基于一個(gè)新高分?jǐn)?shù)維混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密

趙建峰, 王淑英, 張理濤, 李險(xiǎn)峰

(1.河南職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系,河南鄭州450046； 2.黃河科技學(xué)院民族學(xué)院,河南鄭州450053；3.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系,河南鄭州450015； 4.香港城市大學(xué)土木建筑工程系,香港999077)

在當(dāng)今信息社會(huì),隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展和微型計(jì)算機(jī)的普及,越來(lái)越多的多媒體數(shù)字信息通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸,據(jù)統(tǒng)計(jì),其中圖像信息約占信息總量的70%.這些信息在傳輸過(guò)程中的安全與保密不僅關(guān)系到個(gè)人隱私、企業(yè)的商業(yè)機(jī)密等問(wèn)題甚至關(guān)系到國(guó)家安全,因此在網(wǎng)絡(luò)中圖像信息的安全與保密技術(shù)已越來(lái)越受到全社會(huì)的重視.混沌系統(tǒng)具有良好的偽隨機(jī)特性、軌道的不可預(yù)測(cè)性、對(duì)系統(tǒng)初值及參數(shù)的極端敏感性及拓?fù)鋫鬟f性等特點(diǎn).由于越來(lái)越廣泛使用的圖像和多媒體信息的數(shù)據(jù)量大且冗余度高,已給傳統(tǒng)密碼提出了挑戰(zhàn),混沌信號(hào)天然的隨機(jī)性和隱蔽性等諸多特性使混沌成為加密研究的新熱點(diǎn).L.Kocarev[1]將二者之間的一些對(duì)比關(guān)系做了總結(jié),國(guó)內(nèi)外學(xué)者改進(jìn)加密技術(shù)并將混沌動(dòng)力學(xué)應(yīng)用于傳統(tǒng)的加密算法[2-7].而采用一維混沌系統(tǒng)的加密算法,已被證明安全性不高,因?yàn)槊荑€空間不夠,不能抵御窮舉攻擊；且容易利用相空間重構(gòu)方法進(jìn)行混沌系統(tǒng)識(shí)別[8],攻擊者只要截獲足夠長(zhǎng)的明文/密文對(duì),就能夠破解種子密鑰,從而不能抵御已知明文攻擊.為了加強(qiáng)圖像加密的安全性,高維混沌加密算法已成為研究熱點(diǎn)[9-15].

數(shù)字圖像像素位置的置亂變換是一種重要的加密方法,不會(huì)改變圖像的直方圖特征,對(duì)于冗余度高的圖像不太適合,較難應(yīng)對(duì)窮舉攻擊法,為提高加密性能,與其他加密算法相融合,本文對(duì)于彩色圖像先進(jìn)行基于混沌序列的圖像R、G、B三基色平面像素置亂,之后對(duì)密文三基色分量進(jìn)行像素值異或替代加密,最后對(duì)密文進(jìn)行統(tǒng)計(jì)特性分析.

1 高維數(shù)混沌系統(tǒng)

各種混沌系統(tǒng)相繼被提出,其中分?jǐn)?shù)維數(shù)越高,系統(tǒng)占用的空間就越大,系統(tǒng)的吸引子的纏繞性就越復(fù)雜,混沌信號(hào)的類隨機(jī)性越強(qiáng),而具有高分?jǐn)?shù)維數(shù)的混沌系統(tǒng)并不多見[16-17],為此,構(gòu)造一個(gè)新三維自治混沌系統(tǒng),其方程為

其中,X=(x,y,z)T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,(a,b,c)T為系統(tǒng)的參數(shù)向量.圖1(a)給出新混沌的控制參數(shù)a在區(qū)間[1,11]內(nèi)連續(xù)變化下的DKY值.圖1(a)顯示,此混沌吸引子的DKY幾乎都大于2.5,并且隨著控制參數(shù)繼續(xù)增大,有的混沌吸引子的DKY甚至達(dá)到了2.933.圖1(b)和圖1(c)展示了該混沌系統(tǒng)的非線性特征.取積分步長(zhǎng)為0.01,在積分5×105次后,計(jì)算得出的3個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為(l1,l2,l3)=(0.555 8,0,-0.595 3),DKY=2.933 6,DJ=2.955 1,關(guān)聯(lián)維數(shù)D2=2.912 4,DKY和DJ的絕對(duì)誤差|d|是0.021 4,DKY依舊小于DJ.

令(1)式中各項(xiàng)等于零,得到

求解(2)式中的2個(gè)平衡點(diǎn)分別為點(diǎn)M(-0.447 2,-13.416 2,-0.268 3)和點(diǎn)N(0.447 2,-4.085,-0.817 1),在點(diǎn)M處對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行線性化,得到系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

為求出系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)M處相應(yīng)的特征值,令det(JM-λI)=0,解得特征值為:λ1=0.353,λ2,3=-0.654 9±1.259 5i.

同理解得平衡點(diǎn)N處的特征值為λ1=0.13,λ2,3=-0.216 8±1.251 3i,可見2個(gè)平衡點(diǎn)有1個(gè)特征值是正實(shí)數(shù),而另外2個(gè)是一對(duì)共軛復(fù)數(shù),因此2個(gè)平衡點(diǎn)都是第一類鞍點(diǎn),顯然是不穩(wěn)定的.由微分方程理論知這2個(gè)平衡點(diǎn)都不穩(wěn)定,其中實(shí)部為負(fù)的特征根保證平衡點(diǎn)在某方向上有吸引性,使軌線收斂,正特征根保證平衡點(diǎn)在某方向有排斥性,使軌線螺旋發(fā)散.這從理論上證明了該系統(tǒng)存在混沌的可能性.

混沌吸引子的相鄰軌線呈現(xiàn)分離的趨勢(shì),Lyapunov指數(shù)圖可以定量描述軌線收縮或者開展的量,采用四階Runge-Kutta算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,步長(zhǎng)根據(jù)控制目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整,系統(tǒng)的全局分岔圖如圖1(c)所示.由此可見,當(dāng)分岔參數(shù)b遞增的時(shí)候,系統(tǒng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.系統(tǒng)的全局Lyapunov指數(shù)譜如圖1(d)所示,與系統(tǒng)的全局分岔圖(圖1(c))完全吻合.

2 基于新混沌的數(shù)字圖像加密實(shí)現(xiàn)

2.1 算法描述基于混沌的加密流程如圖2所示.讀入原始圖像Ximage,大小為M×N的Lena圖像,A(x,y)(x∈[0,M-1],y∈[0,N-1])表示原始圖像在點(diǎn)(x,y)處的像素值,Ai(x,y)(x∈[0,M-1],y∈[0,N-1])(i=1,2,3)表示原始圖像在第i次加密后的像素值.基于圖像像素值替代的加密算法設(shè)計(jì)如下.

1)給出新混沌的系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c)和系統(tǒng)初始值(x(0),y(0),z(0))作為密鑰,代入混沌系統(tǒng)(1),生成3個(gè)混沌序列(x,y,z).計(jì)算過(guò)程中,使用雙精度數(shù)以降低出現(xiàn)循環(huán)數(shù)據(jù)的可能性.

2)動(dòng)力系統(tǒng)初期不會(huì)立刻進(jìn)入混沌狀態(tài),故加密時(shí)從混沌序列(x,y,z)的第1 000位開始取起,x=reshape(x(1 000:M*N+1 000-1),M,N)；y=reshape(y(1 000:M*N+1 000-1),M,N)；z=reshape(z(1 000:M*N+1 000-1),M,N).

利用排序函數(shù)對(duì)3個(gè)混沌序列進(jìn)行排序并記下位置矩陣,用位置矩陣對(duì)圖像的R分量、G分量和B分量分別進(jìn)行像素位置置換.

3)取x序列中每一個(gè)值小數(shù)點(diǎn)后的第5、6、7三位數(shù)字組成一個(gè)正整數(shù)進(jìn)行模運(yùn)算,將此整數(shù)對(duì)256取余,得到一個(gè)字節(jié)的無(wú)符號(hào)整數(shù):

將無(wú)符號(hào)整數(shù)組成加密序列,對(duì)置亂圖像中的(i,j)位置的像素點(diǎn)的灰度值A(chǔ)(i,j)進(jìn)行二進(jìn)制位異或操作得到加密圖像.

2.2 數(shù)值試驗(yàn)和安全性分析仿真實(shí)驗(yàn)以Matlab 7.1為平臺(tái),明文圖像選用大小分別為256×256的Lena彩色圖像,加密效果如圖3和圖4所示.

相鄰像素的相關(guān)性.為了檢驗(yàn)原始圖像和加密圖像相鄰像素的相關(guān)性,從圖像中選取1 000對(duì)水平方向、垂直方向和對(duì)角方向相鄰像素對(duì),用如下公式定量計(jì)算相鄰像素的相關(guān)系數(shù):

從圖5和表1中可以看出,原始圖像的相鄰像素是高度相關(guān)的,而加密圖像的相鄰像素相關(guān)系數(shù)已經(jīng)明顯降低,原始圖像的統(tǒng)計(jì)特性已經(jīng)擴(kuò)散到隨機(jī)的密文中.

表1 原始圖像和密文圖像相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)分析Table 1 Correlation coefficients of original and encryption image

3 結(jié)論

本文提出一個(gè)彩色圖像加密算法,先通過(guò)新的最復(fù)雜吸引子產(chǎn)生的3個(gè)混沌序列生成位置矩陣對(duì)R、G、B三基色進(jìn)行位置置亂,生成置亂圖像.為增強(qiáng)加密效果,再利用3個(gè)混沌序列對(duì)置亂圖像的三基色平面進(jìn)行異或加密,直方圖顯示加密效果良好,并且相鄰像素的相關(guān)性極大降低,Matlab平臺(tái)數(shù)值仿真給出了3個(gè)方向的相鄰像素相關(guān)系數(shù)及圖像,驗(yàn)證了此算法的適用性.

[1]Kocarev L.Chaos-based cryptography:a brief overview[J].IEEE Circuits and Systems,2001,1(3):6-21.

[2]Chen G R,Mao Y B,Chui C K.A symmetric image encryption scheme based on 3D chaotic cat maps[J].Chaos Solitons and Fractals,2004,21(3):749-761.

[3]廖曉峰,肖迪,陳勇,等.混沌密碼學(xué)原理及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[4]楊小平,付靜.一種混沌密碼體制的實(shí)現(xiàn)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,27(4):431-433.

[5]龐朝陽(yáng),周日貴,丁從寶,等.量子算法及其在圖像處理中的應(yīng)用[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,32(4):522-540.

[6]Ismail A I,Mohammed A,Hossam D.A digital image encryption algorithm based a composition of two chaotic logistic maps[J].Int J Network Security,2010,11(1):1-10.

[7]趙耿,李楊,方錦清.電子商務(wù)中混沌密碼算法的研究[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,23(4):1-7.

[8]王雅慶,周尚波.基于分?jǐn)?shù)階陳氏混沌系統(tǒng)的圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2013,33(4):1043-1046.

[9]靳冰,?？诐?基于小波和混沌的圖像置亂加密新算法[J].西華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,31(6):44-45.

[10]Behnia S,Akhshani A,Mahmodi H,et al.A novel algorithm for image encryption based on mixture of chaotic maps[J].Chaos Solitons and Fractals,2008,35(2):408-419.

[11]Gao T G,Chen Z Q.A new image encryption algorithm based on hyper-chaos[J].Phys Lett,2008,372(4):394-400.

[12]韓鳳英,朱從旭.基于Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)數(shù)字圖像加密算法[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,32(4):39-41.

[13]Seyedzadeh S M,Mirzakuchaki S.A fast color image encryption algorithm based on coupled two-dimensional piecewise chaotic map[J].Signal Processing,2012,92(5):1202-1215.

[14]曾光輝,胡凱,佟維.基于Logistic均勻分布圖像置亂方法[J].物理學(xué)報(bào),2011,60(11):11508-1-8.

[15]朱從旭,孫克輝.對(duì)一類超混沌加密算法的密碼分析與改進(jìn)[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(12):120503-1-11.

[16]高智中,韓新風(fēng),章毛連.一個(gè)新的混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,35(2):288-292.

[17]褚衍東,李險(xiǎn)峰,張建剛,等.一類新自治混沌系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真與電路模擬[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,44(3):550-556.