基于啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想的概念教學(xué)設(shè)計*

王文靜++李曉芬++韓龍淑

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）把注重啟發(fā)式、實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)作為課程的基本理念和實(shí)施建議，由此彰顯出啟發(fā)式教學(xué)的重要性?；趩l(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想，以二面角的平面角為例，運(yùn)用概念形成的學(xué)習(xí)階段進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計及設(shè)計意圖的理論分析。

啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)概念二面角教學(xué)設(shè)計數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有非常重要的地位[1]。因此，探討數(shù)學(xué)概念教學(xué)的規(guī)律，一直是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題之一。而數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維過程發(fā)生在個體頭腦中，是別人無法代替的，有效的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)必須建立在學(xué)生積極主動思考的基礎(chǔ)上。由于中學(xué)生的思維處于具體運(yùn)演到抽象運(yùn)演的過渡階段，因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要盡可能采用適當(dāng)?shù)姆椒ù龠M(jìn)學(xué)生用概念形成方式學(xué)習(xí)，突出概念的再創(chuàng)造過程，使學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，了解概念產(chǎn)生的背景和條件，感悟概念的本質(zhì)特征。

一、二面角的平面角概念教學(xué)有待關(guān)注

1．教材內(nèi)容分析

二面角是空間幾何的重要知識，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材（人教A版）在必修2中重點(diǎn)揭示二面角的平面角概念的形成過程，而求二面角大小的問題留在選修2－1中運(yùn)用向量工具來處理。在必修2第2章第3小節(jié)，二面角的概念是兩個平面垂直的判定中的內(nèi)容。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了異面直線所成的角、直線與平面所成的角之后，又一個要學(xué)習(xí)的空間角，為以后從度量的角度揭示平面與平面的位置關(guān)系（垂直關(guān)系是其中的一種特殊關(guān)系）奠定了基礎(chǔ)，因此，二面角的內(nèi)容在教材中起到了承上啟下的作用。同時，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。

2．二面角的平面角概念教學(xué)中存在的問題

教材中只是用“水壩面和水平面所成的角度和衛(wèi)星的軌道平面與赤道平面所成角度”作為例子，引入二面角的平面角概念。于是，很多教師在教學(xué)中也只是通過簡單的實(shí)際例子引入二面角，再講解二面角平面角的定義。這樣的教學(xué)能讓學(xué)生感受到二面角模型來源于現(xiàn)實(shí)世界，一定程度上經(jīng)歷了抽象出二面角的過程，但與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)聯(lián)系不緊密，也缺乏動手操作。雖然有教師的講授和引導(dǎo)，但總體上缺少學(xué)生自己的思維構(gòu)造，不排除有一部分學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)有意義學(xué)習(xí)，但對大多數(shù)學(xué)生來說，只能機(jī)械記住意義和模仿應(yīng)用。那么，如何用探究的方法對“二面角的平面角”進(jìn)行建構(gòu)學(xué)習(xí)？本文以啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想為指導(dǎo)提出一個設(shè)計構(gòu)想。

二、基于啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想的概念教學(xué)思路

教學(xué)改革的關(guān)鍵是教學(xué)思想的變革，因?yàn)榻虒W(xué)思想對教學(xué)活動起著定向的作用，只有在正確的教學(xué)思想指導(dǎo)下的教學(xué)活動才能符合教學(xué)過程的客觀規(guī)律，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，才能培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立性和創(chuàng)造精神[2]。啟發(fā)式教學(xué)思想是中國的教學(xué)瑰寶，是教學(xué)法最基本的方法論，是教學(xué)必須遵循的教學(xué)思想。它作為中國傳統(tǒng)教育思想的精華，需要不斷豐富和發(fā)展。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）把注重啟發(fā)式、實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)作為課程的基本理念和實(shí)施建議，由此彰顯出啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性。

啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)教師從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)和思維水平出發(fā)，力求創(chuàng)設(shè)“憤悱”的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，以形成認(rèn)知和情感的不平衡態(tài)勢，從而啟迪學(xué)生主動積極思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，使學(xué)生的思維得以發(fā)生和發(fā)展[3]。其關(guān)鍵在于教師有目的地啟發(fā)學(xué)生“想數(shù)學(xué)”，使學(xué)生經(jīng)歷必要的認(rèn)知和情感的困惑階段，以此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，從而在其頭腦內(nèi)部展開激烈的思維活動。就目前研究內(nèi)容而言，啟發(fā)式教學(xué)思想指導(dǎo)下的概念教學(xué)設(shè)計探索很少；融操作方式于具體概念教學(xué)的研究論文更為鮮見。因此，以啟發(fā)式教學(xué)思想為指導(dǎo)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動值得深思。

基于啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想的概念教學(xué)設(shè)計思路為：概念教學(xué)過程中，從學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)憤悱的數(shù)學(xué)情境，使學(xué)生由原來的自以為知逐漸承認(rèn)自己的無知，進(jìn)入困惑的狀態(tài)，從而了解概念的背景和引入的理由，以此產(chǎn)生內(nèi)在學(xué)習(xí)需求；在困惑的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生通過觀察、分析事例的屬性，抽象概括共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念，從而到知其所知。強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己的思維構(gòu)造，用探究的方式自己建構(gòu)概念。

三、基于啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想的概念教學(xué)設(shè)計及理論分析

此教學(xué)設(shè)計以啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想為指導(dǎo)，以“二面角的平面角”課題為例，按照概念形成的階段進(jìn)行教學(xué)設(shè)計。具體教學(xué)過程體現(xiàn)啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)理論對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的指導(dǎo)作用，是對啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想運(yùn)用的積極嘗試。

1．辨別刺激模式階段——提供操作背景，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系已有知識

背景一：教師把筆記本電腦緩緩打開到某一位置。

背景二：把門緩緩打開（使門與墻面所成的角與筆記本電腦展開的角相當(dāng)）。

背景三：翻開一本書（與筆記本電腦展開的角相當(dāng)）。

教師邊操作邊引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：是否感覺到書展開的角、筆記本電腦展開的角以及門與墻面所成的角在逐漸變化？

【設(shè)計意圖】：波利亞說：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它們能看得見、摸得著?！备咭恢粮叨挲g階段的學(xué)生，思維屬于經(jīng)驗(yàn)邏輯型，一定程度上仍依賴直觀具體的形象性材料來理解抽象的概念或邏輯關(guān)系。對于抽象概念來說就是指如何使學(xué)生把新概念與已有知識經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來。上述設(shè)計中，教師的操作和提問對二面角的平面角概念的要素信息顯示得比較明了，學(xué)生對這些材料進(jìn)行充分的感知和動手操作，為學(xué)生提供了使新知識與已有知識經(jīng)驗(yàn)建立內(nèi)在聯(lián)系的機(jī)會。

2．分化抽象、提出假設(shè)階段——使學(xué)生感受概念引入的必要性

教師提出問題：這三個角哪一個大？何以見得？

教師進(jìn)一步提出問題：用什么工具來量？怎么量？

憑著直觀判斷，大部分同學(xué)自以為知道如何度量一個二面角：可用量角器度量門與墻面和地面的交角；筆記本和書可以立起來，度量其與桌面形成的交角。由此將空間角轉(zhuǎn)化為平面角度量，但這樣的理解存在缺陷。

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述精煉準(zhǔn)確，而對結(jié)論的推理論證要具備一定的嚴(yán)格性，做到步步有據(jù)。雖然三個角看上去一樣大，但為了使學(xué)生懂得精確的必要性，啟發(fā)學(xué)生有必要進(jìn)行代數(shù)度量，僅憑觀察是不能完成的。以此從兩個角度需要引入概念，一是實(shí)際生活需要，二是數(shù)學(xué)內(nèi)部需要，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)二面角的平面角概念的必要性。

3．檢驗(yàn)假設(shè)、確認(rèn)關(guān)鍵屬性階段——創(chuàng)設(shè)“憤悱”情境，形成疑難和困惑

檢驗(yàn)過程中突出變式的作用，教師使用多媒體演示，創(chuàng)設(shè)“憤悱”情境：①學(xué)習(xí)機(jī)的圖片。②修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?。③發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和赤道平面成一定角度。

【設(shè)計意圖】對于“門與墻所成的角”、“筆記本的展角”、“書的展角”，學(xué)生可以使用降維的方法找到平角度量。因此，學(xué)生原先自以為知道如何度量一個二面角?？墒?，對于多媒體所呈現(xiàn)的“不規(guī)則的二面角”，卻又很難找到恰當(dāng)?shù)钠矫娼莵矶攘克拇笮?。前后問題情境的對比，使學(xué)生的思維漏洞得以暴露，直接形成認(rèn)知沖突，使學(xué)生陷入了困惑之中。以此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和探索新概念的積極性。

4.抽象概括、形成概念階段——啟發(fā)學(xué)生探索概念的本質(zhì)屬性

通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較進(jìn)行抽象和概括活動。

引導(dǎo)學(xué)生回顧平面角的定義和構(gòu)成，類比得出兩個平面所成角的定義和構(gòu)成，以及如何用平面內(nèi)的角來度量二面角。

對于學(xué)生學(xué)過的兩個空間角（“異面直線所成的角”和”斜線與平面所成的角”），都是將其轉(zhuǎn)化為平面角進(jìn)行度量的。怎么用平面內(nèi)的角來度量二面角呢？請學(xué)生重新觀察“書展開的角”“筆記本電腦展開的角”以及“門與墻面所成的角”，我們能通過度量平面角得出。所度量的平面角有什么特征？為什么大家在幻燈片上呈現(xiàn)的“不規(guī)則的二面角”，沒有發(fā)現(xiàn)“平面角”？

為了啟發(fā)學(xué)生思維，教師呈現(xiàn)三個提示性問題：

角的頂點(diǎn)落在什么位置？

角的射線落在什么位置？

角的兩邊與棱有什么關(guān)系？

通過思考、討論、類比（“異面直線所成的角”和“斜線與平面所成的角”）、歸納，學(xué)生可以得出以下幾種思路：思路一，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過此點(diǎn)作一個平面和這條棱垂直，這個平面和二面角的兩個半平面相交于兩條射線，得到一個角。思路二，在二面角的一個平面內(nèi)任取一點(diǎn)，過這一點(diǎn)作另一個平面以及棱的垂線，連接兩個垂足，得到一個角。思路三，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過這一點(diǎn)分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條垂線，得到一個角。

針對上述探索結(jié)果，進(jìn)一步提出問題：這三種角有什么區(qū)別和聯(lián)系？哪個角是要找的角？學(xué)生思考?xì)w納后，指出：三種方法得到的角都是要找的角，其本質(zhì)是相同的，都可以用來度量二面角，但第三種思路較為簡單明了。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過直覺思維和類比的數(shù)學(xué)方法對二面角的平面角定義作出猜想，然后再加以論證，符合人類認(rèn)識事物的一般規(guī)律。而且，在親身經(jīng)歷概念的形成過程中，體會到數(shù)學(xué)思想方法（類比、化歸）的重要性。

5．形式化表示概念及應(yīng)用階段——學(xué)生經(jīng)歷概念的數(shù)學(xué)化表征及應(yīng)用過程

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：為什么可以這樣定義？這個角是否唯一？

教師和學(xué)生共同抽象、概括二面角的平面角的形式化定義，并使用以下啟發(fā)性提示語。

（1）請學(xué)生分別用文字語言、圖形語言和符號語言來敘述“二面角的平面角”的定義。

（2）探討概念學(xué)習(xí)過程中用到的數(shù)學(xué)思想方法（類比、化歸）。

【設(shè)計意圖】“唯一性”是數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的表現(xiàn)，在探索時要啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行全面深刻的思考。啟發(fā)式教學(xué)思想強(qiáng)調(diào)“開其意，達(dá)其辭”。學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，想表達(dá)問題而又表達(dá)不出來時，教師要引導(dǎo)學(xué)生用通暢的語言進(jìn)行表達(dá)。

請學(xué)生根據(jù)二面角的平面角定義，指出如何度量①學(xué)習(xí)機(jī)展開的角度②水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌娶坌l(wèi)星的軌道平面和赤道平面成一定角度？

【設(shè)計意圖】使學(xué)生在應(yīng)用概念解決問題的過程中，獲得了對二面角的平面角概念的深刻理解，并有利于學(xué)生合理的數(shù)學(xué)觀的形成（例如，數(shù)學(xué)概念不是天上突然掉下來的，而是由于研究問題的需要自然而然引入的，是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來并有著廣泛應(yīng)用的；其定義是合乎情理的；探索數(shù)學(xué)是有趣的等）。

基于啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想的概念教學(xué)過程中，教師通過創(chuàng)設(shè)“憤悱”的教學(xué)情境，使學(xué)生產(chǎn)生疑難、問題，經(jīng)歷必要的困惑階段，從而更加積極地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。并體味到已有概念不夠用了，才需要引入新概念，以此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，力求使數(shù)學(xué)概念的形成自然、合乎情理。同時，教師要鼓勵學(xué)生用探究的方式自己建構(gòu)概念。在此過程中教師可以在思考方向、思考方法、思維策略上加以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和啟發(fā)，使學(xué)生經(jīng)過自己的真正努力掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，領(lǐng)悟概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法，建立相關(guān)知識的聯(lián)系，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考和表達(dá)。

參考文獻(xiàn)

[1] 涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論.上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

[2] 章建躍.略論啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求.數(shù)學(xué)通報，1992（6）.

[3]韓龍淑，王新兵.數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的基本特征.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（6）.

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