雙模噪聲背景下自適應(yīng)小波閾值去噪*

劉 偉，山拜·達(dá)拉拜

(新疆大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，烏魯木齊830046)

1 引 言

信號(hào)去噪問(wèn)題一直是一個(gè)重要而熱門(mén)的課題，現(xiàn)在已有多種信號(hào)去噪的方法，如維納(Wiener)濾波法、卡爾曼(Kalman)濾波法、減譜法等。小波閾值去噪方法是D.L.Donoho［1－2］在1995年提出的一種簡(jiǎn)單有效的去噪方法，由于此方法在Besov 空間上可得到最佳估計(jì)值，而線(xiàn)性估計(jì)達(dá)不到同樣的結(jié)果，因此引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。

目前學(xué)術(shù)界對(duì)于小波閾值去噪已有較多的研究。文獻(xiàn)［3］研究發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)小波分解后，不同分解層的系數(shù)對(duì)信號(hào)和噪聲的比例分布有所不同，利用這一特性改進(jìn)閾值選取，與傳統(tǒng)閾值相比，圖像增強(qiáng)過(guò)程中減少了噪聲殘留和誤判。文獻(xiàn)［4］利用平移不變量小波閾值去噪算法，使閾值的變化與噪聲的小波變換隨尺度的變化特性相一致，以期改善去噪效果。文獻(xiàn)［5］總結(jié)了具有代表性的4 種改進(jìn)小波閾值去噪法，通過(guò)仿真將各方法去噪結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到兩個(gè)重要結(jié)論:在相同實(shí)驗(yàn)條件下，改進(jìn)的閾值法并不絕對(duì)優(yōu)于硬、軟閾值法;很難找到一種在任何實(shí)驗(yàn)條件下都絕對(duì)優(yōu)越的閾值去噪法。文獻(xiàn)［6］用高斯混合模型來(lái)近似小波系數(shù)廣義高斯分布，估計(jì)出高斯混合分布的各部分方差，并選擇最小的方差參數(shù)作為噪聲方差估計(jì)，這種方法在噪聲方差較小時(shí)去噪效果較好。

這些研究都是假設(shè)以高斯噪聲為背景［7］，在簡(jiǎn)單的電子設(shè)備中這是合適的。實(shí)際設(shè)備非常復(fù)雜，再加上各種各樣外界的干擾，這種假設(shè)不能滿(mǎn)足要求。

本文以雙模噪聲為研究背景，拓展了小波閾值去噪法的應(yīng)用;從數(shù)學(xué)上分析了經(jīng)典算法的缺點(diǎn)，設(shè)計(jì)了改進(jìn)的閾值函數(shù)和控制函數(shù)，克服了經(jīng)典算法不足的同時(shí)具有信噪比尋優(yōu)能力。仿真結(jié)果表明，該算法是一種性能優(yōu)異的去噪算法。

2 雙模噪聲的數(shù)學(xué)模型和數(shù)字特征

雙模噪聲是由兩種噪聲疊加成的簡(jiǎn)單混合噪聲，比高斯噪聲更具一般性，雙模過(guò)程主要有3 種模型。

模型1［8］高斯過(guò)程g(t)疊加隨機(jī)均勻相位振蕩過(guò)程Bcos(t)，其概率密度函數(shù)、均值和方差分別為

其中，σ2是高斯分量的方差。

模型2 高斯過(guò)程g(t)疊加碼間干擾過(guò)程，b ( t)= ±b，其概率密度函數(shù)、均值和方差分別為

模型3 當(dāng)b ＞2σ2，模型3 與模型2 等價(jià)，概率密度函數(shù)為

其中，Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，sgn 為符號(hào)函數(shù)。

3 小波閾值去噪

3.1 去噪原理

在信號(hào)處理中，信號(hào)經(jīng)過(guò)離散小波變換后［9］，屬于Besov 空間的信號(hào)的能量主要集中在小波域內(nèi)有限的幾個(gè)系數(shù)中，而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后信號(hào)的小波系數(shù)要大于噪聲的小波系數(shù)，可以選擇一個(gè)合適的閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，就可以把信號(hào)系數(shù)保留下來(lái)(硬閾值法)或?qū)⑵溥M(jìn)行收縮(軟閾值法)，而使大部分的噪聲系數(shù)置為零，從而達(dá)到去噪的目的。假設(shè)一維觀(guān)測(cè)信號(hào)f(t)=h(t)+n(t)，其中，h(t)為原始信號(hào)，n(t)是式(1)描述的雙模噪聲。若用W(·)、W(·)－1分別表示離散小波變換和離散小波逆變換，用D(·，λ)表示對(duì)小波系數(shù)閾值處理，那么在含噪信號(hào)f(t)中恢復(fù)原始信號(hào)的估計(jì)值(t)可概括為以下三步:Y = W(f)，R = D(Y，λ)，() t =W(R)－1。

3.2 閾值函數(shù)

經(jīng)典算法的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。

硬閾值函數(shù):

軟閾值函數(shù):

式(8)、(9)中，λ 為閾值，wj，k為小波系數(shù)，為處理后的小波系數(shù)。

硬、軟閾值函數(shù)如圖1所示。

圖1 硬、軟閾值函數(shù)Fig.1 Hard and soft threshold functions

硬閾值函數(shù)不連續(xù)，對(duì)數(shù)據(jù)變化反應(yīng)過(guò)為靈敏，在重構(gòu)信號(hào)時(shí)會(huì)產(chǎn)生振蕩。軟閾值函數(shù)將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行收縮處理，有可能造成高頻信息的損失，其連續(xù)性較好，但小波系數(shù)真實(shí)值與估計(jì)值存在恒定誤差，在重構(gòu)信號(hào)時(shí)影響逼近程度。

改進(jìn)的閾值函數(shù):

式(10)中β∈［0，1］為控制因子，用于控制函數(shù)的形狀，即控制函數(shù)曲線(xiàn)的衰減程度，β 越小衰減越嚴(yán)重;當(dāng)β=0 時(shí)，新閾值函數(shù)等于軟閾值函數(shù)。

分析圖2可以得出，改進(jìn)閾值函數(shù)在硬、軟閾值函數(shù)之間存在一個(gè)平滑過(guò)渡的區(qū)域，函數(shù)連續(xù)性更好，恒定誤差小于軟閾值函數(shù)。函數(shù)曲線(xiàn)隨β 的增大，在硬、軟閾值函數(shù)曲線(xiàn)范圍內(nèi)移動(dòng)，β 越大，越靠近硬閾值函數(shù)曲線(xiàn)。

圖2 改進(jìn)的閾值函數(shù)Fig.2 Improved threshold function

小波閾值的選取很重要。如果閾值太小，那么閾值處理后的小波系數(shù)中包含了過(guò)多的噪聲分量;如果閾值太大，那么將會(huì)丟失信號(hào)的部分有用信息，從而造成重構(gòu)信號(hào)失真。1994年Donohue 和Johnstone 推導(dǎo)出了計(jì)算閾值的通用公式:

式中，N 是信號(hào)長(zhǎng)度，σ 為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。式(12)稱(chēng)為全局閾值，它是在高斯噪聲的模型上提出的，在非高斯噪聲的情況下，按照不同的分解尺度采用不同的閾值λ。

3.3 去噪過(guò)程

(1)選擇小波基:小波基一般根據(jù)信號(hào)的特性來(lái)選擇，確定分解的層數(shù);

(2)小波分解:對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解。進(jìn)行等間隔抽樣，然后對(duì)抽樣序列進(jìn)行離散小波變換，得到小波的展開(kāi)系數(shù);

(3)閾值處理:對(duì)每層系數(shù)選擇一個(gè)閾值，并且對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理;

(4)信號(hào)重構(gòu):用小波分解的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)處理過(guò)的各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，得到原始信號(hào)的估計(jì)值。

3.4 自適應(yīng)小波閾值去噪

自適應(yīng)去噪過(guò)程如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)去噪過(guò)程Fig.3 The adaptive denoising process

由測(cè)試樣本得到控制函數(shù)y =f(β)曲線(xiàn)，分析圖4可知:當(dāng)β∈［0，0.5］時(shí)，函數(shù)曲線(xiàn)隨β 的增大而增大;當(dāng)β = 0. 5 時(shí)，函數(shù)達(dá)到最大值y－max=37.356 2;當(dāng)β∈［0.5，1］時(shí)，函數(shù)曲線(xiàn)隨β 的增大而減小，減小曲線(xiàn)比增大曲線(xiàn)平滑，根據(jù)圖4構(gòu)造控制函數(shù)

圖4 函數(shù)y=f(β)曲線(xiàn)Fig.4 The curve of function y=f(β)

算法步驟描述如下:

(1)初始化參數(shù)，令β =0、i =1，λ 由式(13)確定，設(shè)置迭代次數(shù)i－max;

(2)判斷i ＞i－max是否成立，YES 則算法結(jié)束，NO 則i=i+1 返回步驟3;

(3)對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)去噪處理，處理過(guò)程如圖3所示;

(4)判斷β ＞1 是否成立，YES 則算法結(jié)束，NO則β=β+0.01，返回步驟2。

算法流程圖如圖5所示。

圖5 算法流程圖Fig.5 Flow chart of the proposed algorithm

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)在Matlab 2012a 平臺(tái)進(jìn)行，雙模噪聲模型為模型1，用高斯白噪聲疊加隨機(jī)振蕩信號(hào)產(chǎn)生，隨機(jī)振蕩信號(hào)幅值不能太大，否則會(huì)影響heavy sine 形狀。Coiflet 小波消失矩大，對(duì)稱(chēng)性好，小波分解層數(shù)兼顧去噪效果和實(shí)驗(yàn)對(duì)比，選擇coif3 小波進(jìn)行5 層分解。B =4 的雙模噪聲作為測(cè)試樣本用于構(gòu)造控制函數(shù)，B=2 的雙模噪聲作為實(shí)驗(yàn)樣本進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)。3 種去噪方法各實(shí)驗(yàn)50 次，heavy sine去噪前信噪比為19.001 8 dB。

圖6是含噪信號(hào)圖形，圖7～9分別是硬閾值法、軟閾值法、自適應(yīng)小波閾值算法的去噪圖形曲線(xiàn)，表1是3 種方法的信噪比(dB)。

圖6 含噪信號(hào)Fig.6 Signal with niose

圖7 硬閾值法去噪曲線(xiàn)Fig.7 Denoising result by hard threshold method

圖8 軟閾值法去噪曲線(xiàn)Fig.8 Denoising result by soft threshold method

圖9 自適應(yīng)小波閾值算法去噪曲線(xiàn)Fig.9 Denoising result by adaptive wavelet threshold algorithm

分析圖6～9可知硬、軟閾值法去噪結(jié)果不清晰，比較粗糙;自適應(yīng)小波閾值算法去噪結(jié)果清晰、光滑，更好地抑制了噪聲信號(hào)。分析表1可知，新算法信噪比相對(duì)硬、軟閾值法分別提高9 dB和4 dB。

表1 3 種方法的信噪比Table1 The signal－to－noise ratio of three methods

5 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，本文在雙模噪聲背景下提出一種自適應(yīng)小波閾值算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法具有自適應(yīng)性強(qiáng)、算法簡(jiǎn)單、去噪效果好等特點(diǎn)。但是，這只是在一種雙模噪聲模型下進(jìn)行的仿真，如何建立一種通用的算法仍需要研究。再者，如何根據(jù)要求快速準(zhǔn)確地自適應(yīng)確定閾值參數(shù)λ 可作為下一步著手進(jìn)行的工作。

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