高中數學解題方法談（上）

俞新龍

一、糾正數學解題中的三種認識錯誤

1. 數學是理科學科，不需要文科學科的背、記.

老話“學好數、理、化，走遍天下都不怕”，無疑是對數學作為理科性質的一種詮注，并且很大程度上也掩蓋了文科屬性.數學解題只有在背、記并理解數學概念、公理、定理、公式、法則、性質等基礎知識才能有效開展，否則就是沒有根基的“空中樓閣”“巧婦難為無米之炊”. 例如高考中三角問題和導數的應用問題一般是必考的，這兩類題型常常被非常重視，做的題也不少，但實際的效果卻不佳，為什么？許多同學常把原因定為是自己笨，其實不是這樣的.如果分析一下解題過程，我們看到解題思路都是清晰、正確的，錯誤往往出現在解題的前面部分，即三角關系式化簡出錯與導數求錯，這不就是一個基礎知識沒有掌握好的問題嗎？本該熟記并能靈活運用的三角公式、求導公式和法則沒有記清、記好；另一方面，數學解題中需要記憶的還有很多，例如一些解題中易錯的、易混的情形，需要分類討論的題型及操作規(guī)程，一些題型的模式化解題等.解題第一步：審題，需要有一定的文字理解能力；數學雖不像語文一樣，經常需要咬文嚼字，但有時也必須逐字逐句的理解意思，否則就會出現是似而非的情況，例如 “沒有公共點”與“不被擋住”是不同的意思，又如“在點”與“過點”的切線也是不同的，等等；我們做過的題何止成千上萬，但絕大多數都是重復的，因為缺少對“不同題目”間的“相同之處”的理解：兩個看似不同的問題實際上是完全一樣的，例如我們初中做過的題“已知 x-y= ， x2+y2=1，求x2-y2的值”與高中三角函數中的題“已知sinx-cosx=，求sin2x-cos2x的值”.

2. 多做課外輔導書上的題，少做甚至不做課本上的例題、習題.

絕大多數同學都喜歡看參考書、做參考書上的題目，而不喜歡看課本、做課本上的例、習題，其實這是一種很嚴重的認識錯誤！同學們認為高考復習書上的問題是特高級教師、有的是高考命題專家命制的，肯定具有權威性和貼近高考真題性，其實不然！沒有一本參考書能跳出課本這個綱，否則這本參考書就是超綱，是嚴重偏離高考方向的.而且高考命題時一定不會出復習資料上的題，否則就違反了公平公正的考試原則.“竟信參考書不如無書.”課本是數學知識和數學思想方法的載體，是課堂教學的依據，其中的例、習題是經過教材編寫者再三醞釀、商討、精挑細選決定的，具有針對性、典型性、示范性，因此，高考命題非常注重課本在命題中的作用，是高考試題的源頭活水.通過對高考數學試題命題的研究可以發(fā)現，每年均有一定量的試題是以課本習題為素材的變式題，通過變形、延伸與拓展來命制的.以課本中例題、習題的變化為題源、以教材中概念、定理、公式等的類比、推廣為題源、以教材中研究性學習課題為題源是常見的三種命題方式.現在的復習只注重回歸課本基礎知識的重現，對課本的例、習題仍是不夠重視，甚至不屑一顧.我們知道，數學高考，不可或缺的當然是一些重要結論和基本方法.有一些結論被命名為性質、定理或公式，有些結論只是一道例題或習題，比如，“過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線”，又比如，“與兩個定點距離的比為的點的軌跡”，這些結論本身或者推廣常常被某一情境隱藏著，成為別出心裁的高考題.只有熟悉課本（例習題），才能快速識別它的原型，從而簡縮思維過程.

3. 總喜歡簡單的解題方法，忽視基本解法.

數學問題是數學的心臟，因此，解題能力就成為同學們學好數學的一個重要因素，在解題實踐中，我們經常發(fā)現許多同學總希望能找到問題解決的快速方法、簡便方法或者巧妙方法，對于按部就班的常規(guī)方法、基本方法不太有興趣，這是一種非常不好的解題狀態(tài)！實際上，基本方法是一種解決問題的通法，具有普遍性，而簡單解法有局限性，實用的范圍一般都比較特殊和窄小，一味追求簡單解法，必然缺乏對基本思想方法的挖掘和相應的訓練，產生的嚴重后果是，同學們能聽得懂，但課后自己仍舊不會解題.這種方法在表象上看是適合的，但實質上并不是同學們能真正接受與理解的，問題解決的基本方法、通性通法等適合認知規(guī)律的方法才是同學們應該重點掌握的方法.例如問題“若cos？琢+2sin？琢=-，則tan？琢=（ ） A. B. - C. 2 D. -2”的一種非常“巧妙”的方法：求導法，（cos？琢+2sin？琢）′=（-）′，-sin？琢+2cos？琢=0，tan？琢=2.其實，這是一種巧合！因為當cos？琢+2sin？琢不等于-時也可求得tan？琢=2，這與事實不符！該方法十分簡捷，同學們能聽懂，但時間一長，該類問題仍舊不會解答，因為還是沒有掌握解決問題的基本方法.因此，本題應該掌握的解法應該是：與同角平方關系組合求解，即由cos？琢+2sin？琢=-，cos2？琢+sin2？琢=1，得sin？琢=-，cos？琢=-，所以tan？琢=2；或兩邊平方后化弦為切求解，即（cos？琢+2sin？琢）2=5，=5，=5，得tan？琢=2.這樣，不管題目如何變化，都容易求解了.又如問題：“ 已知函數f（x）=Acos（wx+？漬）的圖像如圖1所示，f（）=-，則f（0）=（ ） A. - B. - C. D. ”的一種“巧解”：由圖像知，f（x）周期為2（-）=，對稱中心為（+k·，0）（k∈Z），則（-，0）是對稱中心，所以f（）=f（-）=f（-）=-f（0）=-，得f（0）=.該解法通過觀察圖像，從周期性及對稱性上入手，達到了巧妙、簡單解題.這樣的解法有多少同學能真正學會用呢？如果改成其他的求值如f（）還可行嗎？所以，簡單解法雖能聽懂，但不一定能真正理解，更多的可能僅停留在“欣賞”層面，因此，還是應以掌握具有普適性的基本方法為主，這樣同學們才會較好的學會解題、領悟解題，從而達到舉一反三、融會貫通.例如，該題實際上是三角函數中“由圖像求解析式”問題，因此，解決的基本方法，還是通過圖像逐步求出w、A、？漬的值，由解析式來求函數值.由圖像知，f（x）周期為2（-）=，從而知w=3，又f（）=Acos（+？漬）=0，故+？漬=2k？仔-，？漬=2k？仔-，k∈Z，從而知f（x）=Acos（3x+2k？仔-）=Acos（3x-），由f（）=Acos（-）=-A=-得A=，所以f（x）=cos（3x-），故f（0）=cos（-）=.endprint

二、從具體解題實例中感悟解題方法

1. 正視主、客觀題的解題差異.

數學一般分主觀題和客觀題，主觀題需要有必要的反映推理的解題過程，客觀題只需結果.因此，客觀題題型解題時可以用代入驗證法、特殊法、排除法等方法.

例1. 已知函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函數，且當x>0時，f（x）=x2-x+a，若函數g（x）=f（x）-x的零點恰有兩個，則實數a的取值范圍是（ ）

A. a<0 B. a≤0 C. a≤1 D. a≤0或a=1

解析：同學們仔細觀察選擇子可以發(fā)現，本題可以取特殊的a值進行檢驗.取a=0，則易知g（x）=x2-2x在x>0有一個零點2，由奇函數性質知另有一個零點為-2，滿足題意，排除A；取a=1，則易知g（x）=x2-2x+1在x>0有一個零點1，由奇函數性質知另有一個零點-1，滿足題意，排除B；C、D的差異在于00有二個零點，由奇函數性質知另有二個零點、，不滿足題意，排除C.所以應選D.

例如問題“函數f（x）=x2-x+，x∈[0，1]，x∈N，的值域中恰有一個整數，則n的值為（ ） A.0或1 B.0或2 C.0或1或3或4 D.0或1或2或3”就可以采用同樣的解決方法得答案為C，請同學們自己操練一下.

例2. 設函數y=f（x）的定義域為{x│x>0}，且f（xy）=f（x）+f（y），f（8）=3，則f（）________.

解析：這是一個解數解析式未知的抽象函數問題，因為是求值，所以用符合已知條件的特殊函數來代替肯定也是成立的，對于本題，同學們肯定能想到對數函數f（x）=logax，由loga8=3得a=2，故f（）=log2=.例如問題“已知定義域為R的函數滿足，f（a+b）=f（a）·f（b）（a，b∈R），且f（x）>0，若f（1）=，則f（-2）______.”就可以采用同樣的解決方法得答案為4，請同學們自己操練一下.

從就題解題角度講，問題都得到了圓滿解決.那么問題成為解答題的話，上述做法就行不通了，怎么辦？所以，同學們還應該從主觀題的角度來尋求問題解決的方法.

[對于例1]解法1：因為函數f（x）是奇函數，所以函數g（x）=f（x）-x的零點恰有兩個等價于g（x）=x2-2x+a在x∈（0，+∞）恰有一個零點，因為對稱軸為x=1，所以△=4-4a=0或△>0，a≤0，得a≤0或a=1.

注意到函數y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數根？圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點（見人教版必修1教材），所以還可以考慮以下一些方解題法.

解法2：g（x）=x2-2x+a在x∈（0，+∞）恰有一個零點等價于x2-2x+a=0在x∈（0，+∞）恰有一個根，所以△=4-4a≥0，且1+=1->0或1+>0，1-≤0，解得a≤0或a=1.

解法3：函數g（x）=f（x）-x在x∈（0，+∞）恰有一個零點等價于函數y=x2-x+a圖像與函數y=x圖像在x∈（0，+∞）恰有一個交點，考慮這個問題比較麻煩，同學們可以用轉化思想將問題變?yōu)椤皔=-x2+2x圖像與函數y=a圖像在x∈（0，+∞）恰有一個交點”，作出圖像易得a≤0或a=1.

[對于例2]解法：因為f（2）=f（×）=f（）+f（）=2f（），同理f（4）=2f（2）=4f（2），所以f（8）=f（4）+f（2）=6f（）=3，故f（）=.

2. 從問題“題眼”尋找解決方法.

在解題中經?？吹酵瑢W們對所謂的“難題”無法下筆解答，實在感到非?？上?！其實這些題并不難，而且還是常規(guī)的，真正的難點在于同學們不能“準確”尋找到問題的“題眼”，即解題的入口.那么，如何來撩掉入口的“遮蓋物”呢？

例3. 已知1-x+x2-x3+…-x9+x10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，則a2= .

解析：同學們應該可以確定本題是二項式定理類問題，而且類似問題：“若將函數f（x）=x5表示為f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a5（x+1）5，其中a0，a1，a2，…，a5，為實數，則a3= .”肯定也做的不少了，雖然問題在繼承基礎上有了升級，但解決的方法應該還是差不多的.

解法1：如果將問題改成求a9，則同學們基本上都能求，用倒推法，即先求出a10，然后再求出a9，實際上肯定也會有許多同學用這個思路來求，即依次求a10，a9，a8，...，直至求出a2，但因為計算量巨大，不得不半途放棄，這就需要同學們有過硬的計算能力和堅韌的意志力.

根據x10的系數得a10=1；根據x9的系數得a9+C910=-1，a9=-11；根據x8的系數得a8-11C89+C810=1，a8=55；根據x7的系數得a7+55C78-11C79+C710=-1，a7=-165；根據x6的系數得a6-165C67+55C68-11C69+C610=1，a6=330；根據x5的系數得a5+330C56-165C57+55C58-11C59+C510=-1，a5=-562；根據x4的系數得a4-562C45+330C46-165C47+55C48-11C49+C410=1，a4=962；根據x3的系數得a3+962C34-562C35+330C36-165C37+55C38-11C39+C310=-1，a3=-1330；根據x2的系數得a2-1330C23+962C24-562C25+330C26-165C27+55C28-11C29+C210=1，a2=165.

對于考試來講，解法1所用時間與得分比較不劃算，當然，如果考試有充裕的時間也不失為一種解題方法.

解法2：因為認定本題是二項式問題，所以會把右邊看成是展開式，并且從展開式結構特征可以看出是以1和（x+1）展開的，由此可以得到以下兩種思路：

思路1：將左邊的每一項x都等價化為（x+1）-1，即原式左邊=1-[（x+1）-1]+[（x+1）-1]2-[（x+1）-1]3+…-[（x+1）-1]9+[（x+1）-1]10，從而a2=C22（-1）0-C23（-1）1+…-C29（-1）7+C210（-1）8=C22+C23+…+C29+C210，至此，我們可以分別算出C22，C23，…，C29，C210的值然后相加得a2=165，也可以利用組合數性質C mn+C mn-1=C mn+1和C mm=C nn化簡得到，即a2=C22+C23+…+C29+C210=C33+C23…+C29+C210=C34+C24+…+C29+C210=…=C310+C210=C311=165.

思路2：不難發(fā)現左邊1-x+x2-x3+…-x9+x10可以看成是以-x為公比的等比數列和，求和得，故1+x11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11，與思路1一樣處理，由1+[（x+1）-1]11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11知，a2是[（x+1）-1]11展開式中（x+1）3前的系數，故a2=C311（-1）8=165.

解法3：我們知道，在原等式中取x=-1可以求出a0=11，那么我們能否用這種思想來求解呢？答案是肯定的，只要對原等式求2次導數就可以了.

對原等式求導數得-1+2x-3x2+4x2+…-9x8+10x9=a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，再對上面等式求導數得2-6x+12x2-20x3+30x4-42x5+56x6-72x7+90x8=2a2+6a3（x+1）+…+90a10（x+1）8，在上面式子中取x=-1，有2+6+12+20+30+42+56+72+90=2a2，得a2=165.

解法3具有一定的技巧性，比較難想到，并且在2次求導的過程中要將左邊式子全部寫出.

例4. 如果不等式>（a-1）x的解集為A，且A？哿{x│0

解析：本題題干精練，信息不多，但很容易對同學們解題造成很大的困難，這就需要同學們去挖掘題中蘊含的“題眼”，每一個“題眼”都是一種解決的方法.

解法1：因為A是不等式的解，所以，我們可以從解不等式入手.但首先必須保證不等式左邊有意義，即必須4x-x2≥0，得0≤x≤4.

①當a-1<0，即a<1時，不等式對0≤x≤4恒成立，

所以不等式的解集為A={x│0≤x≤4}，不滿足題意；

②當a-1=0，即a=1時，不等式對0

所以不等式的解集為A={x│0

③當a-1>0，即a>1時，不等式可等價轉化為0≤x≤4，4x-x2>（a-1）2x2，

則0

綜上所述，a≥2.

評注：該解法應該是同學們最容易想到的方法，但在實際解題中常會因為對解的情況討論的不完備而出錯；最典型的錯誤是不加分類討論就兩邊平方求解，從而得a≥2，或a≤0.

解法2：注意到不等式可以理解為函數y=的圖像：以（2，0）為圓心，2為半徑的x軸上方的半圓在x∈（0，2）上全部或部分在函數y=（a-1）x的圖像的上方.

作出兩函數圖像如圖2所示，直線l應繞原點逆時針旋轉逐漸接近y軸正半軸（即l1型直線），故得斜率關系a-1≥1，即a≥2.

評注：該解法的思想來源于解方程的題型，這里進行了合理的類比遷移運用.但在解題時，同學們常會弄錯旋轉的方向，認為是順時針旋轉（即l2型直線），其實，這樣的話原題中條件A？哿{x│0（a-1）x在{x│0

解法3：如解法2評注后半部分，原問題實際上等價于不等式>（a-1）x在{x│0

評注：該解法的思維含量比較高，要求同學們有較強的問題分析能力和綜合能力.但在分析清楚后，問題成為同學們熟悉的恒成立問題，便容易解決了.

例5. 設函數f（x）的導函數為f′（x），對任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，則（ ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3） B. 3f（ln2）>2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3） D. 3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

解析：乍看本題題目，比較難找解題思路，但我們可以確定與導數有關.在一個式子中既有導數又有原函數，一般就會與積、商的導數法則有關聯(lián).

解法1：因為f′（x）>f（x）等價于f′（x）-f（x）>0，

故與求導法則中商的導數公式（）′=等可關聯(lián)，

若構造函數h′（x）=[]′=>0，

只要考慮g′（x）=g（x）即可，在中學階段這樣的函數容易想到是g（x）=0或g（x）=ex，

故可以構造函數h（x）=，并且知h（x）是R上增函數，

從而h（ln2）

則3f（ln2）<2（ln3）.

解法2：我們也可以從選擇子特征進行考慮.

3f（ln2）與2（ln3）的大小比較等價于與的大小比較，

從而可以考慮函數h（x）=的單調性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）==>0，

故h（x）=是增函數，由h（2）

解法3：既然該題沒有具體解析式，那么可以通過特殊函數來解決.

例如取f（x）=-1，則f′（x）=0>f（x），

而此時3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2，

所以3f（ln2）<2f（ln3）.

從以上三個例子的解答可以看出，一個問題往往可以從多角度尋求突破，真所謂“條條道路通羅馬”，但同學們沒有必要要求自己全部都掌握，應該理解、掌握好適合自己學情的解題方法.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)越崎中學）

責任編校 徐國堅

解法2：因為認定本題是二項式問題，所以會把右邊看成是展開式，并且從展開式結構特征可以看出是以1和（x+1）展開的，由此可以得到以下兩種思路：

思路1：將左邊的每一項x都等價化為（x+1）-1，即原式左邊=1-[（x+1）-1]+[（x+1）-1]2-[（x+1）-1]3+…-[（x+1）-1]9+[（x+1）-1]10，從而a2=C22（-1）0-C23（-1）1+…-C29（-1）7+C210（-1）8=C22+C23+…+C29+C210，至此，我們可以分別算出C22，C23，…，C29，C210的值然后相加得a2=165，也可以利用組合數性質C mn+C mn-1=C mn+1和C mm=C nn化簡得到，即a2=C22+C23+…+C29+C210=C33+C23…+C29+C210=C34+C24+…+C29+C210=…=C310+C210=C311=165.

思路2：不難發(fā)現左邊1-x+x2-x3+…-x9+x10可以看成是以-x為公比的等比數列和，求和得，故1+x11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11，與思路1一樣處理，由1+[（x+1）-1]11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11知，a2是[（x+1）-1]11展開式中（x+1）3前的系數，故a2=C311（-1）8=165.

解法3：我們知道，在原等式中取x=-1可以求出a0=11，那么我們能否用這種思想來求解呢？答案是肯定的，只要對原等式求2次導數就可以了.

對原等式求導數得-1+2x-3x2+4x2+…-9x8+10x9=a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，再對上面等式求導數得2-6x+12x2-20x3+30x4-42x5+56x6-72x7+90x8=2a2+6a3（x+1）+…+90a10（x+1）8，在上面式子中取x=-1，有2+6+12+20+30+42+56+72+90=2a2，得a2=165.

解法3具有一定的技巧性，比較難想到，并且在2次求導的過程中要將左邊式子全部寫出.

例4. 如果不等式>（a-1）x的解集為A，且A？哿{x│0

解析：本題題干精練，信息不多，但很容易對同學們解題造成很大的困難，這就需要同學們去挖掘題中蘊含的“題眼”，每一個“題眼”都是一種解決的方法.

解法1：因為A是不等式的解，所以，我們可以從解不等式入手.但首先必須保證不等式左邊有意義，即必須4x-x2≥0，得0≤x≤4.

①當a-1<0，即a<1時，不等式對0≤x≤4恒成立，

所以不等式的解集為A={x│0≤x≤4}，不滿足題意；

②當a-1=0，即a=1時，不等式對0

所以不等式的解集為A={x│0

③當a-1>0，即a>1時，不等式可等價轉化為0≤x≤4，4x-x2>（a-1）2x2，

則0

綜上所述，a≥2.

評注：該解法應該是同學們最容易想到的方法，但在實際解題中常會因為對解的情況討論的不完備而出錯；最典型的錯誤是不加分類討論就兩邊平方求解，從而得a≥2，或a≤0.

解法2：注意到不等式可以理解為函數y=的圖像：以（2，0）為圓心，2為半徑的x軸上方的半圓在x∈（0，2）上全部或部分在函數y=（a-1）x的圖像的上方.

作出兩函數圖像如圖2所示，直線l應繞原點逆時針旋轉逐漸接近y軸正半軸（即l1型直線），故得斜率關系a-1≥1，即a≥2.

評注：該解法的思想來源于解方程的題型，這里進行了合理的類比遷移運用.但在解題時，同學們常會弄錯旋轉的方向，認為是順時針旋轉（即l2型直線），其實，這樣的話原題中條件A？哿{x│0（a-1）x在{x│0

解法3：如解法2評注后半部分，原問題實際上等價于不等式>（a-1）x在{x│0

評注：該解法的思維含量比較高，要求同學們有較強的問題分析能力和綜合能力.但在分析清楚后，問題成為同學們熟悉的恒成立問題，便容易解決了.

例5. 設函數f（x）的導函數為f′（x），對任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，則（ ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3） B. 3f（ln2）>2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3） D. 3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

解析：乍看本題題目，比較難找解題思路，但我們可以確定與導數有關.在一個式子中既有導數又有原函數，一般就會與積、商的導數法則有關聯(lián).

解法1：因為f′（x）>f（x）等價于f′（x）-f（x）>0，

故與求導法則中商的導數公式（）′=等可關聯(lián)，

若構造函數h′（x）=[]′=>0，

只要考慮g′（x）=g（x）即可，在中學階段這樣的函數容易想到是g（x）=0或g（x）=ex，

故可以構造函數h（x）=，并且知h（x）是R上增函數，

從而h（ln2）

則3f（ln2）<2（ln3）.

解法2：我們也可以從選擇子特征進行考慮.

3f（ln2）與2（ln3）的大小比較等價于與的大小比較，

從而可以考慮函數h（x）=的單調性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）==>0，

故h（x）=是增函數，由h（2）

解法3：既然該題沒有具體解析式，那么可以通過特殊函數來解決.

例如取f（x）=-1，則f′（x）=0>f（x），

而此時3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2，

所以3f（ln2）<2f（ln3）.

從以上三個例子的解答可以看出，一個問題往往可以從多角度尋求突破，真所謂“條條道路通羅馬”，但同學們沒有必要要求自己全部都掌握，應該理解、掌握好適合自己學情的解題方法.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)越崎中學）

責任編校 徐國堅

解法2：因為認定本題是二項式問題，所以會把右邊看成是展開式，并且從展開式結構特征可以看出是以1和（x+1）展開的，由此可以得到以下兩種思路：

思路1：將左邊的每一項x都等價化為（x+1）-1，即原式左邊=1-[（x+1）-1]+[（x+1）-1]2-[（x+1）-1]3+…-[（x+1）-1]9+[（x+1）-1]10，從而a2=C22（-1）0-C23（-1）1+…-C29（-1）7+C210（-1）8=C22+C23+…+C29+C210，至此，我們可以分別算出C22，C23，…，C29，C210的值然后相加得a2=165，也可以利用組合數性質C mn+C mn-1=C mn+1和C mm=C nn化簡得到，即a2=C22+C23+…+C29+C210=C33+C23…+C29+C210=C34+C24+…+C29+C210=…=C310+C210=C311=165.

思路2：不難發(fā)現左邊1-x+x2-x3+…-x9+x10可以看成是以-x為公比的等比數列和，求和得，故1+x11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11，與思路1一樣處理，由1+[（x+1）-1]11=a0（x+1）+a1（x+1）2+a2（x+1）3+…+a10（x+1）11知，a2是[（x+1）-1]11展開式中（x+1）3前的系數，故a2=C311（-1）8=165.

解法3：我們知道，在原等式中取x=-1可以求出a0=11，那么我們能否用這種思想來求解呢？答案是肯定的，只要對原等式求2次導數就可以了.

對原等式求導數得-1+2x-3x2+4x2+…-9x8+10x9=a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，再對上面等式求導數得2-6x+12x2-20x3+30x4-42x5+56x6-72x7+90x8=2a2+6a3（x+1）+…+90a10（x+1）8，在上面式子中取x=-1，有2+6+12+20+30+42+56+72+90=2a2，得a2=165.

解法3具有一定的技巧性，比較難想到，并且在2次求導的過程中要將左邊式子全部寫出.

例4. 如果不等式>（a-1）x的解集為A，且A？哿{x│0

解析：本題題干精練，信息不多，但很容易對同學們解題造成很大的困難，這就需要同學們去挖掘題中蘊含的“題眼”，每一個“題眼”都是一種解決的方法.

解法1：因為A是不等式的解，所以，我們可以從解不等式入手.但首先必須保證不等式左邊有意義，即必須4x-x2≥0，得0≤x≤4.

①當a-1<0，即a<1時，不等式對0≤x≤4恒成立，

所以不等式的解集為A={x│0≤x≤4}，不滿足題意；

②當a-1=0，即a=1時，不等式對0

所以不等式的解集為A={x│0

③當a-1>0，即a>1時，不等式可等價轉化為0≤x≤4，4x-x2>（a-1）2x2，

則0

綜上所述，a≥2.

評注：該解法應該是同學們最容易想到的方法，但在實際解題中常會因為對解的情況討論的不完備而出錯；最典型的錯誤是不加分類討論就兩邊平方求解，從而得a≥2，或a≤0.

解法2：注意到不等式可以理解為函數y=的圖像：以（2，0）為圓心，2為半徑的x軸上方的半圓在x∈（0，2）上全部或部分在函數y=（a-1）x的圖像的上方.

作出兩函數圖像如圖2所示，直線l應繞原點逆時針旋轉逐漸接近y軸正半軸（即l1型直線），故得斜率關系a-1≥1，即a≥2.

評注：該解法的思想來源于解方程的題型，這里進行了合理的類比遷移運用.但在解題時，同學們常會弄錯旋轉的方向，認為是順時針旋轉（即l2型直線），其實，這樣的話原題中條件A？哿{x│0（a-1）x在{x│0

解法3：如解法2評注后半部分，原問題實際上等價于不等式>（a-1）x在{x│0

評注：該解法的思維含量比較高，要求同學們有較強的問題分析能力和綜合能力.但在分析清楚后，問題成為同學們熟悉的恒成立問題，便容易解決了.

例5. 設函數f（x）的導函數為f′（x），對任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，則（ ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3） B. 3f（ln2）>2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3） D. 3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

解析：乍看本題題目，比較難找解題思路，但我們可以確定與導數有關.在一個式子中既有導數又有原函數，一般就會與積、商的導數法則有關聯(lián).

解法1：因為f′（x）>f（x）等價于f′（x）-f（x）>0，

故與求導法則中商的導數公式（）′=等可關聯(lián)，

若構造函數h′（x）=[]′=>0，

只要考慮g′（x）=g（x）即可，在中學階段這樣的函數容易想到是g（x）=0或g（x）=ex，

故可以構造函數h（x）=，并且知h（x）是R上增函數，

從而h（ln2）

則3f（ln2）<2（ln3）.

解法2：我們也可以從選擇子特征進行考慮.

3f（ln2）與2（ln3）的大小比較等價于與的大小比較，

從而可以考慮函數h（x）=的單調性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）==>0，

故h（x）=是增函數，由h（2）

解法3：既然該題沒有具體解析式，那么可以通過特殊函數來解決.

例如取f（x）=-1，則f′（x）=0>f（x），

而此時3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2，

所以3f（ln2）<2f（ln3）.

從以上三個例子的解答可以看出，一個問題往往可以從多角度尋求突破，真所謂“條條道路通羅馬”，但同學們沒有必要要求自己全部都掌握，應該理解、掌握好適合自己學情的解題方法.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)越崎中學）

責任編校 徐國堅