充要條件；

（4）若A芫B，且B芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

三、注意事項(xiàng)

1. 否命題與命題的否定是兩個(gè)易混的問題，要注意其區(qū)別，另外要掌握一些常見詞的否定詞.

2. 原命題圯它的逆否命題，（原命題的否命題圳原命題的逆命題）因此，判斷四種命題的真假時(shí)，可只判斷其中的兩個(gè)；當(dāng)一個(gè)問題的真假不易判斷時(shí)，可通過判斷此命題的逆否命題解決問題.

3. 若p圳q，則p是q的充分條件，同時(shí)q也是p的必要條件；若p圳q，則p與q互為充要條件，應(yīng)理解充分條件、必要條件、充要條件的形式化定義，整理出命題的“條件”與“結(jié)論”，畫出“圯”圖是解決“充分條件與必要條件”問題的一種好的方法，注意運(yùn)用.對(duì)論證充要條件題要分清“充分性”與“必要性”，然后分別作出相應(yīng)的證明.但要判斷兩個(gè)涉及具體內(nèi)容的命題p與q之間的關(guān)系，掌握涉及的具體數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵.

（作者單位：貴州省龍里中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

解析：∵ a=b=c=0，則a、b、c也成等差數(shù)列，但推不出+=2；反過來由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差數(shù)列.

綜上所述，“a、b、c成等差數(shù)列”是“+=2”的必要不充分條件，故選A.

答案：A

點(diǎn)評(píng)：①若A是B的充要條件，則既有A圯B，又有B圯A.②充要條件判斷中要特別注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，對(duì)數(shù)的底數(shù)、真數(shù)，直線方程中的斜率存在與不存在，等比數(shù)列中q=1與q≠1等等，注意各個(gè)定義、定理公式的限制條件.

例5. （1）設(shè)x∈R，則“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 則⊥的充要條件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集為{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故選A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

點(diǎn)評(píng)：充分條件、必要條件、充要條件的判定：

（1）定義法：①分清條件和結(jié)論：分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論；②找推式：判斷“p圯q”及“q圯p”的真假；③下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論.

（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷.

題型3. 充分條件與必要條件的應(yīng)用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要條件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

點(diǎn)評(píng)：（1）解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.

（2）注意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）條件，則p是q的必要不充分（充分不必要、充要）條件.

題型4. 反證法

例7. 已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，對(duì)命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論.

（2）寫出其逆否命題，并證明你的結(jié)論.

分析：

解析：（1）逆命題是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0.它是成立的. 可用反證法證明它.

假設(shè)a+b<0，則a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命題為真.

（2）逆否命題是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，則a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上遞增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，則a=-b， b=-a，由函數(shù)的定義知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

綜上所述，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

點(diǎn)評(píng)：在本題（2）的證明過程中，既用到了函數(shù)的單調(diào)性，又用到了函數(shù)的定義.

例8. 求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均為常數(shù)）至多有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等詞語(yǔ)的數(shù)學(xué)命題，常用反證法.

證明：假設(shè)方程ax2+bx+c=0至少有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根分別為x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假設(shè)不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)：1. 四種命題的真假判斷：寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.

2. 用集合的觀點(diǎn)來看充要條件：

設(shè)集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，則有：

（1）若A哿B，則p是q的充分條件，若A芫B，則p是q的充分不必要條件；

（2）若B哿A，則p是q的必要條件，若B芫A，則p是q的必要不充分條件；

（3）若A=B，則p是q的充要條件；

（4）若A芫B，且B芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

三、注意事項(xiàng)

1. 否命題與命題的否定是兩個(gè)易混的問題，要注意其區(qū)別，另外要掌握一些常見詞的否定詞.

2. 原命題圯它的逆否命題，（原命題的否命題圳原命題的逆命題）因此，判斷四種命題的真假時(shí)，可只判斷其中的兩個(gè)；當(dāng)一個(gè)問題的真假不易判斷時(shí)，可通過判斷此命題的逆否命題解決問題.

3. 若p圳q，則p是q的充分條件，同時(shí)q也是p的必要條件；若p圳q，則p與q互為充要條件，應(yīng)理解充分條件、必要條件、充要條件的形式化定義，整理出命題的“條件”與“結(jié)論”，畫出“圯”圖是解決“充分條件與必要條件”問題的一種好的方法，注意運(yùn)用.對(duì)論證充要條件題要分清“充分性”與“必要性”，然后分別作出相應(yīng)的證明.但要判斷兩個(gè)涉及具體內(nèi)容的命題p與q之間的關(guān)系，掌握涉及的具體數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵.

（作者單位：貴州省龍里中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)