聚焦導數(shù)應用的五大特點

樊宏標

縱觀近幾年高考，以導數(shù)為工具的試題，可謂亮點紛呈，尤其是利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、閉區(qū)間上的最值以及參數(shù)的取值范圍等問題，越來越受到命題者的青睞.本文歸納了導數(shù)應用的五大特點，與同學們分享.

一、研究函數(shù)的單調(diào)性——導數(shù)應用的基本點

例1. 已知可導函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f '（x）>f（x），則當a>0時，f（a）與eaf（0）之間的大小關(guān)系為（ ）

A. f（a）eaf（0）

C. f（a）=eaf（0） D. 不能確定，與或有關(guān)

解析：作函數(shù)F（x）=（x∈R），有F '（x）=>0因此F（x）是R上的單調(diào)增函數(shù).

從而，對a>0，由F（a）>F（0），得>，得f（a）>eaf（0）.故選B.

評注：此題首先構(gòu)造函數(shù)F（x），再利用導數(shù)來研究F（x）的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小.一般地，若f（x）在（a，b）上滿足f '（x）>0，則f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增；若f（x）在（a，b）上滿足f '（x）<0，則f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減.

例2. 直角坐標平面bOa上的點集S={（b，a）|f（x）=ax3+bx2-3x為R上的單調(diào)函數(shù)}，求a，b所滿足的關(guān)系式.

解析：當a=0時，由f（x）在R上單調(diào)，知b=0.

當a≠0時，f（x）在R上單調(diào)圳f '（x）在R上不變號.

因為f '（x）=3ax2+2bx-3，所以，由駐=4b2+36a≤0，得a≤-b2.

綜上可知，a，b所滿足的關(guān)系式為a≤-b2.

評注：函數(shù)的單調(diào)性可由導數(shù)值的符號反映出來，若f（x）在（a，b）上單調(diào)，則f '（x）在（a，b）上恒有f '（x）≥0或f '（x）≤0.

二、求函數(shù)的解析式——導數(shù)應用的亮點

例3. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10，則實數(shù)對（a，b）為 .

解析：f '（x）=3x2+2ax+b，由函數(shù)在x=1處取得極值10，得f '（1）=0，f（1）=10，即3+2a+b=0，1+a+b+a2=10，解得a1=4，b1=-11，a2-3，b2=3.

把（a，b）=（4，-11）代入，有f（x）=x3+4x2-11x+16，f '（x）=3x2+8x-11=（x-1）（3x+11），可得f（x）在x=1時有最小值10.

把（a，b）=（-3，3）代入，有f（x）=x3-3x2+3x+9，f '（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0.

知f（x）在R上恒單調(diào)遞增，故x=1不是f（x）的極值點.

綜上，實數(shù)對（a，b）的值為（4，-11）.

評注：從此題可以看出，f '（x）=0的值只是極值點的必要條件，而非充分條件，也即導數(shù)為零的點不一定是極值點.

三、求極值與最值——導數(shù)應用的重點

例4. 設(shè)函數(shù)f（x）=x-k（x≥1，為給定的實數(shù)，0

解析：當x>1時，f（x）的導數(shù)是f '（x）=1-.

令f '（t）=0，當t>1時，解得t=.

于是，f（t）=f（）=，f（1）=1.

對f（x）的取值列表如下：

∴f（x）極小值=f（t）=<1，∴f（x）min=.

評注：求可導函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，一般先求該區(qū)間上的極值，再與區(qū)間端點值比較即可.

例5.已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）.（2014年高考浙江理科數(shù)學試題）

解析：因為f（x）=x3+3x-3a，（x≥a）x3-3x+3a，（x≤a）所以f '（x）=3x2+3，（x>a）3x2-3.（x

由于-1≤x≤1，所以：

（1）當a≤-1時，有x≥a，故f（x）=x3+3x-3a，此時f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，因此，M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，故M（a）-m（a）=（4-3a）-（-4-3a）=8.

（2）當-1

若x∈（-1，a），f（x）=x3-3x+3a，在（-1，a）上是減函數(shù)，

所以M（a）=max{f（1），f（-1）}，m（a）=a3.

由于f（1）-f（-1）=-6a+2，因此，

當-1

當

（3）當a≥1時，有x≤a，故f（x）=x3-3x+3a，此時f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，

因此，M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

綜上，M（a）-m（a）=8，（a≤-1）-a3-3a+4，（-1

評注：此題主要考查了函數(shù)最值的概念，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，同時考查了同學們推理論證、分類討論、分析問題和解決問題等綜合解題能力.

四、與不等式的交匯——導數(shù)應用的焦點

例6. 已知關(guān)于x的不等式ax≥x≥logax在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：顯然，使不等式成立的一個必要條件是a>1.

令f（x）=ax-x，則f '（x）=axlna-1≥0圳x≥-，

f '（x）≤0圳x≤-.

因此，x=-是f（x）的唯一極小值點，也是最小值點.

由x=-得lnax=ln圯ax=.

代入f（x）=ax-x得fmin（x）==.

故ax≥在（0，+∞）上恒成立圳f（x）≥0圳fmin（x）=≥0圳ln（lna）≥-1圳a≥e.

又因為x≥logax圳ax≥x，所以x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

從而，ax≥x≥logax x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

評注：由此可知，有關(guān)不等式恒成立問題，我們的解決策略通常是先構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)作為工具，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

五、切線問題——導數(shù)應用的熱點

例7. 三次函數(shù)y=x3+bx2+cx+d的圖像如圖1所示，直線BD∥AC，且直線BD與三次函數(shù)的圖像切于點B、交于點D，直線AC與三次函數(shù)的圖像切于點C、交于點A.點A、B、C、D的橫坐標分別為xA，xB，xC，xD.求證：（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

證明：設(shè)三次函數(shù)y=f（x）在點B（xB，f（xB））的展開式為y=（x-xB）3+b1（x-xB）2+c1（x-xB）+f（xB）……①

則f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，得f '（xB）=c1.

所以，切線BD的解析式為y=c1（x-xB）+f（xB）.……②

由式①②解得x=xB或x=xB-b1.因此，xD=xB-b1.

設(shè)三次函數(shù)y=f（x）在點C（xC，f（xC））的展開式為y=（x-xC）3+b2（x-xC）2+c2（x-xC）+f（xC）……③

則f '（x）=3（x-xC）2+2b2（x-xC）+c2，得f '（xC）=c2.

所以，切線AC的解析式為y=c2（x-xC）+f（xC）……④

由式③④解得x=xC或x=xC-b2因此，xA=xC-b2……⑤

因為AC∥BD，所以f '（xB）=f '（xC），

又因f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，

故f '（xC）=3（xC-xB）2+2b1（x-xB）+c1=f '（xB）=c1.

所以，3（xC-xB）2+2b1（x-xB）=0.注意到xC≠xB，則有3（xC-xB）+2b1=0.

所以xB-xC=b1，……⑥

因此，xC=xB-b1同理，xB=xC-b2，故b1=-b2……⑦

由⑤⑥⑦得xA-xB=xC-b2-xB=xB-b1+b1-xB=b1，即xA-xB=b1……⑧

已證xD=xB-b1，xC=xB-b1，所以，xC-xD=b1……⑨

由⑥⑧⑨，得（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

評注：本題以導數(shù)為切入點，涉及函數(shù)、方程等眾多知識點.解決此題，要求同學們具有較高的分析問題、解決問題的能力和一定的探索、推理能力，并將數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、化歸思想等數(shù)學思想方法有機地交融在一起，可謂是利用導數(shù)解決三次函數(shù)切線問題的典范.

筆者認為，品味高考經(jīng)典題，同學們既要提煉解決問題的方法和策略，又要提升自己的智慧技能，培養(yǎng)自己良好的解題習慣和嚴謹科學的學習態(tài)度.尤其在高考復習的沖刺階段，針對性地選擇一些經(jīng)典的高考真題，從中鑒賞新情景，推敲新熱點，體會蘊含的命題思路，無疑比機械操練克隆題更有意義，有助于同學們跳出題海，把握數(shù)學思維的本質(zhì)特征.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心）

責任編校 徐國堅endprint

解析：顯然，使不等式成立的一個必要條件是a>1.

令f（x）=ax-x，則f '（x）=axlna-1≥0圳x≥-，

f '（x）≤0圳x≤-.

因此，x=-是f（x）的唯一極小值點，也是最小值點.

由x=-得lnax=ln圯ax=.

代入f（x）=ax-x得fmin（x）==.

故ax≥在（0，+∞）上恒成立圳f（x）≥0圳fmin（x）=≥0圳ln（lna）≥-1圳a≥e.

又因為x≥logax圳ax≥x，所以x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

從而，ax≥x≥logax x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

評注：由此可知，有關(guān)不等式恒成立問題，我們的解決策略通常是先構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)作為工具，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

五、切線問題——導數(shù)應用的熱點

例7. 三次函數(shù)y=x3+bx2+cx+d的圖像如圖1所示，直線BD∥AC，且直線BD與三次函數(shù)的圖像切于點B、交于點D，直線AC與三次函數(shù)的圖像切于點C、交于點A.點A、B、C、D的橫坐標分別為xA，xB，xC，xD.求證：（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

證明：設(shè)三次函數(shù)y=f（x）在點B（xB，f（xB））的展開式為y=（x-xB）3+b1（x-xB）2+c1（x-xB）+f（xB）……①

則f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，得f '（xB）=c1.

所以，切線BD的解析式為y=c1（x-xB）+f（xB）.……②

由式①②解得x=xB或x=xB-b1.因此，xD=xB-b1.

設(shè)三次函數(shù)y=f（x）在點C（xC，f（xC））的展開式為y=（x-xC）3+b2（x-xC）2+c2（x-xC）+f（xC）……③

則f '（x）=3（x-xC）2+2b2（x-xC）+c2，得f '（xC）=c2.

所以，切線AC的解析式為y=c2（x-xC）+f（xC）……④

由式③④解得x=xC或x=xC-b2因此，xA=xC-b2……⑤

因為AC∥BD，所以f '（xB）=f '（xC），

又因f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，

故f '（xC）=3（xC-xB）2+2b1（x-xB）+c1=f '（xB）=c1.

所以，3（xC-xB）2+2b1（x-xB）=0.注意到xC≠xB，則有3（xC-xB）+2b1=0.

所以xB-xC=b1，……⑥

因此，xC=xB-b1同理，xB=xC-b2，故b1=-b2……⑦

由⑤⑥⑦得xA-xB=xC-b2-xB=xB-b1+b1-xB=b1，即xA-xB=b1……⑧

已證xD=xB-b1，xC=xB-b1，所以，xC-xD=b1……⑨

由⑥⑧⑨，得（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

評注：本題以導數(shù)為切入點，涉及函數(shù)、方程等眾多知識點.解決此題，要求同學們具有較高的分析問題、解決問題的能力和一定的探索、推理能力，并將數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、化歸思想等數(shù)學思想方法有機地交融在一起，可謂是利用導數(shù)解決三次函數(shù)切線問題的典范.

筆者認為，品味高考經(jīng)典題，同學們既要提煉解決問題的方法和策略，又要提升自己的智慧技能，培養(yǎng)自己良好的解題習慣和嚴謹科學的學習態(tài)度.尤其在高考復習的沖刺階段，針對性地選擇一些經(jīng)典的高考真題，從中鑒賞新情景，推敲新熱點，體會蘊含的命題思路，無疑比機械操練克隆題更有意義，有助于同學們跳出題海，把握數(shù)學思維的本質(zhì)特征.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心）

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解析：顯然，使不等式成立的一個必要條件是a>1.

令f（x）=ax-x，則f '（x）=axlna-1≥0圳x≥-，

f '（x）≤0圳x≤-.

因此，x=-是f（x）的唯一極小值點，也是最小值點.

由x=-得lnax=ln圯ax=.

代入f（x）=ax-x得fmin（x）==.

故ax≥在（0，+∞）上恒成立圳f（x）≥0圳fmin（x）=≥0圳ln（lna）≥-1圳a≥e.

又因為x≥logax圳ax≥x，所以x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

從而，ax≥x≥logax x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

評注：由此可知，有關(guān)不等式恒成立問題，我們的解決策略通常是先構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)作為工具，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

五、切線問題——導數(shù)應用的熱點

例7. 三次函數(shù)y=x3+bx2+cx+d的圖像如圖1所示，直線BD∥AC，且直線BD與三次函數(shù)的圖像切于點B、交于點D，直線AC與三次函數(shù)的圖像切于點C、交于點A.點A、B、C、D的橫坐標分別為xA，xB，xC，xD.求證：（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

證明：設(shè)三次函數(shù)y=f（x）在點B（xB，f（xB））的展開式為y=（x-xB）3+b1（x-xB）2+c1（x-xB）+f（xB）……①

則f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，得f '（xB）=c1.

所以，切線BD的解析式為y=c1（x-xB）+f（xB）.……②

由式①②解得x=xB或x=xB-b1.因此，xD=xB-b1.

設(shè)三次函數(shù)y=f（x）在點C（xC，f（xC））的展開式為y=（x-xC）3+b2（x-xC）2+c2（x-xC）+f（xC）……③

則f '（x）=3（x-xC）2+2b2（x-xC）+c2，得f '（xC）=c2.

所以，切線AC的解析式為y=c2（x-xC）+f（xC）……④

由式③④解得x=xC或x=xC-b2因此，xA=xC-b2……⑤

因為AC∥BD，所以f '（xB）=f '（xC），

又因f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，

故f '（xC）=3（xC-xB）2+2b1（x-xB）+c1=f '（xB）=c1.

所以，3（xC-xB）2+2b1（x-xB）=0.注意到xC≠xB，則有3（xC-xB）+2b1=0.

所以xB-xC=b1，……⑥

因此，xC=xB-b1同理，xB=xC-b2，故b1=-b2……⑦

由⑤⑥⑦得xA-xB=xC-b2-xB=xB-b1+b1-xB=b1，即xA-xB=b1……⑧

已證xD=xB-b1，xC=xB-b1，所以，xC-xD=b1……⑨

由⑥⑧⑨，得（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

評注：本題以導數(shù)為切入點，涉及函數(shù)、方程等眾多知識點.解決此題，要求同學們具有較高的分析問題、解決問題的能力和一定的探索、推理能力，并將數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、化歸思想等數(shù)學思想方法有機地交融在一起，可謂是利用導數(shù)解決三次函數(shù)切線問題的典范.

筆者認為，品味高考經(jīng)典題，同學們既要提煉解決問題的方法和策略，又要提升自己的智慧技能，培養(yǎng)自己良好的解題習慣和嚴謹科學的學習態(tài)度.尤其在高考復習的沖刺階段，針對性地選擇一些經(jīng)典的高考真題，從中鑒賞新情景，推敲新熱點，體會蘊含的命題思路，無疑比機械操練克隆題更有意義，有助于同學們跳出題海，把握數(shù)學思維的本質(zhì)特征.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心）

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