一種基于平均周期圖的頻域信噪比估計(jì)算法*

胡冰舟，張 蓉，雷維嘉，謝顯中

(重慶郵電大學(xué)移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065)

1 引言

信噪比作為衡量信道質(zhì)量的重要參數(shù)之一，其研究一直受到廣泛的關(guān)注。在通信系統(tǒng)中，很多環(huán)節(jié)都需要信噪比的先驗(yàn)知識(shí)來進(jìn)行性能優(yōu)化，如調(diào)制和編碼方式的選擇，蜂窩網(wǎng)中越區(qū)切換、功率控制和信道分配等。

現(xiàn)有的信噪比估計(jì)算法從采用的信號(hào)處理方法的角度可以分為最大似然估計(jì)法[1－4]、二階四階矩(M2M4)估計(jì)法[5－6]、高階累積量估計(jì)法[7]、多項(xiàng)式擬合法[8－9]和頻域估計(jì)法[10－11]等，其中前 4 種都是時(shí)域算法。最大似然估計(jì)法可對(duì)輸入匹配濾波器的過采樣數(shù)字信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，也可對(duì)輸入判決器的符號(hào)間隔采樣數(shù)字信號(hào)進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[2]針對(duì)MPSK信號(hào)，對(duì)使用上述兩種信號(hào)時(shí)，在復(fù)AWGN條件下的信噪比估計(jì)性能進(jìn)行對(duì)比，證明在數(shù)據(jù)輔助條件下，最大似然算法最優(yōu);而無數(shù)據(jù)輔助時(shí)，在高信噪比時(shí)有較好的性能，但低信噪比時(shí)性能明顯下降。文獻(xiàn)[3]提出一種基于迭代的信號(hào)幅度和信噪比聯(lián)合估計(jì)算法，改善了由判決錯(cuò)誤導(dǎo)致的估計(jì)偏差，性能接近數(shù)據(jù)輔助類算法。該方法提高了低信噪比時(shí)的估計(jì)精度，但復(fù)雜度也增加了。最大似然法估計(jì)精度較高，但其不適用于非恒包絡(luò)信號(hào)。接收機(jī)的本地載波與接收信號(hào)載波有頻差時(shí)，最大似然算法也不適用。

文獻(xiàn)[5]給出一種改進(jìn)的M2M4估計(jì)法，在一定的信噪比范圍內(nèi)估計(jì)偏差很小，但該信噪比范圍較小。文獻(xiàn)[7]研究了高階統(tǒng)計(jì)量的盲信噪比估計(jì)算法，改善了M2M4算法在高階調(diào)制時(shí)和高信噪比下的性能，但是其估計(jì)范圍也不大。多項(xiàng)式擬合法是一種重要的盲信噪比估計(jì)法，文獻(xiàn)[8]利用數(shù)據(jù)曲線擬合的方法對(duì)基于矩特征的信噪比估計(jì)進(jìn)行了改進(jìn)，得到了較好的估計(jì)性能。頻域估計(jì)算法使用符號(hào)采樣前的信號(hào)，在頻域中對(duì)信噪比進(jìn)行估計(jì)。此算法利用只有噪聲的頻段計(jì)算出噪聲功率，信號(hào)功率可由總功率與噪聲功率的差得到。文獻(xiàn)[10－11]比較了頻域信噪比估計(jì)法和其他方法的性能，與其他方法相比，頻域估計(jì)法處理過程簡(jiǎn)單，計(jì)算量相對(duì)較少，有較高的估計(jì)精度。

由于上述文獻(xiàn)中信噪比估計(jì)算法出現(xiàn)復(fù)雜度高、估計(jì)范圍窄、低信噪比下估計(jì)精度低或者應(yīng)用范圍有限等問題，本文對(duì)低信噪比條件下的頻域估計(jì)算法進(jìn)行分析，給出一種基于平均周期圖的頻域估計(jì)算法，該算法運(yùn)算量少，復(fù)雜度低。Matlab仿真結(jié)果表明，本文算法在低信噪比下可以實(shí)現(xiàn)較準(zhǔn)確估計(jì)，并且應(yīng)用范圍廣，不受多普勒頻移影響。

2 頻域信噪比估計(jì)算法

頻域估計(jì)法適用于白噪聲并已知信號(hào)頻帶的情況，如果信號(hào)頻帶未知，也可通過信號(hào)的頻譜特性估計(jì)出來。白噪聲信道下的接收信號(hào)中，噪聲功率譜密度在整個(gè)頻帶內(nèi)為均勻分布，而信號(hào)的功率則集中在低頻段。利用這一特性，可先用無信號(hào)功率分布的頻段估計(jì)出噪聲的功率譜密度，再利用其估計(jì)出噪聲功率，然后將總功率減去噪聲功率得到信號(hào)功率，即可求得信噪比值。

設(shè)信號(hào)帶寬為B，雙邊功率譜密度為Ds(f)，接收信號(hào)在抽樣前經(jīng)過了一個(gè)帶寬為BLPF的低通濾波器。經(jīng)過濾波器后的噪聲雖然已不是嚴(yán)格意義上的白噪聲，但在帶寬BLPF范圍內(nèi)其功率譜密度仍然近似為常數(shù)，設(shè)為Dn(雙邊譜密度);接收信號(hào)的總功率為P，如圖1所示。

圖1 接收信號(hào)功率譜示意圖Fig.1 Power spectrum of receiving signals

總功率P可根據(jù)帕斯瓦爾定理從頻域計(jì)算得到:

最后一個(gè)等號(hào)右邊第一項(xiàng)為信號(hào)功率Ps，第二、三、四項(xiàng)之和為噪聲功率Pn，總功率P和等式右邊第三、四項(xiàng)(記為Pn1)的值都可通過DFT求取，算法的關(guān)鍵在于求出噪聲的功率譜密度Dn。

隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度定義為

式中，E為期望運(yùn)算。如果忽略期望運(yùn)算并利用一組隨機(jī)數(shù)據(jù)信號(hào){x(0)，x(1)，…，x(N －1)}進(jìn)行計(jì)算，則周期圖譜估計(jì)器定義為

周期圖在頻域上的采樣可用DFT求出:

其中，X(k)是輸入信號(hào)x(n)的N點(diǎn)DFT。信號(hào)總功率為

式(1)右邊第三、四項(xiàng)只有噪聲頻段的功率為

式中，Ns為信號(hào)帶寬B對(duì)應(yīng)的數(shù)字角頻率的采樣點(diǎn)序號(hào):

式中，fs為采樣頻率，fs＞2BLPF。噪聲功率譜密度為

則噪聲功率估計(jì)值為

信號(hào)功率估計(jì)值為

信噪比為

DFT運(yùn)算點(diǎn)數(shù)N越大，通過式(8)估計(jì)得到的Dn越準(zhǔn)確，相應(yīng)信噪比的估計(jì)結(jié)果就越準(zhǔn)確。若要進(jìn)行低信噪比條件下的精確估計(jì)，需要做很大點(diǎn)數(shù)的DFT，這在用FPGA等方法具體實(shí)現(xiàn)時(shí)需要消耗大量的硬件資源;另一方面DFT的點(diǎn)數(shù)需要根據(jù)輸入信號(hào)條件變化，實(shí)現(xiàn)時(shí)也不方便。

3 頻域估計(jì)算法的改進(jìn)

文獻(xiàn)[12]中證明式(3)得到周期圖的方差不隨記錄數(shù)據(jù)N的長(zhǎng)度增大而減小，也就是說周期圖不是一致估計(jì)。盡管當(dāng)N→∞時(shí)均值收斂到真實(shí)的功率譜密度，但是方差并沒有趨于零，原因是缺少公式(2)中的期望運(yùn)算。為了改進(jìn)周期圖的統(tǒng)計(jì)特性，可以近似地用一組周期圖進(jìn)行平均的方法完成期望運(yùn)算。假定在區(qū)間0≤n≤L－1上有K組獨(dú)立記錄的數(shù)據(jù)，并且都是同一隨機(jī)過程的實(shí)現(xiàn)，若數(shù)據(jù)是{x0(n)，0≤n≤L－1;x1(n)，0≤n≤L－1;…;xK－1(n)，0≤n≤L －1}，則平均周期圖估計(jì)器定義為

按照平均周期圖估計(jì)器方案，上節(jié)中算法可做如下改進(jìn):對(duì)長(zhǎng)度為K&N的輸入序列x(n)分段進(jìn)行K次 N點(diǎn)的 DFT，得到 K個(gè) DFT序列 X1(k)，X2(k)，…，XK(k)，分別求模平方后累加并求平均，得到平均周期圖

噪聲功率為

信號(hào)功率估計(jì)值

信噪比為

相比于之前的算法，若要進(jìn)行低信噪比條件下的精確估計(jì)，該算法不需要做很大點(diǎn)數(shù)DFT，通過做多次DFT，將結(jié)果累積合并后再進(jìn)行估計(jì)，這在用FPGA等方法實(shí)現(xiàn)時(shí)可以節(jié)省較多的硬件資源。

4 仿真結(jié)果及分析

仿真中信噪比估計(jì)的性能通過估計(jì)的均值和誤差的均方根值來衡量。仿真中信號(hào)為BPSK信號(hào)，并經(jīng)過4倍上采樣后用滾降系數(shù)為0.6的根升余弦濾波器進(jìn)行波形成形，最后按照信噪比要求疊加上高斯白噪聲得到待進(jìn)行信噪比估計(jì)的信號(hào)。其中數(shù)據(jù)速率為3 Mb/s，采樣速率為12 MHz，信號(hào)帶寬2.4 MHz。共進(jìn)行500次仿真，最終結(jié)果為各次仿真結(jié)果的平均值。

圖2和圖3為只做一次DFT(即周期圖法)時(shí)信噪比估計(jì)的仿真結(jié)果。圖中，N為 DFT點(diǎn)數(shù)，即DFT計(jì)算用到的數(shù)據(jù)樣值數(shù)。仿真結(jié)果表明，頻域估計(jì)算法的性能隨DFT計(jì)算的數(shù)據(jù)量的增加而改善，即使是在低信噪比下，也可以通過增加數(shù)據(jù)量獲得需要的性能。

圖2 信噪比估計(jì)均值Fig.2 Mean for different SNR estimation

圖3 信噪比估計(jì)均方根值Fig.3 RMSE for different SNR estimation

圖4 和圖5是采用平均周期圖的方法，對(duì)多次DFT運(yùn)算得到的功率譜進(jìn)行平均后再進(jìn)行信噪比估計(jì)的仿真結(jié)果。圖中，DFT運(yùn)算點(diǎn)數(shù)N分別為28、210、212，作為對(duì)比，圖中也繪出了只做一次DFT時(shí)的估計(jì)結(jié)果，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度KN分別為216和220。

圖4 改進(jìn)算法信噪比估計(jì)均值Fig.4 Mean for improved algorithm

圖5 改進(jìn)算法信噪比估計(jì)均方根值Fig.5 RMSE for improved algorithm

從仿真結(jié)果可以看出，同等的數(shù)據(jù)量下，DFT運(yùn)算點(diǎn)數(shù)越大，性能越好，但差別不大。當(dāng)DFT點(diǎn)數(shù)達(dá)到210時(shí)，平均周期圖估計(jì)算法的性能與只做一次DFT的估計(jì)性能基本一樣，但兩者復(fù)雜度卻相差甚遠(yuǎn)。

下面比較兩種算法的運(yùn)算量，假設(shè)兩種算法仿真數(shù)據(jù)長(zhǎng)度都是220，本文算法DFT運(yùn)算點(diǎn)數(shù)為210，那么前一種算法需要進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算219×20次，復(fù)數(shù)加法運(yùn)算220×20次;本文算法需要進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算219×10次和復(fù)數(shù)加法運(yùn)算220×10次。由于乘法運(yùn)算所需時(shí)間較多，故以乘法運(yùn)算為例，在假定情況下本文算法可以減少至少一半的運(yùn)算量，有效節(jié)約了運(yùn)算時(shí)間，降低了復(fù)雜度。

我們也對(duì)存在殘余多普勒頻移時(shí)本文的算法性能進(jìn)行了仿真，結(jié)果如圖6和圖7所示，其中DFT的長(zhǎng)度為210。作為對(duì)比，給出了文獻(xiàn)[2]中的具有數(shù)據(jù)輔助的最大似然算法性能的仿真結(jié)果，仿真數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為216，最大多普勒頻移為50 kHz。

圖6 不同算法信噪比估計(jì)均值Fig.6 Mean for different algorithms

圖7 不同算法信噪比估計(jì)均方根值Fig.7 RMSE for different algorithms

同樣條件下，兩種算法在無多普勒頻移時(shí)的仿真結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 不同算法信噪比估計(jì)均值Fig.8 Mean for different algorithms

圖9 不同算法信噪比估計(jì)均方根值Fig.9 RMSE for different algorithms

由圖8和圖9看出，無多普勒頻移時(shí)信噪比值越大，兩種方法估計(jì)值越接近，最大似然算法更優(yōu)，但條件是需要數(shù)據(jù)輔助;同時(shí)可看出本文算法在有多普勒頻移時(shí)的估計(jì)值和無多普勒頻移時(shí)的估計(jì)基本一致，說明該算法不受多普勒頻移影響。由圖6～9可以看出最大似然算法在存在多普勒頻移時(shí)，估計(jì)均值和均方根差都偏差很大，說明該算法不適用于存在多普勒頻移的情況?？梢?，頻域估計(jì)算法不僅不需要數(shù)據(jù)輔助，而且適用范圍也比最大似然法更廣。

5 結(jié) 論

針對(duì)已有算法出現(xiàn)的低信噪比下估計(jì)精度低、復(fù)雜度高、估計(jì)范圍窄、適用條件有限等問題，本文首先介紹了頻域信噪比估計(jì)算法，后采用平均周期圖的思想給出一種新的頻域估計(jì)法。該算法運(yùn)算量減少，復(fù)雜度降低。仿真結(jié)果表明，該算法可以在較大信噪比范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)精確估計(jì);在低信噪比條件下，隨著信噪比的降低，估計(jì)精度有所下降，但可以通過適當(dāng)增加數(shù)據(jù)量來實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確估計(jì);其適用范圍廣，不受殘余多普勒頻移的影響，與信號(hào)采用的調(diào)制方式無關(guān)。在后續(xù)研究中，我們將考慮當(dāng)噪聲功率譜密度不是均勻分時(shí)算法的改進(jìn)。

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