在區(qū)間上取值的模糊變量的可信性分布

袁敏英，孫大軍

（廊坊師范學(xué)院，河北 廊坊 065000）

0 引言

Liu & Liu 于2002 年提出了一個(gè)滿足自對(duì)偶性和次可加性的可信性測(cè)度［1］，并于2004 年建立了可信性理論［2］。近年來(lái)，可信性理論已成為研究模糊現(xiàn)象的一種重要數(shù)學(xué)工具，并已成功應(yīng)用到一些重要的領(lǐng)域［3-8］。同概率論中隨機(jī)變量的概率分布一樣，可信性分布［9］是可信性理論中的重要組成部分?？尚判苑植甲?002 年Liu 提出后，引起了一些專家學(xué)者的關(guān)注。例如，文獻(xiàn)［2］給出了可信性分布的一個(gè)充分必要條件，刻畫了可信性分布的本質(zhì)屬性；文獻(xiàn)［10］探討了可信性分布的一些數(shù)學(xué)性質(zhì)，并證明了模糊變量的特征函數(shù)的連續(xù)性定理；文獻(xiàn)

［11］基于可信性分布引進(jìn)了模糊占優(yōu)的新概念，并討論了模糊占優(yōu)的一些基本性質(zhì)。然而，除可信性分布定義之外，用可信性分布刻畫模糊變量的取值規(guī)律的結(jié)論是一個(gè)空白。對(duì)比概率論中有完整的利用概率分布刻畫隨機(jī)變量的取值規(guī)律的系列結(jié)論，可信性理論中相關(guān)結(jié)論的缺失就更為突出，這是由于可信性測(cè)度的次可加性使得其研究比概率測(cè)度更為復(fù)雜。事實(shí)上，概率論中許多結(jié)論、公式在可信性理論中并不成立。

在可信性理論中，用可信性分布刻畫模糊變量的取值規(guī)律，實(shí)質(zhì)是模糊事件的可信性測(cè)度計(jì)算的理論問(wèn)題。文獻(xiàn)［1］提出模糊模擬技術(shù)，給出近似計(jì)算模糊事件的可信性測(cè)度的方法，且文獻(xiàn)［12］中Liu Y K 證明了該方法的收斂性。盡管模糊模擬技術(shù)能用于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的近似計(jì)算，但在可信性測(cè)度的理論研究上有其局限性，且無(wú)法實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題理論模型的推導(dǎo)。文獻(xiàn)［13］提出可信性反演定理，給出由隸屬度函數(shù)的上確界求一個(gè)模糊事件的可信性測(cè)度的方法。文獻(xiàn)［7］基于可信性反演定理，給出幾個(gè)具體的模糊事件的可信性測(cè)度的隸屬度函數(shù)表達(dá)式。

在理論上，可信性反演定理對(duì)于計(jì)算模糊事件的可信性測(cè)度具有一般性、普遍性，但計(jì)算較為復(fù)雜。特別是對(duì)于簡(jiǎn)單且常見(jiàn)的在區(qū)間上取值的模糊變量，對(duì)比概率論中用區(qū)間端點(diǎn)的分布函數(shù)值來(lái)表示的結(jié)論，計(jì)算上確界就更顯復(fù)雜。為此，我們提出在區(qū)間上取值的模糊變量的可信性分布問(wèn)題，在一個(gè)弱條件下，推導(dǎo)在區(qū)間上取值的模糊變量的可信性分布表達(dá)式、條件可信性分布表達(dá)式。得到僅用區(qū)間端點(diǎn)的可信性分布函數(shù)值表示模糊事件的可信性測(cè)度的等式。從而為應(yīng)用可信性分布處理實(shí)際問(wèn)題，特別是為建立和推導(dǎo)實(shí)際問(wèn)題的理論模型，給出重要的理論支撐。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］設(shè)Θ 是一非空集合，P( Θ )為Θ 的冪集。Cr是定義在P( Θ) 上的集函數(shù)。如果Cr滿足以下四條公理，則稱Cr是一個(gè)可信性測(cè)度。

理1 （規(guī)范性）Cr{Θ } =1。

公 理2 （單 調(diào) 性） 如 果A?B，則 有

公理3 （自對(duì)偶性） 對(duì)于任何A∈P( Θ )，

公理4 （極大性） 對(duì)于任何Ai∈P( Θ )，若

定義2［13］一個(gè)模糊變量就是指從可信性空間到實(shí)數(shù)集上的函數(shù)。

定義3［9］模糊變量ξ的可信性分布定義為

顯然，Φ是單調(diào)增函數(shù)。

定 義4［13］設(shè)ξ是 定 義 在 可 信 性 空 間 上的模糊變量。那么由可信性測(cè)度Cr可以導(dǎo)出其隸屬度函數(shù)為

定理1［14］設(shè)Θ為一個(gè)非空集合，P( Θ )為Θ的冪集，Cr是可信性測(cè)度，則對(duì)于任意A,B∈P( Θ) 有

定理2［14］設(shè)Θ為一個(gè)非空集合，P( Θ) 為Θ的冪集，Cr是可信性測(cè)度，則對(duì)于任意A,B∈P( Θ )有

定理3［2］可信性測(cè)度Cr是次可加的，即對(duì)于任意A,B∈P( Θ )有

定理4［13］（可信性反演定理）設(shè)ξ是由隸屬度函數(shù)μ表示的一個(gè)模糊變量，則對(duì)實(shí)數(shù)集的任意子集B，成立

定義5［14］設(shè)可信性空間(Θ,P( Θ ),Cr)，對(duì)任意A,B∈P( Θ) ，稱在事件B下事件A的條件可信性測(cè)度為：

當(dāng)Cr{B} ＞0時(shí)

2 模糊變量的可信性分布

以下主要討論在區(qū)間上取值的模糊變量ξ的可信性分布表達(dá)式。

引理1 設(shè)ξ為模糊變量，Cr是一可信性測(cè)度，若則 當(dāng)時(shí)，有Cr{ξ＞x+t}＜0.5成立。

另外，當(dāng)Cr{ξ≤x}＜0.5時(shí)，Cr{ξ＞x+t}只有兩種取值結(jié)果：Cr{ξ＞x+t}≤0.5 或Cr{ξ＞x+t}≥0.5。從而有下面的引理：

引理2 設(shè)ξ為可信性空間上的模糊變量，Cr是一 可 信 性 測(cè) 度 ，x,t(t＞0 )∈?， 若只有三種取值組合：定理5 設(shè)ξ為模糊變量且可信性分布函數(shù)為Φ，x,t(t＞0 )∈?，若Cr{ξ≤x}≠Cr{ξ≤x+t}，則有

證明：簡(jiǎn)記：

由引理2知a和c只有三種取值組合：

以下分別對(duì)這三種情況進(jìn)行討論：

（1）a＜0.5，c≤0.5

由a＜0.5，c≤0.5 及 定 理 3 得 ，進(jìn)一步由這個(gè)不等式及定理 2 得，從而由公理1和公理3得，

由a≥0.5，c＜0.5 及 公 理3 和 定 理1 得，

所以這里只有b≥c一種情況，此時(shí)又因?yàn)閺?而 有故

（3）a＜0.5，c≥0.5

由c≥0.5 及 公 理 3 得，Cr{ξ≤x+t}=1-Cr{ξ＞x+t}≤0.5，從 而 由 定 理1 得于是有

當(dāng)a≤b時(shí) ， 有時(shí) ， 有Cr{ξ＞x+t}=Cr{ξ≤x+t}，與假設(shè)矛盾。所以這里只有a≤b一種情況，此時(shí)又從而有Φ(x+t)，故

推論1 設(shè)ξ為可信性空間上的模糊變量，若其分布函數(shù)Φ(x)=Cr{ξ≤x} 嚴(yán)格單調(diào)增，則對(duì)任意區(qū)間(a,b]有成立。

如果去掉定理5 的假設(shè)條件，不難得到與文獻(xiàn)

［14］定理1.13類似的結(jié)果。即：

性質(zhì)1 設(shè)ξ為模糊變量，其可信性分布Φ，則對(duì)任意區(qū)間(a，b]有Φ(b) -Φ(a) ≤Cr{a <ξ ≤b} ≤Φ(b) ∧(1-Φ(a) )。

例1 設(shè)模糊變量ξ的隸屬度函數(shù)為

因此有

同理

顯然，方法一比方法二要簡(jiǎn)便。

基于定理5，可進(jìn)一步給出條件可信性分布函數(shù)表達(dá)式。

定理6 設(shè)ξ為模糊變量且可信性分布為Φ，假設(shè)則 有

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化上式，進(jìn)行以下分析：

3 結(jié)語(yǔ)

可信性分布是刻畫模糊變量取值規(guī)律的函數(shù)，一般情況下，在區(qū)間上取值的模糊變量沒(méi)有可信性分布表達(dá)式。本文增加了一個(gè)較弱的條件，得到了在區(qū)間上取值的模糊變量的可信性分布表達(dá)式及條件可信性分布表達(dá)式。使得可信性測(cè)度的計(jì)算由復(fù)雜的求上確界變?yōu)楹?jiǎn)單的求函數(shù)值，也為應(yīng)用可信性分布處理實(shí)際問(wèn)題，特別為建立和推導(dǎo)實(shí)際問(wèn)題的理論模型給出重要的理論支撐。