關(guān)于“一致有界的一族無窮小的積是無窮小”定理

姚 瓊， 楊漢生

(電子科技大學(xué)中山學(xué)院計算機學(xué)院，廣東中山528400)

1 引 言

國內(nèi)外的微積分、高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析教材，在有關(guān)“無窮小的積的運算法則”的論述時[1-3]，有的教材明確指出“有限個無窮小的積是無窮小”，有的教材則含糊地指出“無窮小的積是無窮小”.執(zhí)教者經(jīng)常面臨歷屆學(xué)生中“無窮個無窮小的積是否是無窮小”的疑問；執(zhí)教者課后之間對此問題有時也眾說紛紜、莫衷一是[4-7].微積分學(xué)的基礎(chǔ)是極限理論，極限理論的最終本質(zhì)離不開無窮小.現(xiàn)代非標(biāo)準(zhǔn)分析事實上激活了微積分學(xué)發(fā)展歷史中極為關(guān)鍵的“無窮小分析”，因此，本文關(guān)于“一致有界的一族無窮小的積是無窮小”的命題，關(guān)于特定的“一族一致有界無窮小”的概念，或許能對深入研討“無窮小分析理論”起到一點拋磚引玉的作用.

2 定義與定理證明

定義1設(shè)αλ(x),λ∈Γ(注：在實分析中，Γ表示有限、可數(shù)無窮或不可數(shù)無窮指標(biāo)集)是一族當(dāng)x→x0時的無窮小，如果存在正數(shù)M∈(0,1)和δ>0，使得對于滿足不等式0

定理1設(shè)αk(x)(1≤k≤n)是有限個當(dāng)x→x0時的無窮小，則這有限個無窮小αk(x) (1≤k≤n)在點x0附近必然是一致有界的.

定理2設(shè){αλ(x),λ∈Γ}是一族當(dāng)x→x0時的無窮小并且在點x0附近一致有界，那么，這一族無窮小的乘積αλ(x)仍然是無窮小.

根據(jù)定理1，有限個(當(dāng)x→x0時的)無窮小在點x0附近必然是是一致有界的.由定理2，自然會得到以下結(jié)論.

定義4設(shè)αλ(x),λ∈Γ是一族當(dāng)x→∞時的無窮小.如果存在正數(shù)M∈(0,1)和X>0，使得對于滿足不等式|x|>X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當(dāng)x→∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

定義5設(shè)αλ(x),λ∈Γ是一族當(dāng)x→-∞時的無窮小.如果存在正數(shù)M∈(0,1)和X>0，使得對于滿足不等式x<-X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當(dāng)x→-∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

定義6設(shè)αλ(x),λ∈Γ是一族當(dāng)x→+∞時的無窮小.如果存在正數(shù)M∈(0,1)和X>0，使得對于滿足不等式x>X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當(dāng)x→+∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

3 結(jié) 論

綜上所述，我們就可以得到以下整體性的結(jié)論.

定理5有限個(當(dāng)x→□時的)無窮小是一致有界的.

由于現(xiàn)有絕大多數(shù)微積分和數(shù)學(xué)分析教材中沒有涉及無窮個無窮小的積是無窮小的定理或命題，解決此類問題迄今為止還沒有理論依據(jù).現(xiàn)在，本文給出的定理2就可以順利搞定這類問題.

[參 考 文 獻]

[1] (美)芬尼，韋爾，吉爾當(dāng)諾. 托馬斯微積分[M]. 10版. 北京：高等教育出版社，2004.

[2] 鄧東皋，尹小玲.數(shù)學(xué)分析簡明教程[M].2版. 北京：高等教育出版社，2006.

[3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(同濟第六版)[M].6版. 北京：高等教育出版社，2007.

[4] 李猛,胡時財. 無窮個無窮小之積是無窮小嗎——兼談一種特殊無限個無窮小的積[J]. 科技創(chuàng)新導(dǎo)報,2008(1):123-124.

[5] 張峰. 再談“無窮多個無窮小之積”[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1994(3):6-7.

[6] 黃紅芳,溫新苗. 關(guān)于無窮小性質(zhì)的研究[J]. 河北北方學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版).2009,25(1):16-19.

[7] 范允征,倪建平,蔡蕃.一種特殊無限個無窮小的積[J].西北紡織工學(xué)院學(xué)報,1997,11(4):387-390.