保序壓縮變換半群的理想的極大子半群

高榮海, 喻秉鈞

(1.貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)編輯部,貴州貴陽(yáng)550001； 2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽(yáng)550001；3.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066； 4.四川師范大學(xué)文理學(xué)院,四川成都610101)

1 預(yù)備知識(shí)

1970年,B.M.Schein[1]提出了刻畫(huà)全變換半群的極大逆子半群的結(jié)構(gòu)和分類(lèi)的公開(kāi)問(wèn)題.40年來(lái),國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者做了大量工作,不但解決了B.M.Schein提出的問(wèn)題,而且創(chuàng)造性地提出了刻畫(huà)多種類(lèi)型有限變換半群中各型極大子結(jié)構(gòu)的許多方法[2-29],取得了豐碩的成果.

記Xn={1＜2＜…＜n}(n∈N+)為n元鏈.已知Xn到自身的所有變換在變換合成下成為一正則半群,記為T(mén)n.稱α∈Tn為保序的,若?x,y∈Xn,x＜y?xα≤yα；稱α∈Tn為壓縮的,若?x,y∈Xn,|xα-yα|≤|x-y|.易知,Xn上所有保序變換之集On是Tn的一子半群；而Xn上所有退化保序壓縮變換之集Wn是On的子半群,且Wn有以下n-1個(gè)理想

關(guān)于On和Wn的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)[10-17]已有多人研究過(guò).在本文中進(jìn)一步研究Wn的理想(1≤r≤n-1)的極大子半群的結(jié)構(gòu)、分類(lèi)及個(gè)數(shù).本文所用半群理論的概念和記號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,如正則元、冪等元、非正則元,Green-關(guān)系、Green*-關(guān)系等,可參看文獻(xiàn)[30-31],本文不再詳述.以下關(guān)于全變換半群Tn中元素的構(gòu)成要素在本文中起著關(guān)鍵作用,需要特別提出.

2 主要結(jié)果及證明

[1]Schein B M.Research problems[J].Semigroup Forum,1970,1:91-92.

[2]Reilly N R.Maximal inverse semigroups ofTX[J].Semigroup Forum,1978,15:319-326.

[3]Yang X L.A classification of maximal inverse subsemigroups of finite symmetric inverse semigroups[J].Commun Algebra,1999,27(8):4089-4096.

[4]Yang X L,Lu C H.Maximal properties of some subsemigroups in finite order-preserving transformation semigroups[J].Commun Algebra,2000,28(6):3125-3135.

[5]You T J,Yang X L.A classification of the maximal idempotent-generated subsemigroups of finite singular semigroups[J].Semigroup Forum,2002,64:236-242.

[6]You T J.Maximal regular subsemigroups of certain semigroups of transformations[J].Semigroup Forum,2002,64:391-396.

[7]Xu B,Zhao P,Li J Y.Locally maximal idempotent-generated subsemigroups of singular order-preserving transformation semigroups[J].Semigroup Forum,2006,72:488-492.

[8]Zhao P,Xu B.Locally maximal idempotent-generated subsemigroups of singular orientation-preserving transformation semigroups[J].Semigroup Forum,2008,77(2):355-362.

[9]Zhao P.Maximal regular subsemiband of SOPn[J].Semigroup Forum,2010,80(2):284-291.

[10]徐波.關(guān)于有限保序部分:變換半群的極大逆子半群[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,26(1):72-73.

[11]徐波,馮榮權(quán).POn的局部極大冪等元生成子半群[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2012,42(4):200-203.

[12]高榮海,徐波.OIn的理想K(n,r)的極大逆子半群[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2008,38(11):154-157.

[13]徐波,趙平,李俊揚(yáng).有限部分保序變換半群POn的具有某種性質(zhì)的極大子半群[J].數(shù)學(xué)雜志,2010,39(4):617-621.

[14]高榮海.具有穩(wěn)定子集的有限奇異變換半群的冪等生成元[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,33(6):778-783.

[15]高榮海,游泰杰.半群POn的理想的極大正則子半群[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,36(5):8-11.

[16]徐波,馮榮權(quán),高榮海.一類(lèi)變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010,40(8):222-224.

[17]高榮海,徐波.關(guān)于保序壓縮奇異變換半群的秩[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2011,46(6):4-7.

[18]楊浩波.全變換半群的極大逆子半群的兩個(gè)注記[J].數(shù)學(xué)雜志,2004,24(2):375-380.

[19]游泰杰.奇異變換半群的局部極大冪等元生成子半群的結(jié)構(gòu)[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2000,18(4):64-69.

[20]高榮海,游泰杰.半群PODn的理想的極大正則子半群[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,36(5):8-11.

[21]趙平,游泰杰,徐波.方向保序變換半群K(n,r)的極大正則子半群[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2011,49(2):203-206.

[22]趙平,胡華碧,徐波.方向保序或反方向保序變換半群I(n,r)的極大正則子半群[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2011,46(12):60-65.

[23]Todorov K,Kracolova L.On the maximal subsemigroup of the ideals of finite symmetric semigroup[J].Simon Stevin,1985,59(2):129-140.

[24]Hotzel E.Maximal properties some semigroups of Bear Levi semigroups[J].Semigroup Froum,1995,51:153-193.

[25]Levi I,Wood G R.On maximal subsemigroups of Bear Levi semigroups[J].Semigroup Froum,1984:30:99-102.

[26]Yang X L.Maximal subsemigroups of the finite singular transformation semigroup[J].Commun Algebra,2001,39(2):1175-1182.

[27]Zhao P,Xu B,Mei Y.Locally maximal idempotent-generated subsemigroups of singular Orientation-preserving transformation semigroups[J].Semigroup Froum,2008,77(2):187-195.

[28]Zhao P.A classification of maximal idempotent-generated subsemigroups of singular Orientation-preserving transformation semigroups[J].Semigroup Froum,2008,79(2):377-384.

[29]Zhao P.Maximal regular subsemibands of SOPn[J].Semigroup Froum,2010,80(3):477-483.

[30]Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Clarendon Press,1995.

[31]Fountain J B.Abundant semigroups[J].London Math Soc,1982,44(3):103-129.