可信性空間上變動(dòng)生存年金的精算現(xiàn)值模型

楊 靜

(北京航空航天大學(xué)，北京100191)

一、問(wèn)題的提出

傳統(tǒng)的壽險(xiǎn)精算模型是建立在概率空間上，視人的壽命為隨機(jī)變量，用概率測(cè)度進(jìn)行度量［1-3］.然而，在現(xiàn)實(shí)世界，壽險(xiǎn)中的不確定性往往表現(xiàn)為模糊性不確定性.如文獻(xiàn)［4］指出，就壽命分布而言，由于人的生存和死亡的不確定性是十分復(fù)雜的，而概率是一種滿(mǎn)足可加性(可列可加性)的測(cè)度，要描述一個(gè)人在某年齡的生存或死亡的可能性，概率的可加性條件是難以滿(mǎn)足，因此用模糊測(cè)度——可信性測(cè)度代替概率測(cè)度，建立了可信性空間上的壽險(xiǎn)精算模型.可信性測(cè)度是描述模糊性的新方法，文獻(xiàn)［5］視壽險(xiǎn)中的生命為可信性空間上的模糊變量，用具有自對(duì)偶、次可加性、正定性的可信性測(cè)度去度量，討論了其中的一些基本問(wèn)題，將壽險(xiǎn)精算理論擴(kuò)展到可信性空間上.本文在在可信性空間上，基于文獻(xiàn)［5-6］討論可信性空間上變動(dòng)生存年金的精算現(xiàn)值模型，分別建立每年期初支付變動(dòng)終身年金，期初支付變動(dòng)n年年金，期末支付變動(dòng)終身年金，期末支付變動(dòng)n年年金.

二、預(yù)備知識(shí)

定義1［6］設(shè)Θ是一非空集合，P(Θ)為Θ的冪集，P(Θ)中每一個(gè)元素稱(chēng)為一個(gè)事件.若集函數(shù)Cr:P(Θ)→[0，1]滿(mǎn)足:

(i)Cr{Θ}=1;

(ii)當(dāng) A? B 時(shí)，Cr{A}≤Cr{B};

(iii)對(duì)于任意A∈P(Θ)，Cr{A}+Cr{Ac}=1;

(iv)對(duì)于任何Ai∈P(Θ)，若，有.則稱(chēng)Cr為一個(gè)可信性測(cè)度.

三元組(Θ，P(Θ)，Cr)稱(chēng)為可信性空間［7］.

定義2［7］設(shè)ξ為一從可信性空間 (Θ，P(Θ)，Cr)到實(shí)直線(xiàn)R上的函數(shù)，則稱(chēng)ξ為一模糊變量.

定義3［8］設(shè)ξ為模糊變量，函數(shù)Φ:R→ [0，1]滿(mǎn)足

則稱(chēng)Φ為模糊變量ξ的可信性分布.

定義4［7］設(shè)ξ是定義在可信性空間(Θ，P(Θ)，Cr)上的模糊變量.那么，由可信性測(cè)度Cr可以導(dǎo)出其隸屬度函數(shù)為

定理1［9］設(shè)ξ為模糊變量且可信性分布為Φ，假設(shè)Cr{ξ≤x}≠Cr{ξ≤x+t}(t＞0 )，則有

定義5 設(shè)T(x)為x歲的人的余壽，則稱(chēng)Φx(t)=Cr{T(x)≤t}(t＞0)為余壽分布函數(shù)

Φx(t)表示x歲的人在未來(lái)的t年內(nèi)死亡的可信性，實(shí)際反映0歲的人活過(guò)x歲的條件下在x+t歲前死亡的可信性.

可信性空間中國(guó)際精算符號(hào)的定義［8］:

tqx表示x歲的人活不過(guò)x+t歲的可信性，即tqx=Φx(t)=Cr{T(x)≤t}

tpx表示x歲的人活過(guò)x+t歲的可信性，即tpx=1-tqx=Cr{T(x)＞t}=Sx(t)當(dāng)t=1時(shí)，我們記1qx=qx，1px=px

t|uqx表示x歲的人在x+t歲與x+t+u歲之間死亡的可信性，即

當(dāng)u=1時(shí)，我們記

定理2［7］ξ為可信性空間上的離散型模糊變量，若其隸屬度函數(shù)為

不失一般性，不妨假設(shè)a1≤a2≤…≤an.則模糊變量ξ的期望值

三、主要結(jié)果

(一)期初付變動(dòng)終身生存年金的精算現(xiàn)值模型

一些符號(hào)規(guī)定如下:

K——x歲的被保人自保單生效后的取整余壽

Y——到被保險(xiǎn)人死亡之時(shí)保險(xiǎn)人所付的年金現(xiàn)值

v——折現(xiàn)因子

這里的K，Y均為可信性空間的離散型模糊變量

變動(dòng)的生存年金:

在第一年支付1單位元的現(xiàn)值，第二年支付2單位元的現(xiàn)值，以此下去直至被保險(xiǎn)人死亡.

需要說(shuō)明的是人的壽命是有限的，我們假設(shè)被保人在整數(shù)極限年[W]歲上死亡，另對(duì)被保人來(lái)說(shuō)，其第k+1年死亡的可信性為

x歲的被保人取整余壽K，則到死亡發(fā)生時(shí)為止的所有已支付的年金現(xiàn)值

這里的模糊事件{Y=yk+1}等介于事件{k(x)=k}

故有uk+1=[2cr{Y=yk+1}]∧1=[2cr{K(x)=k}]∧1=(2k|qx)

不失一般性，不妨假設(shè)y1≤y2≤…≤yk+1≤….于是由定理2的結(jié)論，得該年金的精算現(xiàn)值模型

(二)期初付變動(dòng)n年生存年金的精算現(xiàn)值模型

(三)期末付變動(dòng)終身生存年金的精算現(xiàn)值模型

(四)期末付變動(dòng)n年生存年金的精算現(xiàn)值模型

四、結(jié)論

通過(guò)對(duì)可信性空間上年金的討論，給出了可信性空間上生存年金精算現(xiàn)值模型，分別建立了年初，年末支付變動(dòng)終身生存年金精算現(xiàn)值模型和年初，年末支付n年變動(dòng)生存年金精算現(xiàn)值模型.從而使得可信性空間上壽險(xiǎn)精算模型進(jìn)一步得到完善.

［1］N.L.Bowers，H.U.Gerber，J.C.Hickman，D.A.Jones，C.J.Nesbitt，Actuarial Mathematics.The Society of Actuaries，Itasca，IL，1986.

［2］M.S.Dorfman，S.W.Adelman，Life Insurance.2nd ed.Dearbom Financial Publishing，Inc.1992.

［3］Y.Lei，Life Insurance Actuarial Science(in Chinese).Beijing:Beijing University Press，1998.

［4］H.J.Li，M.HmHa，Basic formations and model of life assurance on Quasi-probability space(in Chinese)，Journal of Hainan Normal University(Natural Science)，vol.21，no.4，pp.357–361，Dec.2008.

［5］M.Y.Yuan，Credibility distribution of a fuzzy variable that takes vale on interval.

［6］M.Y.Yuan，Basic formations of life function based on credibility measure.

［7］B.Liu，Y.K.Liu，Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models，IEEE Transactions on Fuzzy Systems，vol.10，no.4，pp.445–450，2002.

［8］雷 宇.壽險(xiǎn)精算學(xué)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1998.

［9］柏滿(mǎn)迎，鄭海濤.壽險(xiǎn)精算學(xué)教程［M］.北京:人民郵電出版社，2007.